Srednje vrednosti
SADRŽAJ:
1. Uvod.......................................................................................................1
2. Srednje vrednosti...................................................................................2
2.1. Aritmetička sredina ........................................................................3
2.2. Geometrijska sredina......................................................................6
2.3. Harmonijska sredina.....................................................................10
2.4. Modus...........................................................................................11
2.5. Medijana.......................................................................................13
3. Zaključak.............................................................................................16
Literatura.................................................................................................17
1
Srednje vrednosti
1.UVOD
Obrada rezultata pedagoškog eksperimenta počinje statističkom analizom, u kojoj se
istražuje statistička masa (osnovni skup ili populacija) u stanju mirovanja, odnosno struktura
statičke mase u datom momentu, ili određenom vremenskom periodu, u kome je ona
posmatrana, s tim što se vreme kao faktor uticanja ne uzima u obzir.
Srednji statistički podaci koji su tabelarno ili grafički prikazani služe za statističku
analizu, s ciljem istraživanja pravilnosti i zakonitosti posmatranih masovnih pojava.
Statistička analiza i ima taj zadatak da primenom različitih metoda i postupaka raščlani i
uporedi podatke, otkrije i formuliše zakonitosti koje vladaju u posmatranoj masovnoj pojavi
Koristeći relativne brojeve i raspodelu frekvencija može se steći izvestan globalni
utisak o posmatranoj pojavi i posmatranom statističkom skupu. Ipak za dalju i svrsishodniju
analizu potebne su nam preciznije metode kojima ćemo masu statističkih podataka obraditi
tako da postane upotrebljiva u procesu donošenja odluka.
Analizu statističkih podataka možemo vršiti tako što ćemo definisati izvesne
pokazatelje ili parametre čije ce nam vrednosti izražavati određene sumarne karakteristike
datih podataka. Vrednost sumarnih parametara omogućiće donošenje zaključaka o određenoj
pojavi ili procesu koji su izraženi posmatranim podacima.
Prva grupa takvih parametara su tzv. srednje vrednosti ili proseci. Veoma često se
koriste i u svakodnevnom životu (npr. prosečan lični dohodak ili prosečna produktivnost itd.).
Ovi parametri pokazuju neku centralnu vrednost posmatranog obeležja X na elementima
statističkog skupa.
Srednje vrednosti ili mere centralne tendencije prezentuju sredinu statističke serije.
Najčešće se oko te srednje vrednosti grupiše najveći broj jedinica. Srednje vrednosti se nalaze
između najmanje i najveće vrednosti obeležja.
Sednja vrednost je reprezentativna vrednost, koja po datim merilima, zamenjuje sve
vrednosti obeležja u datoj seriji. U statističkoj literaturi dobila je naziv reprezentativna
vrednost zato što predstavlja i zameljuje sve vrednosti serije, jer iz njih proističe i nosi njihove
zajedničke karakteristike.
Kao reprezentativni pokazatelj serije srednja vrednost karakteriše statistički skup. Ako
se posmatra jedan statistički skup po jednom numeričkom obeležju i pođe se od individualnih
vrednosti tog obeležja, teško će se uočiti bitna i zajednička karakteristika čak i kad su
pojedinačni podaci, grupisanjem u serije, svedeni na manji broj. Zato se nastoji da se ta serija
zameni jednim brojem koji omogućava da se uoči karakteristika posmatranog skupa.
Srednje vrednosti: aritmetička, harmonijska i geometrijska sredina, zatim modus i
medijana.
U zavisnosti od načina definisanja, srednje vrednosti se dele na izračunate i pozicione.
2
Srednje vrednosti
2. U datom statističkom skupu postoji najmanja i najveća vrednost posmatranog obeležja
X. Srednja vrednost treba da je veća od najmanje a manja od najveće vrednosti
obeležja X.
3. Srednja vrednost treba da zavisi od svih vrednosti obeležja X na celim statističkom
skupu.
2.1.ARITMETI
ČKA SREDINA
Ovo je najpoznatija srednja vrednost. U svakodnevnom životu najviše se koristi
aritmetička sredina kao srednja vrednost. Zato se pod pojmom prosek misli na aritmetičku
sredinu. Aritmetička sredina niza brojeva je broj koji se dobije kada se njihov zbir podeli sa
ukupnim brojem članova tog niza.
4
Aritmetička srednja vrednost ili prosečna srednja vrednost ili samo srednja vrednost
ima najširu primenu u statistici. Ponaša se kao ”ravnotežna tačka” u skupu, a nedostatak joj je
što na njenu vrednost utiču ekstremne vrednosti (”outliers”). Srednja vrednost se izražava u
istim jedinicama kao i osnovni podaci.
5
Najčešće upotrebljivana mera centralne tendencije jeste aritmetička sredina. Ona je
ujedno i najlakša za razumevanje obzirom da se neretko koristi u svakodnevnom životu
(najčeće koristimo reč ‘prosek’ da izrazimo upravo aritmetičku sredinu). Aritmetička sredina
predstavlja prosečnu vrednost nekog kontinuiranog niza brojeva.
6
U statističkoj analizi aritmetička sredina najčešće se izračunava za vrednosti
numeričkog obeležja, pa je polazna veličina za izračunavanje aritmetičke sredine je zbir
vrednosti numeričkog obeležja elemenata osnovnog skupa.
7
Neophodan uslov za pravilnu primenu aritmetičke sredine jeste da podaci u seriji
pokazuju dovoljan stepen homogenosti a kriterijum za određivanje te homogenosti zavisi od
prirode i vrste pojave koja je prikazana u seriji kao i da znamo suštinu i smisao rezultata kojeg
želimo da dobijemo. Aritmetička sredina ima dva osnovna načina izračunavanja.
Prema tome da li su podaci grupisani ili ne, razlikuju se:
prosta aritmetička sredina ,
ponderisana (složena, vagana) aritmetička sredina.
8
Prvi način odnosi se na izračunavanje iz prostih serija, tj. iz onih serija u kojima se
svaki podatak javlja samo po jedanput.
9
Ako se aritmetička sredina određuje za jedan običan
statistički niz, onda se ona naziva prosta ili jednostavna aritmetička srednja vrednost.
Jednostavna aritmetička srednja vrednost izračunava se tako što se zbir svih podataka podeli
njihovim brojem.
10
Drugi način izračunava aritmetičke sredine primenjuje se kod sređenih serija (serije
distribucije frekvencija), tj. kod onih serija u kojima se pojedini podaci (modaliteti) javljaju u
nejednakim frekvencijama, i tu se uzima i obzir veličina frekvencije svakog modaliteta. Svaki
4
www.statlab0.fon.bg.ac.yu
5
www.supa.pharmacy.bg.ac.rs
6
www.fpn.cg.yu
7
www.foi.hr
8
www.eccf.su.ac.yu
9
www.crnarupa.singidunum.ac.yu
10
www.supa.pharmacy.bg.ac.rs
4
Srednje vrednosti
modalitet se ponderiše, vaga, svojom frekvencijom pa se ova aritmetička sredina naziva
ponderisana (vagana) aritmetička sredina.
11
Ponderisana aritmetička srednja vrednost izračunava se tako što se zbir svih proizvoda
numeričkih podataka i odgovarajućih frekvencija podeli ukupnim zbirom frekvencija,odnosno
ukupnim brojem podataka.
12
Aritmetička sredina može se računati i za više skupova i to je aritmetička sredina
aritmetičkih sredina.
13
Najširu upotrebu u statističkoj analizi, a i šire, ima aritmetička sredina. Izračunava se
tako što se zbir svih vrednosti obeležja podeli njihovim brojem. Ako posmatrano obeležje
označimo sa X, njegove vrednosti sa
x
1
,
x
2
,....
x
i
,....
x
n
, imaćemo:
µ
=
x
1
+
x
2
+...+
x
n
= 1
∑
x
i
ili prostije
µ
=
∑
x
N N
i
=1
N
Ako, primera radi, pet slučajno anketiranih turista dnevno troše: 320, 330, 360, 380 i
410 dinara, prosečna dnevna potrošnja, odnosno aritmetička sredina iznosiće:
µ
=
∑
x
= 320 + 330 + 360 + 380 + 410 = 1800 = 360
N 5 5
U ovom prostom primeru uočljivo je da se svaka vrednost javlja jedanput (sa
frekvencijom 1). Za sve ovakve negrupisane serije prosek se, kao što vidimo, utvrđuje
jednostavno, reč je o tzv.prostoj aritmetičkoj sredini.
Znatno češće imamo posla sa grupisanim podacima u vidu rasporeda frekvencija, tj.sa
skupovima unutar kojih se svaka vrednost obeležja može javiti više puta. Ako, u opštem
slučaju, vrednosti obeležja označimo sa
x
1
,
x
2
,....
x
i
,....
x
n
, a odgovarajuće frekvencije sa
f
1
, f
2
, ... f
i
, ... f
n
, aritmetička sredina će biti:
µ
=
f
1
x
1
+
f
2
x
2
+
...
+
f
n
x
n
, tj.
N
n
µ
= 1
∑
f
i
x
i
ili prostije
14
N
i
=1
µ
=
∑
f x
, gde je
N
n
11
www.crnarupa.singidunum.ac.yu
12
supa.pharmacy.bg.ac.rs
13
www.mfk.ba
14
Dr V. Đolević, Dr V. Tošić „STATISTIKA“ sa primenom u turizmu, BMG-NM, Beograd,2007, str. 43.
5
