VPŠSS - Blace
Seminarski rad:
„Srednje vrednosti“
Naziv predmeta: Statistika
Profesor:
Student
:
Dr. Gordana Prlinčević Jelena Crnoglavac
05/16M
Anđela Stankov
14/16M
Dragana Milačić
15/16T
Blace, Maj 2017god.
Srednje vrednosti
SADRŽAJ:
1. Uvod....................................................................................................3
2. Srednje vrednosti..................................................................................4
2.1. Aritmetička sredina ........................................................................5
2.2. Geometrijska sredina......................................................................8
2.3. Harmonijska sredina.....................................................................12
2.4. Modus...........................................................................................13
2.5. Medijana.......................................................................................15
3. Zaključak.............................................................................................18
Literatura.................................................................................................19
2
Srednje vrednosti
2. SREDNJE VREDNOSTI
Srednje vrednosti su vrednosti obeležja koje na specifičan način reprezentuju čitavu
statističku masu, odnosno zamenjuju sve vrednosti u statističkoj seriji i karakterišu statističku
masu u celini.
1
Srednje vrednosti ili mere centralne tendencije zauzimaju u statistici vrlo značajno
mesto i vrlo se često primenjuju. Centralna tendencija je težnja ka okupljanju podataka skupa
oko jedne centralne vrednosti, koja je opšta i reprezentativna za celu distribuciju. Značaj mera
centralne tendencije je u tome što one sintetizuje čitav niz pojedinačnih vrednosti jednog
skupa i njihova uloga je da, zanemarujući individualne razlike između podataka skupa,
istaknu onu veličinu koja je za sve njih karakteristična i koja može da služi kao sredstvo za
upoređivanje raznih serija.
2
Neophodno je da se srednja vrednost određuje iz homogenog skupa da bi imala značaj
reprezentativne i tipične vrednosti. U slučaju da je skup heterogen, potrebno je najpre izvršiti
podelu skupa u homogene delove, a zatim će se posebno odrediti srednje vrednosti za svaki
od tih delova. Moguće je naći srednju vrednost i u heterogenom skupu i računarski i
formalno, ali takva vrednost nema značaj statističke srednje vrednosti kao reprezentativnog
pokazatelja. Pri određivanju i primeni srednjih vrednosti mora biti zadovoljen princip
homogenosti statističkog skupa.
Prema tome da li se izračunavaju ili određuju prema položaju pojedinih vrednosti
obeležja, srednje vrednosti se mogu podeliti u dve grupe: potpune srednje vrednosti i
položajne srednje vrednosti.
Potpune srednje vrednosti, računaju se upotrebom svih podataka u statističkom nizu.
Potpune srednje vrednosti su: aritmetička sredina, harmonijska sredina i geometrijska sredina.
Položajne srednje vrednosti određuju se položajem podataka u nizu. Najvažnije
položajne srednje vrednosti su: modus i medijana.
3
Svaka od pomenutih srednjih vrednosti određuje se posebnim statističko-
matematičkim metodama i ima određene karakteristike. Srednje vrednosti se ne mogu
izračunati kod svih serija. One se izračunavaju, odnosno određuju samo kod numeričkih
(rasporeda frekvencija), a mogu se izračunati iz vremenskih serija. Za utvrđivanje
karakteristika pasporeda frekvencija one predstavljaju polaznu osnovu.
Srednja vrednost jedne serije ne može biti manja od najmanje vrednosti obeležja, niti
veća od najveće vrednosti obeležja. Srednja vrednost može biti i neka vrednost koja uopšte ne
postoji u seriji. Srednja vrednost može imati i decimalan broj, i ako se vrednosti obeležja
izračunavaju u celim brojevima (na primer: prosečan broj članova domaćinstva može biti 3,4).
Poželjno je da srednje vrednosti imaju sledeće osobine:
1. Ako su sve vrednosti posmatranog obeležja X na statističkom skupu međusobno
jednake onda i njihova srednja vrednost treba da je jednaka toj vrednosti.
2. U datom statističkom skupu postoji najmanja i najveća vrednost posmatranog obeležja
X. Srednja vrednost treba da je veća od najmanje a manja od najveće vrednosti
obeležja X.
3. Srednja vrednost treba da zavisi od svih vrednosti obeležja X na celim statističkom
skupu.
1
www.eccf.su.ac.yu
2
www.supa.pharmacy.bg.ac.rs
3
Dr G. Kvrgić „OSNOVI FINANSIJSKE STATISTIKE“, Visoka poslovna škola strukovnih studija, Čačak, str.37.
4
Srednje vrednosti
2.1.ARITMETI
ČKA SREDINA
Ovo je najpoznatija srednja vrednost. U svakodnevnom životu najviše se koristi
aritmetička sredina kao srednja vrednost. Zato se pod pojmom prosek misli na aritmetičku
sredinu. Aritmetička sredina niza brojeva je broj koji se dobije kada se njihov zbir podeli sa
ukupnim brojem članova tog niza.
4
Aritmetička srednja vrednost ili prosečna srednja vrednost ili samo srednja vrednost
ima najširu primenu u statistici. Ponaša se kao ”ravnotežna tačka” u skupu, a nedostatak joj je
što na njenu vrednost utiču ekstremne vrednosti (”outliers”). Srednja vrednost se izražava u
istim jedinicama kao i osnovni podaci.
5
Najčešće upotrebljivana mera centralne tendencije jeste aritmetička sredina. Ona je
ujedno i najlakša za razumevanje obzirom da se neretko koristi u svakodnevnom životu
(najčeće koristimo reč ‘prosek’ da izrazimo upravo aritmetičku sredinu). Aritmetička sredina
predstavlja prosečnu vrednost nekog kontinuiranog niza brojeva.
6
U statističkoj analizi aritmetička sredina najčešće se izračunava za vrednosti
numeričkog obeležja, pa je polazna veličina za izračunavanje aritmetičke sredine je zbir
vrednosti numeričkog obeležja elemenata osnovnog skupa.
7
Neophodan uslov za pravilnu primenu aritmetičke sredine jeste da podaci u seriji
pokazuju dovoljan stepen homogenosti a kriterijum za određivanje te homogenosti zavisi od
prirode i vrste pojave koja je prikazana u seriji kao i da znamo suštinu i smisao rezultata kojeg
želimo da dobijemo. Aritmetička sredina ima dva osnovna načina izračunavanja.
Prema tome da li su podaci grupisani ili ne, razlikuju se:
prosta aritmetička sredina ,
ponderisana (složena, vagana) aritmetička sredina.
8
Prvi način odnosi se na izračunavanje iz prostih serija, tj. iz onih serija u kojima se
svaki podatak javlja samo po jedanput.
9
Ako se aritmetička sredina određuje za jedan običan
statistički niz, onda se ona naziva prosta ili jednostavna aritmetička srednja vrednost.
Jednostavna aritmetička srednja vrednost izračunava se tako što se zbir svih podataka podeli
njihovim brojem.
10
Drugi način izračunava aritmetičke sredine primenjuje se kod sređenih serija (serije
distribucije frekvencija), tj. kod onih serija u kojima se pojedini podaci (modaliteti) javljaju u
nejednakim frekvencijama, i tu se uzima i obzir veličina frekvencije svakog modaliteta. Svaki
modalitet se ponderiše, vaga, svojom frekvencijom pa se ova aritmetička sredina naziva
ponderisana (vagana) aritmetička sredina.
11
Ponderisana aritmetička srednja vrednost izračunava se tako što se zbir svih proizvoda
numeričkih podataka i odgovarajućih frekvencija podeli ukupnim zbirom frekvencija,odnosno
ukupnim brojem podataka.
12
4
www.statlab0.fon.bg.ac.yu
5
www.supa.pharmacy.bg.ac.rs
6
www.fpn.cg.yu
7
www.foi.hr
8
www.eccf.su.ac.yu
9
www.crnarupa.singidunum.ac.yu
10
www.supa.pharmacy.bg.ac.rs
11
www.crnarupa.singidunum.ac.yu
12
supa.pharmacy.bg.ac.rs
5
