Statika – Nermina Zaimovic

DR. SC. NERMINA ZAIMOVI

Ć

-UZUNOVI

Ć

DR. SC. DUŠAN VUKOJEVI

Ć

DR. SC. NEDIM HODŽI

Ć

MR. ALMA ŽIGA 

STATIKA 

I izdanje 

Zenica, 2007. godine 

ii

iii

SADRŽAJ 

1 UVOD U MEHANIKU...................................................1 

1.1 

Definicija, zadatak i podjela mehanike   

1.2 

Kratak istorijski pregled 

razvoja mehanike   

1.3

 Osnovni pojmovi i aksiomi mehanike   

1.3.1

Kruto tijelo i materijalna ta

č

ka   

1.3.2

 Pojam sile i vrste sile   1.3.3 

Pojam mase i težine   

1.3.4

 Klasi

č

na mehanika i nova mehanika   

1.3.5

Osnovni zakoni mehanike   

1.3.6

 Osnovne veli

č

ine u mehanici i njihove 

jedinice   

1.3.7

 Metodi

č

ki pristup rješavanju zadataka u mehanici 

2 UVOD U STATIKU .................................................... 15 

2.1

 Zadatak i podjela statike   

2.2

 Osnovni pojmovi u statici   

2.3

Aksiomi statike   

2.4

 Veze, vrste veza i njihove reakcije 

3 SISTEM SU

Č

ELJNIH SILA ........................................ 27 

3.1

 Definicija sistema su

č

eljnih sila   

3.1.1

 Geometrijski uslovi 

ravnoteže sistema su

č

eljnih sila   

3.2

 Razlaganje sila na komponente   

3.3

 Projekcija sile na osu i na ravan   

3.4

 Analiti

č

ki na

č

in definisanja 

sile   

3.5

 Analiti

č

ki uslovi ravnoteže sistema su

č

eljnih sila   

PRIMJERI

4 PROIZVOLJNI SISTEM SILA U RAVNI....................... 59 

4.1

 Moment sile u odnosu na ta

č

ku   

4.2 

Momentno pravilo 

(Varinjanova teorema)   

4.3

 Slaganje paralelnih sila u ravni   

4.4

Rezultanta dvije paralelne sile   

4.5

 Spreg sila   

4.5.1 

Sistem spregova 

sila u ravni   

4.5.2

 Slaganje spregova sila   

4.6

 Slaganje proizvoljnog 

sistema sila u ravni   

4.7

 Paralelno premještanje ravnog sistema sila u 

datu ta

č

ku   

4.8 

Svo

đ

enje ravnog sistema sila na prostiji oblik   

4.9

Uslovi ravnoteže ravanskog sistema sila 

4.10

 Posebni uslovi ravnoteže 

ravnog sistema sila   

4.11

 Vrste ravnoteže tijela

   4.12

  Grafostatika   

4.12.1

 Verižni poligon   

4.12.2

 Grafi

č

ki uslovi ravnoteže ravnog sistema 

sila   

4.12.3

 Razlaganje sile na njoj dvije paralelne komponente 

PRIMJERI

v

SADRŽAJ 

10 LAN

Č

ANICE ......................................................... 347 

10.1

 Lan

č

anice optere

ć

ene koncentrisanim silama   

10.2

 Lana

č

anice 

optere

ć

ene kontinuiranim optere

ć

enjem   

10.2.1

 Lan

č

anice sa 

proizvoljno-kontinuiranim optere

ć

enjem   

10.2.2

 Paraboli

č

ne lan

č

anice   

10.2.3

 Obi

č

ne lan

č

anice 

11 METOD VIRTUALNIH POMJERANJA .................... 357 

11.1

 Rad sile   

11.2

  Rad  sprega  sila     

11.3

 Pojam stepena slobode 

kretanja   

11.4

 Princip virtualnih pomjeranja 

vi

2

STATIKA 

materije. Za kretanje možemo re

ć

i da je to najop

ć

enitije svojstvo 

materije. 
S pojmom materije nije vezan samo pojam kretanja ve

ć

 i pojmovi 

prostora i vremena, jer materija je u stalnom kretanju koje se zbiva u 
prostoru i vremenu. U nekim promjenama kao što su rast živih bi

ć

a, 

promjena strukture konstrukcionih materijala i sli

č

no glavnu ulogu igra 

vrijeme, a kod drugih dominira element prostora. Me

đ

utim, pojam 

kretanja materije u prostoru pri analizi bilo koje promjene u svim 

njenim pojedinostima ne možemo nikako odvojiti od njenog kretanja u 
toku vremena. 
Prostorno stanje materijalnog tijela definišu njegova osnovna svojstva 
kao što su oblik, volumen i položaj. Promjenu oblika i volumena 
materijalnog tijela nazivamo deformacijom, a promjenu položaja 

kretanjem. 
U prirodi se kretanje javlja u najraznovrsnijim oblicima pri 

č

emu jedan 

oblik kretanja može da se pretvori u drugi. Najednostavniji oblik 
kretanja je mehani

č

ko kretanje za koje smo rekli da se sastoji u 

promjeni položaja tijela u prostoru tokom vremena. Ako tijelo ne mijenja 

svoj položaj u odnosu na druga tijela koja ga okružuju, kažemo da 
miruje. 
Kretanje i mirovanje su relativni pojmovi s obzirom da u prirodi ne 
postoji apsolutno mirovanje. Na primjer tako nam se na prvi pogled 

č

ini 

da u prirodi postoje tijela koja miruju u odnosu na okolne predmete i 
tijela koja mijenjaju svoj položaj u toku vremena, odnosno kre

ć

u se. 

Me

đ

utim, poznato je da Zemlja rotira oko svoje ose i istovremeno po 

elipti

č

noj putanji rotira oko Sunca, koje opet stalno mijenja svoj položaj 

u odnosu na druge zvijezde u svemiru. Dakle, 

č

itav svemir je u stanju 

vje

č

nog kretanja i zato u prirodi ne postoji tijelo koje se ne bi nalazilo u 

stanju kretanja. Zbog toga s pravom možemo re

ć

i da je kretanje, u 

najširem smislu rije

č

i, oblik postojanja materije i ono obuhva

ć

a sve 

promjene i procese koji se doga

đ

aju u prirodi i svemiru. 

Vrlo 

č

esto pri kretanju materijalnog tijela dolazi i do promjene njegovog 

oblika i volumena (deformacije) što je prouzrokovano promjenom 
me

đ

usobnog položaja njegovih sastavnih 

č

estica (na primjer kretanje 

č

vrstih tijela, kretanje te

č

nih i plinovitih fluida). 

Deformacije koje nastaju pri kretanju 

č

vrstih tijela u ve

ć

ini slu

č

ajeva 

tako  su  male  da  se  mogu  zanemariti  i  zbog  toga  se  pri  prou

č

avanju 

mehani

č

kog kretanja uzima u obzir samo promjena položaja. 

Osim navedenih jednostavnih pojava kretanja, koje obi

č

no možemo lako 

posmatrati, postoje kretanja odre

đ

ena elektri

č

kim, magnetskim, 

toplinskim, opti

č

kim, hemijskim i drugim procesima u materijalnom 

tijelu. Ta kretanja materijalnih tijela su mnogo složenija i veoma teško 
ili uop

ć

e se ne mogu posmatrati jer se radi o kretanju molekula i atoma, 

3

1- UVOD U MEHANIKU 

odnosno njihovih sastavnih 

č

estica. Prou

č

avanjem zakona tih kretanja 

bavi se fizika u širem smislu rije

č

i. 

Ako se pri analizi procesa kretanja materijalnih tijela u obzir uzme 

manji broj fizi

č

kih svojstava, prou

č

avanje kretanja tih tijela 

ć

e biti 

daleko jednostavnije. Zbog toga je uobi

č

ajeno da se pri prou

č

avanju 

zakonitosti mehani

č

kog kretanja polazi od najjednostavnijih objekata 

kao što su materijalna ta

č

ka i kruto tijelo, a zatim se postepeno uzimaju 

u obzir i druga fizi

č

ka svojstva (elasti

č

nost, plasti

č

nost i sl.). Na taj 

na

č

in se približavamo ta

č

nom poznavanju zakona kretanja stvarnih 

materijalnih tijela u prirodi. 
Izu

č

avanje pojava kretanja 

č

isto teorijski, neovisno o njihovom zna

č

enju 

u prakti

č

nom životu, koriste

ć

i pri tome samo matemati

č

ka sredstva, 

spada u teorijsku ili racionalnu mehaniku. Rezultati izu

č

avanja do kojih 

dolazimo u okviru teorijske mehanike upore

đ

uju se sa stvarnoš

ć

u pri 

č

emu pokušavamo teorijske i prakti

č

ne rezultate dovesti u sklad. Na taj 

na

č

in dobiveni zaklju

č

ci primjenjuju se pri prora

č

unima i projektiranju 

elemenata, mašina, gra

đ

evina i drugih tehni

č

kih objekata. 

Mehanika, kao nau

č

na disciplina, koja primjenjuje zakone teorijske, 

odnosno racionalne mehanike na tehni

č

ke objekte zove se tehni

č

ka 

mehanika. Tehni

č

ka mehanika kao nau

č

na disciplina predstavlja 

prijelaz od 

č

isto teorijskih disciplina ka prakti

č

nim tehni

č

kim nau

č

nim 

disciplinama. 
Za rješavanje tehni

č

kih problema nije uvijek potrebna apsolutna 

ta

č

nost koja se dobije na osnovu strogih i veoma složenih formula 

teorijske mehanike. Rješavanje tehni

č

kih problema i postizanje željenog 

cilja u ve

ć

ini slu

č

ajeva zahtijeva jednostavne i brze metode, što kao 

posljedicu ima uvo

đ

enje novih hipoteza i zamjenu strogih formula 

teorijske mehanike empirijskim relacijama, koje se temelje na 

neposrednom iskustvu. Na primjer teoriju elasti

č

nosti, nauku koja 

izu

č

ava idealna elasti

č

na tijela, zamjenjuje u tehni

č

koj mehanici statika 

elasti

č

nih tijela ili otpornost materijala, a teorijsku hidromehaniku, 

nauku o kretanju idealnih teku

ć

ina, tehni

č

ka hidromehanika, odnosno 

primijenjena mehanika fluida ili hidraulika. 
Prema op

ć

oj definiciji mehanike kao nau

č

ne discipline koja izu

č

ava 

specifi

č

ne zakone mehani

č

kih kretanja, tehni

č

ka mehanika se dijeli na 

statiku ili geometriju sila, kinematiku ili geometriju kretanja i na 
dinamiku, koja prou

č

ava odnose izme

đ

u sila i kretanja. 

Statika u op

ć

em slu

č

aju prou

č

ava samo mirovanje materijalnih tijela 

kao specijalni slu

č

aj mehani

č

kog kretanja. Razlikujemo statiku krutih 

tijela ili stereostatiku i statiku elasti

č

nih 

č

vrstih tijela ili nauku o 

č

vrsto

ć

i. Zadatak statike krutih tijela je da sile, koje djeluju na neko 

tijelo, svede na najjednostavniji mogu

ć

i oblik, a statika elasti

č

nih 

5

1- UVOD U MEHANIKU 

zakone poluge i kolotura i razvio zakonitosti o djelovanju klina, vijka, 

zup

č

anika i kola na vretenu; 

Ptolomej

 (oko 150 god. poslije n.e.), koji je 

dao prvu dosta potpunu teoriju kretanja planeta (gledište geocentri

č

nog 

sistema oje je odgovaralo crkvenim vlastima – zastupljeno u djelu 

"Almagest"

 koje je preko 15 stolje

ć

a služilo kao glavni udžbenik 

astronomije) i 

Pappus

 (oko 390 god.), koji je razvio nauku o težištu 

tijela. 
Nakon što je takozvana aleksandrijska škola u VII stolje

ć

u doživjela 

propast nastao je duži zastoj u razvoju mehanike i nauke uop

ć

e. 

Ponovni intenzivniji razvoj nauke po

č

inje tek pred kraj XV stolje

ć

a. 

Zastoj u razvoju nauke u ovom periodu nastao je uglavnom kao 
posljedica nedovoljne ekonomske razvijenosti.  
U drugoj polovini srednjeg vijeka dolazi do poboljšanja ekonomskog 

stanja. Razlog za to je niz tehni

č

kih otkri

ć

a koja se javljaju jedno za 

drugim. U IX stoje

ć

u javlja se potkivanje ekserima, a u istom periodu 

prona

đ

ena je i vodenica. Do racionalizacije vu

č

ne snage životinja i 

njenog pove

ć

anja dolazi u X stolje

ć

u korištenjem hama koji se 

životinjama postavlja na ramena, a ne na vrat kako se 

č

inilo ranije. 

Dolazi do usavršavanja tehnike gra

đ

enja brodova (javlja se kormilo koje 

olakšava plovidbu). U XIV stolje

ć

u iz Kine preko Arapa donosi se barut 

na Zapad, a sredinom XV stolje

ć

a otkriveno je štampanje. 

Pove

ć

an broj tehni

č

kih otkri

ć

a dovodi do pove

ć

anja proizvodnje koja 

dovodi do intenzivnije razmjene dobara izme

đ

u pojedinih zemalja 

č

ime 

se problem prijevoza još više intenzivira. 
Nakon otkri

ć

a Amerike, proizvodne potrebe te epohe postavljaju pred 

nauku 

č

itav niz problema iz domena mehanike i astronomije. 

Neki od tih problema su: pove

ć

anje brodske težine i poboljšanje 

upravljanja brodom, gradnja kanala u okviru rije

č

ne plovidbe, problem  

odre

đ

ivanja položaja broda na otvorenom moru i dr. Navedeni problemi 

spadaju u domen hidrostatike, hidrodinamike i astronomije. 
Razvoj specifi

č

nih industrijskih grana kao što je rudarstvo, tako

đ

er je 

mehanici postavio niz problema kao što su: gradnja mašina za bušenje, 

transport i dizanje rude, izrada rudni

č

kih pumpi za vodu, problem 

provjetravanja rudnika itd. Jedan sasvim novi pokret u filozofiji, nazvan 
renesansa, znatno je ubrzao sve zakone 

č

ovjekovog života. 

Uticaj na razvoj mehanike kao nau

č

ne discipline imale su i ratne 

vještine iz kojih su proistekli problemi zakona kretanja plinova kod 
vatrenog oružja, pitanje akcije i reakcije, problem otpornosti materijala, 
problem kretanja projektila i drugo. 
Nagli razvoj mehanike javlja se u XVI i XVII stoje

ć

u. U tom periodu 

živjeli su veliki umovi i nau

č

nici kao što su: 

Leonardo da Vinci

 (1452-

1519), 

Kopernik

 (1473-1543), 

Galilei

 (1564-1642), K

epler

 (1571-1630), 

6

STATIKA 

Huygens

 (1629-1695) i mnogi drugi. 

Galilei

 se smatra jednim od 

osniva

č

a klasi

č

ne mehanike. On je uveo eksperimentalnu metodu kao 

osnovu fizikalnih istraživanja. Postulirao je, izme

đ

u ostalog, zakon 

slobodnog pada i zakon kretanja po kosini. Poseban zna

č

aj ima jedan 

od osnovnih zakona mehanike, a to je princip tromosti ili inercije koji je 
on izveo. 
Jedan od najve

ć

ih podsticanja razvoju mehanike dao je 

Newton

 (1643-

1727). Svojim djelom "Matemati

č

ka na

č

ela prirodne filozofije" u kome su 

izložene osnovne zakonitosti kretanja u otpornoj sredini on je udario 

temelje klasi

č

noj mehanici kao nau

č

noj disciplini koja se po njemu 

naziva 

Newton

-ova ili klasi

č

na mehanika. Uvo

đ

enjem infinitezimalnog 

ra

č

una 

Newton

 je dao podstreka matemati

č

arima za fizikalna 

razmatranja problema mehanike. Veliki je broj znamenitih 

matemati

č

ara i fizi

č

ara kao što su 

Huygens

, 

Leibnic

, 

Bernoulli

, 

Euler

 i 

drugi, koji su radili na problemima mehanike i doprinijeli njenom 
usavršavanju i razvoju. Istovremeno, mehanika je s druge strane 

izazvala veliki razvitak matematike, postavljaju

ć

i joj probleme od kojih 

neki još ni danas nisu riješeni. 
U XVII i XVIII stolje

ć

u na osnovu postignutih rezultata nauka je mogla 

potisnuti mra

č

ne sile predrasuda, dogmatskih u

č

enja i autoritet 

neprikosnovenih crkvenih vlasti. Pobijedila je 

Kopernik

-ova (1473-1543) 

teorija kretanja planeta (heliocentri

č

ni sistem) 

č

ime je došlo do 

izuzetnog preokreta u nauci, a posebno nebeskoj mehanici. 
Za izuzetan razvoj mehanike u XVIII stoje

ć

u najzaslužniji nau

č

nici su: 

Lagrange

, 

Laplace

, 

d'Alembert

, 

Poisson

, 

Hamilton

, 

Poinsot

 i drugi. 

Nagli razvoj industrije u XIX stoje

ć

u doprinijelo je da se iz teorijske 

mehanike izdvoji tehni

č

ka mehanika kao posebna nau

č

na disciplina. 

Osniva

č

 sistematske tehni

č

ke mehanike je 

Poncelet

 (1781-1867), a osim 

njega za razvoj tehni

č

ke mehanike zaslužni su: 

Hooke

, 

Coulomb

, 

Prony

, 

Navier

, 

Coriolis

, 

Maxwell

, 

Weisbach

, 

Young

 i mnogi drugi. 

1.3 Osnovni pojmovi i aksiomi mehanike 

1.3.1 Kruto tijelo i materijalna ta

č

ka 

Kretanje 

č

vrstih tijela u prirodi pod uticajem sila uvijek je povezano sa 

njihovim manjim ili ve

ć

im deformacijama, koje se o

č

ituju u promjeni 

oblika i volumena tih tijela. Te deformacije su dosta složene pojave pa 

se u mehanici uvodi pojam krutog, to jest apsolutno 

č

vrstog tijela. Pod 

pojmom krutog tijela podrazumijevamo tijelo koje pod djelovanjem sila, 
ma kako one bile velike ne mijenja oblik i volumen. To zna

č

i da se 

isklju

č

uju osobine elasti

č

nosti materijala kao i mogu

ć

nost da se tijelo 

raskine ili zdrobi. Takva tijela su idealna tijela i ona ne postoje u 

prirodi. Dio mehanike koji izu

č

ava kretanje takvih tijela naziva se 

8

STATIKA 

se susre

ć

emo sa: silom teže, inercijalnim silama, elasti

č

nom silom 

opruge, koncentrisanim silama, silom trenja klizanja, silom trenja 
kotrljanja i nizom drugih sila o kojima 

ć

e biti više govora u narednim 

poglavljima. 

1.3.3 Pojam mase i težine 

Veliki broj voza

č

a vjerovatno je mnogo puta uo

č

io pojavu koja se o

č

ituje 

u tome da kada voze automobil koji je više optere

ć

en, istom brzinom 

kao i manje optere

ć

en automobil, potrebno je daleko više napora za 

zaustavljanje automobila. Ili ako su dvije kugle iste veli

č

ine, ali od 

razli

č

itih materijala, pokrenute jednakim udarcem one 

ć

e se na istoj 

podlozi otkotrljati na razli

č

ite udaljenosti. Iz navedenih primjera može 

se zaklju

č

iti da su sva tijela troma ili inertna, ali da mjera njihove 

tromosti nije ista. Mjeru tromosti ili inertnosti nekog tijela u mehanici, 

prema 

I.

Newton

-u, naziva se masom tijela. Za svako tijelo masa je 

kosntantna veli

č

ina koja je proporcionalna težini tijela koja se mijenja u 

zavisnosti od položaja tijela na Zemlji. Težina tijela (uobi

č

ajena oznaka 

za težinu je 

G

G

) je sila kojom Zemlja privla

č

i tijelo prema svom središtu, 

odnosno pritiskuje ga na horizontalnu podlogu (pri tome je 

G

 = 

m

·

g

, gdje 

je: 

m

 (kg) masa tijela, a 

g

 = 9,81 ms

-2

 ubrzanje Zemljine gravitacije). Na 

polovima Zemlje je težina tijela ve

ć

a nego na ekvatoru i ona se smanjuje 

s visinom kako se udaljavamo od Zemljine površine. Osim Zemljine 

gravitacije na svako tijelo djeluju i privla

č

ne sile drugih tijela, ali je 

njihovo djelovanje u pore

đ

enju sa Zemljinom privla

č

nom silom 

zanemarivo. Mase tijela se mogu mjeriti i upore

đ

ivati. Izmjerenu masu 

tijela nazivamo teškom ili gravitacionom masom. 
Pri kretanju, svojom inertnoš

ć

u tijelo se suprostavlja svakoj promjeni 

stanja kretanja. Ako na dva razli

č

ita tijela djelujemo jednakom silom ta 

tijela 

ć

e dobiti ubrzanja koja su obrnuto proporcionalna njihovim 

masama. Na isti na

č

in se mogu uporediti i mase, a tako odre

đ

ena masa 

naziva se inercijalnom masom. 
Ako se jednakom silom djeluje na tijela iste težine ona 

ć

e se kretati 

jednakim ubrzanjem, a to zna

č

i da tijela jednakih gravitacionih masa 

imaju jednake i inercijalne mase. Prema tome obje su mase jednake. 

Posljedica navedenog je da sva tijela u praznom prostoru (bezvazdušni 
prostor ili vakuum) padaju jednakom brzinom. Karakteristika prema 
kojoj su gravitacija i inercija u biti jedno te isto je osnova op

ć

e teorije 

relativnosti. 
Od ranije je poznata 

č

injenica da je gravitacija na razli

č

itim mjestima 

Zemljine površine razli

č

ita, a isto tako mijenja se i sa vremenom. Dakle, 

možemo re

ć

i da se težina mijenja u prostoru i vremenu, dok masa 

ostaje konstantna, to jest ona se ne mijenja nikakvim vanjskim 
utjecajima kao što su na primjer: mehani

č

ki, toplinski, svjetlosni, 

9

1- UVOD U MEHANIKU 

elektri

č

ki i drugi. Zbog neznatne promjene Zemljine gravitacije, u 

prakti

č

nom životu se 

č

esto masa i težina zamjenjuju, a kao propratno 

se ne pravi razlika ni izme

đ

u specifi

č

ne težine i gusto

ć

e (specifi

č

ne 

mase). Strogo uzevši, pojam specifi

č

ne težine podrazumijeva težinu 

jedinice volumena, dok je gusto

ć

a masa jedinice volumena. Masa tijela 

je skalarna veli

č

ina, za razliku od sile teže koja je vektor. 

1.3.4 Klasi

č

na mehanika i nova mehanika 

Intenzivan razvoj fizike krajem IX i po

č

etkom XX stolje

ć

a imao je za 

posljedicu važna otkri

ć

a na podru

č

ju nauke o strukturi atoma i 

kretanju njihovih osnovnih 

č

estica, radioaktivnosti, elektrodinamike i 

nizu drugih nau

č

nih disciplina. Ta otkri

ć

a su pokazala da za kretanje 

mikro

č

estica i za kretanje tijela 

č

ija se brzina približava brzini svjetlosti 

ne važe zakoni klasi

č

ne mehanike. 

U prvoj 

č

etvrtini XX stolje

ć

a razvila se takozvana relativisti

č

ka 

mehanika, koja se temelji na 

Einstein

-ovoj teoriji relativnosti. 

Einstein

-ova teorija relativnosti predstavlja još jedan veliki korak u 

razvoju mehanike. Relativisti

č

ka mehanika, odnosno takozvana "nova 

mehanika" unosi posve nov sadržaj u okviru osnovnih pojmova 

mehanike kao što su prostor, vrijeme i materija. Klasi

č

na mehanika 

predstavlja poseban slu

č

aj i samo se u podru

č

ju malih brzina poklapa 

sa novom mehanikom. Prema 

Einstein

-ovoj teoriji relativnosti prostor i 

vrijeme su relativni pojmovi, a mjerenje prostora i vremena zavisi od 
položaja i kretanja posmatra

č

a. 

Kako su stvarne brzine tijela u prirodi i tehnici daleko manje od brzine 
svjetlosti, klasi

č

na mehanika je i dalje u punoj mjeri sa

č

uvala svoje 

zna

č

enje za tehni

č

ku mehaniku. Razlika u rezultatima klasi

č

ne i 

relativisti

č

ke mehanike dobija na zna

č

aju samo kada je brzina tijela 

približno jednaka brzini svjetlosti. Kod kretanja tijela brzinom mnogo 

manjom od brzine svjetlosti klasi

č

na mehanika daje sliku stvarnosti s 

veoma visokim stepenom ta

č

nosti. 

Inercijalna masa tijela 

m

 u stanju kretanja, prema teoriji relativnosti 

ve

ć

a je od njegove mase 

m

o

 u stanju mirovanja, to jest masa se mijenja 

u zavisnosti od brine prema zakonu 

=

−

2

2

1

o

m

m

v

c

.............................................................................. ....  (1.1) 

gdje je: 

v 

 brzina kretanja tijela, a 

c

 brzina svjetlosti

. 

Prema jedna

č

ini (1.1) slijedi zaklju

č

ak da brzina materijalnog tijela koje 

u stanju mirovanja ima masu 

m

o

 ve

ć

u od nule nikada ne može dosti

ć

i 

11

1- UVOD U MEHANIKU 

2) Zakon proporcionalnosti sile i ubrzanja: 

Promjena ubrzanja (akceleracija) 

G

a

 ili brzine 

G

v

 nekog tijela 

proporcionalna je sili 

G

F

 koja djeluje na to tijelo, a odvija se u pravcu i 

smjeru djelovanja sile, to jest 

=

⋅

G

G

F

m a

, ......................................................................................(1.3) 

gdje su: 

G

F

 i 

G

a

 vektori istog pravca i smjera, a 

m

 masa tijela. 

3) Princip jednakosti akcije i reakcije: 

Dva tijela koja se dodiruju, djeluju uvijek uzajamno jedno na drugo, 
silama koje su po intenzitetu i pravcu jednake, ali suprotna smjera. 

Kra

ć

e re

č

eno, 

"actio=reactio"

, odnosno akcija je uvijek jednaka i 

suprotno usmjerena reakciji. 
Prvi zakon je ve

ć

i bio poznat

 Galilei

-u i on je posljedica drugog aksioma 

prema kome je za silu 

G

F

 = 0 i ubrzanje 

G

a

 = 0, što zna

č

i da se brzina 

G

v

ne mijenja po pravcu i veli

č

ini. Uopšteno možemo re

ć

i da je inercijalno 

kretanje tijela dosta složena pojava. 
Drugi zakon predstavlja ustvari dinami

č

ku definiciju sile. 

Prema tre

ć

em zakonu je o

č

igledno da mase tijela djeluju jedna na drugu 

silama koje su po veli

č

ini jednake, ali suprotnog smjera, odnosno svaka 

sila (akcija) proizvodi jednaku i suprotno usmjerenu silu (reakcija). 
I zaista posmatraju

ć

i pojave u prirodi, sile se uvijek javljaju u parovima, 

kao akcija i reakcija. Pri tome uopšte nije bitno koju od njih smatramo 
akcijom, a koju reakcijom. 
Karakteristika tehni

č

ke mehanike je ta da su zakoni i teoreme klasi

č

ne 

mehanike, uz primjenu pojma sile, svedeni na oblik koji je prikladan za 
primjenu na materijalna tijela kao što su mašine, vozila, gra

đ

evinske 

konstrukcije i sli

č

no, a koji se susre

ć

u u tehnici. Analiza i primjena 

pojedinih teorema mehanike odnosi se na materijalna tijela, a to zna

č

i 

da oni važe op

ć

enito bez obzira o kakvom se obliku materijalnog tijela 

radi. 

1.3.6 Osnovne veli

č

ine u mehanici i njihove jedinice 

Zakonom o mjernim jedinicama i mjerilima utvr

đ

eno je da se u našoj 

zemlji mogu upotrebljavati samo mjerne jedinice Me

đ

unarodnog sistema 

mjernih jedinica – SI (skra

ć

enica SI - na francuskom jeziku: 

Système 

International d' Unités

). 

Iz niza fizi

č

kih veli

č

ina po dogovoru su izdvojene me

đ

usobno nezavisne 

veli

č

ine, koje nazivamo osnovnim veli

č

inama i za njih su definisane 

osnovne jedinice. Pregled osnovnih veli

č

ina i njihovih jedinica dat je u 

tabeli 1.1. 

12

STATIKA 

Tabela 1.1. Osnovne veli

č

ine i njihove jedinice 

Osnovna mjerna jedinica 

Osnovna veli

č

ina 

Naziv Oznaka 

Dužina metar 

m 

Masa kilogram 

kg 

Vrijeme sekunda 

s 

Ja

č

ina elektri

č

ne struje 

amper 

A 

Termodinami

č

ka temperatura 

kelvin 

K 

Svjetlosna ja

č

ina kandela 

(candela) 

cd 

Koli

č

ina materije 

(supstance, gradiva) 

mol mol 

Ostale fizi

č

ke veli

č

ine i njihove jedinice mogu se definisati pomo

ć

u 

osnovnih veli

č

ina i jedinica primjenom algebarskih izraza i upotrebom 

matemati

č

kih simbola množenja i dijeljenja. Na taj na

č

in dobijene 

veli

č

ine i jedinice nazivamo izvedenim. Neke od izvedenih mjernih 

jedinica dobile su nazive i oznake po imenima poznatih nau

č

nika. 

Primjeri definisanja izvedenih mjernih jedinica: 

- 

jedinica za silu zove se njutn (

newton

) (N): Prema definiciji to je 

sila koja masi od 1 kilograma daje ubrzanje od 1 m/s

2

, odnosno 

1N = 1 kg ·1 m/s

2

 = 1 kgms

-2

, a odre

đ

en je pomo

ć

u formule  

F

 = 

m

·

a 

(

F

 – sila, 

m

 – masa, 

a

 – akceleracija), 

- 

jedinica za mehani

č

ki rad (energiju) zove se džul (

joule

) (J): 1 J = 1 

Nm, a odre

đ

ena je pomo

ć

u formule 

A

 = 

F 

· 

s

 (

A

 – mehani

č

ki rad, 

F

 – sila, 

s

 – pre

đ

eni put), 

- 

jedinica za snagu zove se vat (

watt

) (W): 1W = 1J/s, a odre

đ

ena je 

pomo

ć

u formule 

W

 = 

A

/

t

  (

W

 – snaga, 

A

 – mehani

č

ki rad, 

t

 – vrijeme) itd. 

Za definisanje mehani

č

kih veli

č

ina od navedenih sedam dovoljne su tri 

osnovne veli

č

ine, a to su: dužina, masa i vrijeme. Ostale veli

č

ine kao što 

su: sila, brzina, ubrzanje, pritisak i druge su izvedene veli

č

ine. 

Upotreba SI sistema ima niz prednosti kao što su: 

- 

univerzalnost (može se koristiti u svim granama nauke), 

- 

jednostavan je pošto je izgra

đ

en na bazi koherentnosti jedinica, 

- 

jasan je, pošto su u njemu kona

č

no razlu

č

eni pojmovi mase od 

težine, to jest pojam sile, 

- 

prakti

č

an je jer se koristi ve

ć

 uobi

č

ajenim jedinicama kao što su 

na primjer za dužinu – metar, za vrijeme – sekunda itd., 

14

STATIKA 

1.3.7 Metodi

č

ki pristup rješavanju zadataka u 

mehanici 

Problemi sa kojima se inženjeri i tehni

č

ari susre

ć

u u tehni

č

koj praksi, 

kada je u pitanju mehanika, rješavaju se primjenom razli

č

itih zakona i 

metoda mehanike. Obi

č

no  su  to  analiti

č

ke, grafi

č

ke i grafoanaliti

č

ke 

metode, to jest kombinacija ra

č

unskih i geometrijskih metoda. 

Analiti

č

ko rješenje zadatka podrazumijeva u prvom koraku definisanje 

odre

đ

ene algebarske forme, odnosno oblika, a zatim uvrštavanje 

zadanih numeri

č

kih vrijednosti, nakon 

č

ega se dobijaju odgovaraju

ć

i 

rezultati. Izbor metode koju 

ć

emo koristiti za rješavanje zadatka zavisi 

od zahtjeva u pogledu ta

č

nosti rezultata i brzine rješavanja. Ta

č

niji 

rezultati dobijaju se ra

č

unskim metodama ali zahtijevaju ve

ć

i utrošak 

vremena. Grafi

č

ke metode su manje ta

č

ne, ali su zato brže i preglednije. 

Ra

č

unskim metodama se u ve

ć

ini slu

č

ajeva dobija funkcionalna 

zavisnost izme

đ

u zadanih i traženih veli

č

ina, što se 

č

esto upravo i traži, 

dok se grafi

č

kim metodama ta zavisnost odre

đ

uje odgovaraju

ć

im 

konstrukcijama dijagrama i planova. Poželjno je da se svaki rezultat 

pažljivo provjeri kao i to da se svaki zadatak, ako je to mogu

ć

e, riješi 

analiti

č

ki i grafi

č

ki. Na taj na

č

in jedna metoda je kontrola druge 

metode. 
Pri rješavanju zadataka iz mehanike cjelokupni proces može se 

uglavnom svesti na tri faze: 

- 

faza pojednostavljenja zadanog složenog problema (definisanje 

idealiziranog modela problema), 

- 

faza rješavanja idealiziranog problema ra

č

unskom i/ili grafi

č

kom 

metodom i 

- 

faza interpretacije dobijenih rezultata u zavisnosti od zadanih 

veli

č

ina postavljenog zadatka. 

Dosljednom primjenom svih navedenih faza pri rješavanju zadataka iz 

mehanike, istovremeno se sti

č

e sigurnost i iskustvo bez 

č

ega ne 

možemo uspješno rješavati probleme iz tehni

č

ke prakse. Osnovni 

zadatak tehni

č

ke mehanike i jeste da se budu

ć

i inženjeri priviknu na 

jedan metodi

č

ki pristup rješavanju postavljenog zadatka. 

15

UVOD U STATIKU 

2.1 Zadatak i podjela statike 

Statika, kao dio mehanike, može se definirati, kao nauka o ravnoteži 
sila koje djeluju na materijalno tijelo, odnosno mehani

č

ki sistem. 

Drugim rije

č

ima, u okviru statike prou

č

avaju se uslovi koji moraju biti 

ispunjeni da bi sile, koje djeluju na promatrano tijelo, odnosno sistem, 
bile u ravnoteži. 
Razlikujemo stati

č

ku i dinami

č

ku ravnotežu. Pod pojmom stati

č

ke 

ravnoteže podrazumijevamo slu

č

aj kada tijelo na koje djeluju sile 

miruje, a kada se tijelo pod djelovanjem sila kre

ć

e jednoliko i 

pravolinijski (

v

 = const.) tada imamo slu

č

aj dinami

č

ke ravnoteže. U tom 

slu

č

aju za kretanje tijela vrijedi zakon inercije (I aksiom), i pri tome 

tijelo se ponaša kao da na njega ne djeluje nikakva sila. Stanje 

mirovanja sa stanovišta kinematike podrazumijeva slu

č

aj kretanja kada 

je brzina jednaka nuli (

v

 = 0). 

Prema na

č

inu i metodama prou

č

avanja ravnoteže krutih tijela, statiku 

možemo podjeliti na elementarnu i analiti

č

ku statiku. 

U elementarnoj statici se razmatraju metode svo

đ

enja ili redukcije 

zadanog sistema sila na jednostavniji oblik. Kako izlaganja u ovom 
dijelu statike imaju geometrijski karakter, taj dio statike zove se još i 

geometrijom sila. Pri rješavanju zadataka u elementarnoj statici služimo 
se analiti

č

kom, grafi

č

kom (geometrijskom) ili grafoanaliti

č

kom 

metodom. Pri analiti

č

kom postupku, tražene veli

č

ine analiziraju se i 

odre

đ

uju numeri

č

ki, a pri grafi

č

kom postupku, sve veli

č

ine se zadaju 

grafi

č

ki i sam proces odre

đ

ivanja traženih veli

č

ina izvodi se 

č

isto 

grafi

č

kim putem. Grafoanaliti

č

ka metoda predstavlja kombinaciju dvije 

prethodne opisane metode. 
Analiti

č

ka statika se zasniva na principu virtualnih radova koji 

predstavljaju fundamentalne principe mehanike i koji definišu op

ć

i 

kriterij ravnoteže mehani

č

kih sistema. 

Prema agregatnom stanju tijela statiku možemo podijeliti na: statiku 

č

vrstih tijela (geostatiku ili samo statiku), statiku te

č

nog fluida 

(hidrostatiku) i statiku plinovitih fluida (aerostatiku). Statika 

č

vrstih 

tijela dijeli se na: statiku krutih tijela (stereostatika), statiku elasti

č

nih 

tijela (elastostatika) i statiku plasti

č

nih tijela (plastostatika). 

17

2- UVOD U STATIKU 

Osnovna jedinica za mjerenje intenziteta sile je 

newton

 (njutn). 

Newton

(N) je sila koja masi od 1 kilograma daje ubrzanje od 1 m/s

2

, 

(1N = 1 kg

⋅

1m/s

2

 = 1 kgm/s

2

), 

Pri prou

č

avanju djelovanja sila na tijelo, obi

č

no se služimo pravouglim 

koordinatnim sistemom (slika 2.1.b), i odre

đ

ujemo položaj napadne 

ta

č

ke (hvatišta) 

A

 sile 

G

F

 pomo

ć

u vektora položaja 

G

r

, odnosno pomo

ć

u 

projekcija 

X

, 

Y

 i 

Z

, vektora 

G

r

 na ose koordinatnog sistema. U tom 

slu

č

aju sila 

G

F

, kao vektorska veli

č

ina, odre

đ

ena je ako je poznat njen 

intenzitet 

=

G

F

F

 i tri ugla, koje vektor 

G

F

 zatvara sa pozitivnim 

smjerovima koordinatnih osa. 

Projekcije vektora 

G

F

 na koordinatne ose odre

đ

ene su relacijama: 

X 

= 

F

x

 = 

F

 cos 

α

, ........................................................................... (2.1.) 

Y

 = 

F

y

= 

F

 cos 

β

..................................................................................

(2.2.) 

Z = 

F

z

 = 

F

 cos 

γ

. ............................................................................ (2.3.) 

Intenzitet sile 

G

F

 izra

č

unavamo na osnovu intenziteta komponenti 

pomo

ć

u poznate relacije: 

=

=

+

+

G

2

2

2

F

F

X

Y

Z

, ............................................................... (2.4.) 

a pravac djelovanja pomo

ć

u relacija: 

α

=

cos

X
F

,................................................................................... (2.5.) 

β

=

cos

Y

F

,.................................................................................... (2.6.) 

γ

=

cos

Z

F

..................................................................................... (2.7.) 

U praksi se intenzitet sile naj

č

eš

ć

e mjeri dinamometrima ili vagom. 

Sistem sila

. Sistem sila definišemo kao skup sila koje djeluju na neko 

tijelo. 

Uravnoteženi sistem sila

. Uravnoteženi sistem sila je onaj pri 

č

ijem 

dejstvu tijelo ili sistem tijela se nalazi u ravnoteži (ne kre

ć

e se, odnosno 

miruje). 

Sistem tijela

. Sistem tijela predstavlja skup materijalnih tijela koja 

uzajamno djeluju jedno na drugo, tako da ravnoteža bilo kojeg tijela 
zavisi od dejstva drugih tijela. Sile me

đ

usobnog djelovanja tijela unutar 

sistema nazivamo unutrašnjim, a sile koje poti

č

u od tijela van sistema 

nazivamo spoljašnjim silama sistema. 

18

STATIKA 

Slobodno tijelo.

 Pod slobodnim tijelom podrazumijevamo tijelo koje nije 

vezano za druga tijela i može da zauzme bilo koji položaj u prostoru 
(npr. hitac u zraku). 

Vezano tijelo

. Za neko tijelo kažemo da je vezano ako je njegovo 

pomjeranje u prostoru ograni

č

eno drugim tijelima. 

Ekvivalentni sistem sila

. Ekvivalentni sistem sila je onaj koji može 

zamijeniti posmatrani sistem sila, koji  djeluje na tijelo, a da se pri tom 

dejstvo na tijelo ne promijeni. 

Rezultanta sila

. Rezultanta datog sistema sila je sila koja je evivalentna 

posmatranom sistemu sila, odnosno ona zamjenjuje dejstvo svih tih sila 
na kruto tijelo. 

Uravnotežavaju

ć

a sila

. Uravnotežavaju

ć

a sila je sila koja je jednaka 

rezultanti po intenzitetu i pravcu, a suprotnog je smjera. 

Koncentrisana sila

. Koncentrisana sila je sila koja djeluje u jednoj 

ta

č

ki tijela (ako se može smatrati da se mehani

č

ko dejstvo prenosi u 

ta

č

ku). 

Kontinuirana sila

. Kontinuirana sila je sila 

č

ije se dejstvo prenosi na 

više ta

č

aka tijela kontinuirano (po dužini, površini ili volumenu datog 

tijela). 

Apsolutno kruto tijelo

. Apsolutno kruto ili kruto tijelo možemo 

definisati kao tijelo kod koga se pri mehani

č

kom dejstvu drugih tijela, 

ne mijenja rastojanje izme

đ

u bilo koje dvije njegove ta

č

ke. 

Materijalna ta

č

ka

. Pojam materijalne ta

č

ke definisali smo tako

đ

er u 

poglavlju 1.1, znamo da pod tim pojmom podrazumijevamo materijalno 

tijelo 

č

ije su dimenzije zanemarive. 

Princip solidifikacije

. Poznato nam je da prirodno 

č

vrsta tijela nisu 

apsolutno 

č

vrsta (kruta) i da se radi toga ona pod djelovanjem vanjskih 

sila deformišu. Kada se takvo, deformisano tijelo nalazi u stanju 
mirovanja, za vanjske sile, koje na to tijelo djeluju, vrijede isti uslovi 

ravnoteže kao i za sile koje djeluju na kruto tijelo. Ako se prirodno 

č

vrsto tijelo nalazi u položaju ravnoteže, ono 

ć

e ostati u ravnoteži i u 

slu

č

aju kada bi cijelo tijelo ili bilo koji njegov dio postao krut. Navedeno 

predstavlja takozvani princip solidifikacije ili ukru

ć

ivanja. Prema tome, 

sva prirodna 

č

vrsta tijela, kada miruju, možemo pri prou

č

avanju 

ravnoteže sila koje na njih djeluju smatrati krutim tijelima. To važi i za 
fluide, odnosno teku

ć

ine i plinove s tim da moramo uvesti i neke 

dopunske uslove ravnoteže. 

2.3. Aksiomi statike 

Rije

č

 aksiom poti

č

e od gr

č

ke rije

č

i 

axioma

 koja ima višestruko zna

č

enje: 

ugled, autoritet sam po sebi, sama sobom vidljiva nau

č

na istina, 

20

STATIKA 

Slika 2.3. Dodavanje uravnoteženog sistema sila postoje

ć

em sistemu 

Ako na kruto tijelo djeluje sila 

G

F

 u ta

č

ki 

A

, na osnovu drugog aksioma, 

u ta

č

ki 

B

 možemo dodati uravnoteženi sistem sila, a pri tome ukupno 

dejstvo sila na sistem ne

ć

e biti promjenjeno. Na osnovu prvog aksioma, 

sila 

G

F

 u ta

č

kama 

A

 i 

B

 može se ukloniti, tako da ostaje samo sila 

G

F

 u 

ta

č

ki 

B

, slika 2.3. Ova konstatacija o pomjeranju sile duž napadne linije 

važi samo za kruto tijelo, dok se za deformabilno tijelo ovaj stav ne bi 

mogao prihvatiti. 

Tre

ć

i aksiom

: Rezultanta dvije sile koje djeluju na tijelo u jednoj ta

č

ki, 

odre

đ

ena je dijagonalom paralelograma, konstruisanog nad silama kao 

njegovim stranicama, slika 2.4. 

Slika 2.4. Definisanje rezultante sila primjenom paralelograma sila 

Drugi postupak za odre

đ

ivanje rezultante dvije sile koje djeluju u jednoj 

ta

č

ki svodi se na, takozvano, pravilo trougla sila, slika 2.5.  

21

2- UVOD U STATIKU 

Slika 2.5. Definisanje rezultante sila primjenom pravila trougla sila 

Na kraj sile 

G

1

F

, nanosi se sila 

G

2

F

, a vektor koji spaja po

č

etak sile 

G

1

F

 i 

kraj sile 

G

2

F

, pretstavlja rezultantu 

G

R

F

 sila 

G

1

F

 i 

G

2

F

. 

Pored ove dvije grafi

č

ke metode, za odre

đ

ivanje rezultante sila koristi se 

i analiti

č

ka metoda. Primjenom kosinusne teoreme, prema slici 2.5, 

intenzitet rezultante odre

đ

en je sljede

ć

im izrazom: 

α

=

+

+

2

2

1

2

1 2

2

cos

R

F

F

F

F F

........................................................ (2.8.) 

Č

etvrti aksiom

: Nastao je iz tre

ć

eg zakona mehanike i glasi: Sile sa 

kojim dva tijela djeluju jedno na drugo jednake su po intenzitetu i 
pravcu, a usmjerene su suprotno, slika 2.6. 

Slika 2.6. Djelovanje uravnoteženog sistema dvije sile suprotnog smjera 

Kod ovih razmatranja posmatramo samo spoljašnje sile, pošto su 
unutrašnje sile izme

đ

u djeli

ć

a krutog tijela me

đ

usobno uravnotežene. 

Peti aksiom

: Ako se deformabilno tijelo nalazi u ravnoteži, ravnotežno 

stanje 

ć

e se zadržati, ako to tijelo postane kruto (princip solidifikacije). 

Šesti aksiom 

(aksiom o vezama): Za neko tijelo kažemo da je vezano 

ako je njegovo pomjeranje u prostoru ograni

č

eno drugim tijelima. Svako 

vezano tijelo može se posmatrati kao slobodno (tijelo 

č

ije pomjeranje u 

23

2- UVOD U STATIKU 

unutrašnjih veza, i obratno. Ako u okviru materijalnog sistema 

dominiraju samo unutrašnje veze tada se on naziva slobodnim. 
Kada bi sistem bio slobodan, djelovanje veza bi se o

č

itovalo u tome što 

bi one spre

č

avale odnosno mijenjale kretanje koje bi priložene vanjske 

sile izazivale. Možemo smatrati da veze proizvode isto djelovanje kao i 
sile pa se zbog toga u mehanici djelovanje veza zamjenjuje silama koje 

nazivamo reakcijama veza. Dakle, djelovanje veza svodi se na sile-
reakcije  veza koje ove proizvode. Na osnovu navedenog možemo 

zaklju

č

iti da pri odre

đ

ivanju ravnoteže neslobodne materijalne ta

č

ke ili 

tijela, veze treba zamIjeniti njihovim reakcijama, to jest osloboditi ta

č

ku, 

odnosno tijelo njihovih veza. Drugim rije

č

ima ako silama koje djeluju na 

materijalnu ta

č

ku ili tijelo dodamo reakcije veza možemo posmatrani 

materijalni sistem smatrati slobodnim. 
Me

đ

utim, treba imati u vidu da se reakcije veza razlikuju od obi

č

nih 

sila, prvenstveno zbog toga što reakcije veza nisu odre

đ

ene samom 

vezom, nego zavise od sila koje djeluju na sistem kao i od kretanja 

sistema. Obi

č

ne sile, naprotiv, ne zavise od drugih sila niti od kretanja 

sistema. Osim toga djelovanje obi

č

nih sila može izazvati kretanje 

sistema, dok reakcije veza ne mogu izazvati nikakvo kretanje. Zbog toga 
reakcije veza nazivamo pasivnim silama, dok su obi

č

ne sile aktivne. 

U ve

ć

ini slu

č

ajeva reakcije veza su nepoznate kako po pravcu i smjeru 

djelovanja tako i po intenzitetu. Razmotrit 

ć

emo nekoliko jednostavnijih 

slu

č

ajeva veza kada možemo odrediti pravac reakcije. 

1. Veza ostvarena pomo

ć

u užeta, lanca i sl.

 Reakcija ima pravac ose 

zategnutog užeta, lanca i sl (slika 2.8). Takve veze mogu prenositi samo 

sile zatezanja, to jest sile koje nastoje prouzrokovati naprezanje na 
zatezanje tih elemenata. 

Slika 2.8. Veza ostvarena pomo

ć

u užeta, lanca ili na sli

č

an na

č

in 

2. Veza ostvarena pomo

ć

u krutog štapa zanemarive težine. 

U 

slu

č

aju veze ostvarene pomo

ć

u krutog štapa zanemarive težine i uz 

zanemareno trenje u zglobovima štapa, reakcija štapa ima pravac 
njegove uzdužne ose, odnosno pravac koji spaja njegove krajnje ta

č

ke 

(slika 2.9). Takva veza može prenositi sile zatezanja i pritiska. 

a) 

b) 

24

STATIKA 

a)

b)

Slika 2.9. Veza ostvarena pomo

ć

u krutog štapa zanemarive težine 

3. Glatka površina.

 U slu

č

aju kada materijalna ta

č

ka ili tijelo može da 

klizi po nepomi

č

noj površini tijela ili materijalnoj liniji bez trenja, 

reakcija veze ima pravac okomit na površinu ili liniju, ili ta

č

nije pravac 

okomit na tangencijalnu ravan kroz dodirnu ta

č

ku (slika 2.10.a). Ako 

površina tijela ili materijalna linija mogu kliziti bez trenja po nepomi

č

noj 

ta

č

ki ili tijelu, odnosno ako se u stanju mirovanja na njih oslanjaju, 

pravac reakcije veze okomit je na pomi

č

nu površinu ili materijalnu liniju 

(slika 2.10.b). 

a)

b)

Slika 2.10. Glatka površina kao veza 

4. Cilindri

č

ni zglob, cilindri

č

ni ležaj

. U slu

č

aju veze pomo

ć

u 

cilindri

č

nog zgloba ili cilindri

č

nog ležaja, pravac reakcije je, zanemarimo 

li trenje, okomit na osu zgloba, odnosno ležaja (slika 2.11). Ako je veza 
ostvarena pomo

ć

u nepomi

č

nog cilindri

č

nog zgloba, pravac reakcije je 

nepoznat, odnosno to može biti bilo koji pravac okomit na osu zgloba, 

što zavisi od položaja vezanog tijela i sila koje na njega djeluju. Tipi

č

an 

primjer takve veze je nepomi

č

ni oslonac nosa

č

a (punih linijskih, 

rešetkastih, okvirnih i dr.). Obi

č

no se reakcija cilindri

č

nog zgloba ili 

ležaja, radi lakšeg izu

č

avanja problema razlaže u dvije komponente. 

26

STATIKA 

Slika 2.13. Uklještenje kao veza 

Za razliku od navedenih veza koje zbog zanemarivanja odre

đ

enih 

karakteristika, kao što su trenje ili sopstvena težina, nazivamo idealnim 
vezama, u stvarnosti su to veze kod kojih se javlja i trenje. U tom 
slu

č

aju se ukupna reakcija definiše preko komponente normalne i 

tangencijalne reakcije. Tangencijalna komponenta reakcije leži u 
tangencijalnoj ravni postavljenoj kroz ta

č

ku, liniju ili površinu dodira 

dva tijela i naziva se silom trenja. Primjer takve veze prikazan je na slici 

2.14. 

Slika 2.14. Reakcija veze razložena na normalnu i tangencijalnu 

komponentu – realna veza 

Iz navedenog se može zaklju

č

iti da je reakcija veze uvijek usmjerena 

suprotno pravcu i smjeru kretanja tijela. 

27

SISTEM SU

Č

ELJNIH 

SILA 

3.1 Definicija sistema su

č

eljnih sila 

Sistem su

č

eljnih sila definišemo kao sistem sila koje djeluju na tijelo u 

jednoj ta

č

ki ili u razli

č

itim ta

č

kama krutog tijela, pri 

č

emu mora biti 

zadovoljen uvjet da se produžene napadne linije tih sila sijeku u jednoj 

ta

č

ki. Ako sve sile koje djeluju na tijelo leže u jednoj ravni onda 

govorimo o

 ravanskom sistemu su

č

eljnih sila

, slika 3.1a, ako su

č

eljne 

sile, koje djeluju na tijelo, ne leže u istoj ravni onda govorimo o 

prostornom sistemu su

č

eljnih sila

, slika 3.1b. Kao specijalan slu

č

aj 

ravanskog sistema su

č

eljnih sila je 

sistem kolinearnih sila

, slika 3.1c. 

       a)                                    b)                                c) 

Slika 3.1 Su

č

eljni sistem sila 

Odre

đ

ivanje rezultante, njezinog pravca, smjera i intenziteta analiti

č

kim 

i grafi

č

kim putem za su

č

eljni sistem sila, ve

ć

 je prezentirano u 

prethodnim poglavljima. Ukoliko imamo više sila njihovu rezultantu 
najjednostavnije možemo odrediti vektorskim sabiranjem svih 
komponenti sila. 

=

+

+

+

G

G

G

G

"

1

2

R

n

F

F

F

F

,...................................................................... (3.1) 

=

=

∑

G

G

1

n

R

i

i

F

F

...................................................................................... (3.2) 

29

3- SU

Č

ELJNI SISTEM SILA 

a) Ako su zadani pravci razlaganja sile 

Ako su poznati pravci 

AB

 i 

AC

, silu 

G

F

 možemo razložiti po pravilu 

paralelograma na komponente 

G

1

F

 i 

G

2

F

, slika 3.4. 

Slika 3.4 Razlaganje sile na komponente primjenom 

pravila paralelograma sila 

b) Ako je zadat intenzitet komponenti 

U ovom slu

č

aju postupamo na isti na

č

in kao kod konstrukcije trougla, 

kada su poznate veli

č

ine sve tri stranice. Dakle u ovom slu

č

aju nad 

datom silom konstruišemo trougao sila, pri tome se vrh rezultante mora 

su

č

eljavati sa vrhom jedne od komponenti. 

c) Ako je poznat pravac jedne komponente i intenzitet druge 

komponente 

Isto tako i ovaj zadatak se rješava konstrukcijom trougla, tako što se od 
po

č

etka date sile 

G

F

 povu

č

e pravac zadate komponente, a šestarom se iz 

kraja sile 

G

F

 opiše kružnica 

č

iji polupre

č

nik odgovara intenzitetu druge 

komponente. Presjekom ove kružnice sa zadatim pravcem odre

đ

uje se 

veli

č

ina, pravac i smjer obje komponente na koje se razlaže sila 

G

F

. 

d) Ako je zadat pravac, smjer i intenzitet jedne komponente 

U ovom slu

č

aju, primjenom pravila o paralelogramu sila, bez ikakvih 

problema može se zadata sila 

G

F

 razložiti na pripadaju

ć

e komponente, 

pošto je jedna od komponenti potpuno definisana. 
U konkretnom slu

č

aju kod rješavanja zadataka, odnosno postavljenih 

problema su

č

eljnih sila u ravni, mogu

ć

e je odrediti najviše dvije 

nepoznate komponente, odnosno reakcije veza, slika 3.5. Ovo proizilazi 

iz pravila o trouglu sila. 

30

STATIKA 

Slika 3.5 Razlaganje sila poznatog pravca, smjera i intenziteta na 

komponente u konkretnim slu

č

ajevima djelovanja su

č

eljnog sistema sila 

U oba zadatka, slika 3.5a i 3.5b prvo su definisane reakcije veza, a 
zatim je izvršeno slaganje komponentnih sila u zatvoreni poligon-

trougao, 

č

ime je potvr

đ

en uslov ravnoteže. 

3.3 Projekcije sile na osu i na ravan 

Sila 

G

F

, kao vektorska veli

č

ina, može se rastaviti na komponente, 

odnosno može se projektovati na osu ili na ravan. Projekcija sile 

G

F

 na 

osu je skalarna veli

č

ina, slika 3.6.  

Slika 3.6 Projekcija sile na osu 

Ortogonalna projekcija sile 

G

F

 na osu O

x

 odre

đ

ena je dužinom  ' '

A B

, 

koja može biti pozitivna, negativna i jednaka nuli; zavisno od položaja i 
orijentacije ose O

x

 u odnosu na silu 

G

F

. 

' '

A B

= 

X

 = 

F

x

 = 

F

 cos 

α

..................................................................(3.4) 

Ova konstatacija je proistekla iz vektorske algebre gdje projekciju sile 

G

F

na osu O

x

 definišemo skalarnim proizvodom vektora 

G

F

 i jedini

č

nog 

vektora 

G

i

. 

G

F

- sila 

G

i

- jedini

č

ni vektor 

X

=

F

x 

–projekcija sile

G

F

na osu 0

x

(skalarna veli

č

ina) 

32

STATIKA 

Slika 3.8 Projekcija sile na ose  

pravokutnog koordinatnog sistema u ravni 

Prema tome, za jednozna

č

no odre

đ

ivanje sile 

G

F

 moramo poznavati 

njezine dvije projekcije slika 3.8b (slu

č

aj da sila djeluje u ravni). Prema 

slici 3.8b, sila 

G

F

 definisana je paralelogramom konstruisanim nad 

projekcijama 

F

x

 i 

F

y

. Intenzitet sile 

G

F

 odre

đ

en je slijede

ć

im izrazom: 

=

=

+

=

+

G

2

2

2

2

x

y

F

F

F

F

X

Y

........................................................(3.9) 

Položaj pravca napadne linije sile 

G

F

 u ravni Ox

y

 odre

đ

en je uglom 

α

koji je definisan izrazima: 

α

=

=

=

+

+

2

2

2

2

cos

x

x

x

y

F

F

X

F

F

F

X

Y

, ................................................(3.10) 

α

=

=

=

+

+

2

2

2

2

sin

y

y

x

y

F

F

Y

F

F

F

X

Y

. ................................................(3.11) 

U slu

č

aju da sila 

G

F

 ne leži u jednoj ravni, to je za njeno definisanje 

pravca, smjera i intenziteta u Dekartovom koordinatnom sistemu 

neophodno poznavati tri komponente, slika 3.9. 
 

33

3- SU

Č

ELJNI SISTEM SILA 

Slika 3.9 Razlaganje sile na tri komponente 

F

x

=

=

=

,

y

z

ac F

ad i F

ae

 su ortogonalne projekcije sile 

G

F

 na ose 

koordinatnog sistema O

xyz

. 

U ovom slu

č

aju intenzitet sile 

G

F

 je: 

=

=

+

+

=

+

+

G

2

2

2

2

2

2

x

y

z

F

F

F

F

F

X

Y

Z

......................................... (3.12) 

a pravac sile 

G

F

 je definisan uglovima 

α

, 

β

, 

γ

. 

α

α

⎛

⎞

=

=

⎜

⎟

⎝

⎠

cos

arccos

x

x

F

F

ili

F

F

................................................... (3.13) 

β

β

⎛

⎞

=

=

⎜

⎟

⎝

⎠

cos

arccos

y

y

F

F

ili

F

F

................................................... (3.14) 

γ

γ

⎛

⎞

=

=

⎜

⎟

⎝

⎠

cos

arccos

z

z

F

F

ili

F

F

.................................................... (3.15) 

pri tome je:  

α

β

γ

+

+

=

2

2

2

cos

cos

cos

1

............................................................. (3.16) 

3.5 Analiti

č

ki uslovi ravnoteže sistema 

su

č

eljnih sila 

Da bi sistem su

č

eljnih sila bio u ravnoteži, potreban i dovoljan uslov je 

da rezultanta sistema bude jednaka nuli. 
 

a) Slu

č

aj ravnog sistema su

č

eljnih sila 

Ravnoteža ravnog sistema su

č

eljnih sila odre

đ

ena je izrazima:

=

=

∑

1

0

n

xi

i

F

...................................................................................... (3.17) 

35

3- SU

Č

ELJNI SISTEM SILA 

Slika 3.10 Su

č

eljni sistem sila u ravni

koji djeluje na ta

č

ku M

Primjeri: 

Zadatak 3.1. 

Za dati sistem 

su

č

eljnih sila, prikazan na slici 

3.10, analiti

č

ki i grafi

č

ki 

odrediti rezultantu ako je: 

F

1

=100 N, 

F

2

=200 N, 

F

3

=320 N, 

F

4

=450 N, 

α

1

=45

0

, 

α

2

=120

0

, 

α

3

=210

0

, 

α

4

=300

0

. 

Rješenje: 
a) Analiti

č

ko rješenje 

Projekcije datih sila na ose 

koordinatnog sistema 

x

O

y

definisane su izrazima: 
 
- osa 

x

X

1

 = 

F

1

 cos 

α

1

= 100

⋅

cos 45

°

 = 100

⋅

0,7071  

X

1

 = 70,71 N 

X

2

 = 

F

2

 cos 

α

2

 = 200

⋅

cos 120

°

 = 200

⋅

(-0,5)  

X

2

 = -100 N 

X

3

 = 

F

3

 cos 

α

3

 = 320

⋅

cos 210

°

 = 320

⋅

(-0,8660) 

X

3

 = -277,12 N 

X

4

 = F

4

 cos 

α

4

 = 450

⋅

cos 300

°

 = 300

⋅

0,5  

X

4

 = 225 N 

- osa 

y

Y

1 

= 

F

1

 sin 

α

1

 = 100

⋅

sin 45

°

 = 100

⋅

0,7071  

Y

1

 = 70,71 N 

Y

2

 = 

F

2

 sin 

α

2

 = 200

⋅

sin 120

°

 = 200

⋅

0,8660 

Y

2

 = 173,20 N 

Y

3

 = 

F

3

 sin 

α

3

 = 320

⋅

sin 210

°

 = 320

⋅

(-0,5)  

Y

3

 = -160 N 

Y

4

 = 

F

2

 cos 

α

4

 = 450

⋅

sin 300

°

 = 450

⋅

(-0,8660) 

Y

4

 = -389,70 N 

Komponente rezultante datog sistema su

č

eljnih sila definisane su 

izrazima: 

=

=

=

=

+

+

+

=

−

−

+

= −

=

=

+

+

+

=

+

−

−

= −

∑

∑

4

1

2

3

4

1

4

1

2

3

4

1

70,71 100 277,12 225

81,41 N

70,71 173,20 160 389,70

305,79 N

R

i

i

R

R

i

i

R

X

X

X

X

X

X

X

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Intenzitet rezultuju

ć

e sile definisan je izrazom: 

(

) (

)

=

+

=

−

+ −

=

2

2

2

81,41

305,78

316,44 N

R

R

R

R

R

F

X

Y

F

F

36

STATIKA 

S obzirom da je 

X

R

<

 0 i 

Y

R

<

 0, rezultuju

ć

a sila 

F

R

 nalazi se u tre

ć

em 

kvadrantu, a njen pravac odre

đ

en je izrazima: 

(

)

(

)

α

α

α

α

−

=

=

=

= −

=

+

=

+

=

=

G G

0

'

0

0

0

81,41

cos '

cos ,

cos '

0,257

316,44

180

180

arc cos 0,257

255,09

255 54'

R

R

R

R

R

R

R

X

i F

F

a) Grafi

č

ko rješenje: 

Da bi zadatak rješili grafi

č

ki, prvo moramo usvojiti razmjeru za silu, 

naprimjer U

F

 = 100 N/1 cm, a zatim na osnovu plana položaja (slika 

3.11a) nacrtati plan sila nadovezuju

ć

i redom sile 

G G G

G

1

2

3

4

, ,

i

F F F

F

 kako je 

prikazano na slici 3.11b. 

Slika 3.11 Grafi

č

ko rješenje zadatka 3.1. 

Rezultanta 

G

R

F

, datog sistema su

č

eljnih sila, definisana je dužinom 

ae

 u 

okviru plana sila. Intenzitet rezultuju

ć

e sile definisan je izrazom: 

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

1

2

3

4

100 N

1 cm

'

/

1 cm

'

/

2 cm

/

3,2 cm

/

4,5 cm

F

F

F

F

F

U

ab c c

F U

bc

ac

F U

cd

F U

de

F U

38

STATIKA 

Slika 3.13 Djelovanje kolinearnog sistema sila duž ose x 

Pravac rezultante 

G

R

F

 je definisan osom 

x

 odnosno poklapa se sa 

pravcima sila 

G G

G

1

2

3

,

F F

i F

, a smjer odgovara pozitivnom smjeru ose x. 

Napadna ta

č

ka rezultante 

G

R

F

 je ta

č

ka 

A

. 

b) Grafi

č

ko rješenje 

Slika 3.14 Grafi

č

ko rješenje zadatka 3.2. 

Na osnovu usvojene razmjene za silu U

F

 = 100 N/1 cm i plana položaja 

(slika 3.14a), crtamo plan sila (slika 3.14b), u razmjeri, crtaju

ć

i sile 

redom 

G G

G

2

3

1

,

i

F F

F

 , na osnovu 

č

ega spajaju

ć

i po

č

etak prve sile 

G

2

F

 i kraj 

posljednje sile 

G

1

F

, sa smjerom ka kraju posljednje sile, dobijamo 

rezultantu 

G

R

F

č

iji je intenzitet definisan izrazom: 

=

⋅

=

=

100 N

3,5 cm

350 N

1cm

R

F

R

R

F

ad U

F

F

=

=

=

=

=

=

=

2

3

1

100 N

1cm

/

2 cm

/

3 cm

/

1,5 cm

F

F

F

F

U

ab F U
bc

F U

cd

F U

39

3- SU

Č

ELJNI SISTEM SILA 

Slika 3.15 Zra

č

ni balon za 

mjerenje brzine vjetra 

Slika 3.16 Balon  

oslobo

đ

en veza 

Zadatak 3.3. 

Zra

č

ni balon sfernog 

oblika i pre

č

nika 

=

2 2

D

 m, 

napunjen helijem, koristi se za 
mjerenje brzine vjetra. Balon je 

vezan za tlo pomo

ć

u užeta AB 

zanemarljive težine i dužine 

=

49 2

L

m. Pod dejstvom vjetra 

balon se pomjeri tako da mu je 
rastojanje od tla 

OC

= h = 50 m. 

Odrediti silu u užetu i silu vjetra, 

ako je ukupna težina balona 

G

 = 

1,85 N i ako na balon djeluje sila 
potiska intenziteta 

F

p

 = 6,3 N. 

Smatrati da je sila vjetra 

horizontalna.

Rješenje: 
a) Analiti

č

ko rješenje 

Neka je 

G

F

 sila kojom vjetar djeluje na 

balon, a 

G

u

F

sila u užetu. Ako zamislimo 

da smo uklonili uže, a njegov uticaj 
zamijenili silom 

G

u

F

, onda se balon 

A

nalazi u ravnoteži pod dejstvom 

č

etiri sile, 

koje djeluju u istoj ravni i sijeku se u 

jednoj ta

č

ki, ta

č

ki O (slika 3.16). Dakle 

imamo ravanski sistem su

č

eljnih sila. 

Stati

č

ki uslovi ravnoteže za usvojeni 

koordinatni sistem, prema slici, 
definisani su jedna

č

inama: 

∑

 X = 0 

F

 – 

F

u

 cos 

α

 = 0.................................................................................. (a) 

∑

 Y = 0 

F

p

 – 

G

 - 

F

u

 sin 

α

 = 0 ........................................................................... (b) 

Ugao 

α

 možemo odrediti pomo

ć

u izraza: 

α

=

⎛

⎞

+

⎜

⎟

⎝

⎠

sin

2

h

D

L

............................................................................... (c) 

41

3- SU

Č

ELJNI SISTEM SILA 

Slika 3.18 Šematski prikaz 

homogenog cilindra oslonjenog 

na glatke stjenke

Presjekom pravaca nepoznatih sila 

G

u

F

 i 

G

F

 dobijamo ta

č

ku 

d

č

ime je uz 

ta

č

ke 

a

 i 

c

 definisan intezitet tih sila, odnosno slijedi: 

=

⋅

=

=

=

⋅

=

=

1N

6,29 cm

6,29 N

1cm

1N

4,45 cm

4,45 N

1cm

u

F

u

u

F

F

da U

F

F

F

cd U

F

F

Smjerove odre

đ

ujemo tako da dobijemo zatvoren plan sila. 

Zadatak 3.4. 

Homogeni cilindar težine 

G

 = 60 N oslanja se u ta

č

ki 

A

 na 

glatku kosu ravan koja zaklapa ugao 

α

 = 60

0

 u odnosu na horizontalu, a u 

ta

č

ki 

B

, koja se nalazi na itoj 

horizontali sa ta

č

kom 

A

, oslanja se na 

ispust (slika 3.18). Analiti

č

ki i grafi

č

ki 

odrediti reakcije kose ravni i ispusta. 

 
Rješenje: 
a) Analiti

č

ko rješenje 

Na slici 3.19 prikazan je cilindar O 
oslobo

đ

en veza, pri 

č

emu je uticaj veza 

zamjenjen silama 

F

A

 i 

F

B

 (reakcijama 

veze). Sa slike je vidljivo da na cilindar 

djeluje ravanski su

č

eljni sistem sila, za 

koje, uz prikazani usvojeni koordinatni 

sistem, možemo definisati stati

č

ke 

uslove ravnoteže u obliku: 

0

sin

sin

0

B

A

X

F

F

α

α

=

−

=

∑

  (a) 

 (a) 

0

Y

=

∑

F

B

 cos 

α

 + 

F

A

 cos 

α

 - 

G

 =0 

(b) 

 
Iz jedna

č

ine (a) slijedi: 

F

B

 sin 

α

 = F

A

 sin 

α

.............................................................................. (a') 

odnosno: 

F

A

 = F

B

............................................................................................... (c) 

Slika 3.19 Homogeni cilindar 

oslobo

đ

en veza 

42

STATIKA 

Ako izraz (c) uvrstimo u jedna

č

inu (b) slijedi: 

F

A

 cos 

α

 + 

F

B

 cos 

α

 - G = 0 ................................................................ (d) 

odnosno: 

α

=

2cos

B

G

F

...................................................................................... (d') 

Uvrštavanjem broj

č

anih vrijednosti dobijamo: 

=

=

=

=

⋅

40

40 N

40 N

2 0,5

B

A

B

F

F

F

b) Grafi

č

ko rješenje 

Na osnovu usvojene razmjere za silu 

U

F

 = 10 N/cm i plana položaja 

(slika 3.20a), crtamo plan sila (slika 3.20b), u razmjeri, polaze

ć

i od 

poznate sile 

G

G

. Zatim kroz po

č

etak sile 

G

G

 povla

č

imo pravac nepoznate 

sile 

G

A

F

, a kroz kraj sile 

G

G

 povla

č

imo pravac nepoznate sile 

G

B

F

. Presjek 

pravaca 

a

  i

  b

 definiše intenzitet sila 

G

A

F

 i 

G

B

F

. U ovom slu

č

aju grafi

č

ko 

rješenje je definisano pomo

ć

u trokuta sila. 

a) Plan položaja  

b) Plan sila 

Slika 3.20 Grafi

č

ko rješenje zadatka 3.4. 

Intenzitet sila veze definisan je izrazima: 

=

⋅

=

=

=

⋅

=

=

10 N

4 cm

40 N

1cm

10 N

4 cm

40 N

1cm

A

F

A

B

F

B

F

ca U

F

F

bc U

F

Smjer sila 

G

A

F

 i 

G

B

F

 odre

đ

ujemo na osnovu grafi

č

kog uslova ravnoteže iz 

koga slijedi da poligon sila mora biti zatvoren. 

=

=

10 N
1 cm

F

F

U

G

ab

U

44

STATIKA 

koja sa ta

č

kama 

a

 i 

c

 definiše intenzitet sila 

G

2

F

 i 

G

3

F

. Smjer sila 

G

2

F

 i 

G

3

F

slijedi iz uslova da poligon sila mora biti zatvoren. 

Slika 3.23 Grafi

č

ko rješenje zadatka 3.5. 

Intezitet sila 

G

2

F

 i 

G

3

F

 definisan je izrazima: 

=

⋅

=

=

≈

=

⋅

=

=

≈

2

2

2

3

3

3

500 N

2,1cm

1050 N 1076, 44 N

1cm

500 N

2, 45cm

1225 N 1243 N

1cm

F

F

F

da U

F

F

F

cd U

F

F

Zadatak 3.6. 

Dizalica 

ABO

 održava se u ravnoteži pomo

ć

u užeta 

BC 

(slika 3.24). Analiti

č

ki i grafi

č

ki odrediti silu u užetu kao i veli

č

inu, 

pravac i smjer reakcije u zglobu 

O

, ako je težina obješenog tereta 

M

 u 

ta

č

ki 

A

 jednaka 

G

G

. Dio 

OB

 dizalice je vertikalan, a uže 

BC

 ima pravac 

AB

. 

Slika 3.24 Šematski prikaz dizalice 

1

500

1 cm

2,95 cm

1,7 cm

F

F

F

N

U

G

ab

U

F

ab

U

=

=

=

=

=

45

3- SU

Č

ELJNI SISTEM SILA 

Dati su podaci: 

=

=

= =

= =

=

25,98 m,

20 m,

39,93 m,

40 kN

AB

a

OB

b

AO

c

G

ϕ

=

0

60 .

i

 Težinu dizalice zanemariti. 

Rješenje: 
a) Analiti

č

ko rješenje 

Na slici 3.25 prikazana je dizalica oslobo

đ

ena veza, pri 

č

emu je uticaj 

veza zamijenjen silama 

G

G

i

O

B

F

F

(reakcije veze). 

G

G

i

O

O

X

Y

 predstavljaju 

komponente sile 

G

O

F

. U ovom slu

č

aju veoma je korisno iskoristiti 

teoremu o tri sile koja glasi: ako se slobodno kruto tijelo nalazi u 

ravnoteži pod dejstvom triju neparalelnih sila, koje leže u jednoj ravni 
onda se napadne linije tih sila moraju sje

ć

i u jednoj ta

č

ki. Osnovne 

postavke teoreme predo

č

ene su na slici 3.25. Sa slike je o

č

igledno da 

imamo tri nepoznate veli

č

ine: 

G

G

O

B

F

i F

 i 

δ

, ili u drugoj varijanti 

G

G

i

O

O

X

Y

 i 

G

B

F

. Da bi odredili nepoznate veli

č

ine potrebno je postaviti tri 

jedna

č

ine koje definišu stati

č

ke uslove ravnoteže. Za usvojeni 

koordinatni sistem 

x

O

y

 uslovi ravnoteže glase: 

∑

X = 0 

- 

X

O

 + 

F

B

 sin 

ϕ

 = 0 ............................................................................. (a)

∑

Y = 0 

Y

O

 – 

G

 - 

F

B

 cos 

ϕ

 = 0 .......................................................................... (b)

∑

M

O

 = 0 

G 

⋅

m 

- 

F

B 

⋅

n

 = 0................................................................................. (c) 

Slika 3.25 Dizalica ABO oslobo

đ

ena veza 

47

3- SU

Č

ELJNI SISTEM SILA 

β

α

=

sin
sin

o

F

G

    te, .............................................................................. (j) 

γ

α

=

sin

sin

B

F

G

...................................................................................... (k) 

Iz jedna

č

ine (i) slijedi: 

β

α

=

sin
sin

c

b

    te, .................................................................................. (l) 

γ

α

=

sin

sin

a
b

.......................................................................................... (m) 

Ako jedna

č

ine (l) i (m) uvrstimo u jedna

č

inu (j) i (k) dobijamo: 

=

o

c

F

G

b

............................................................................................ (n) 

=

=

39,93

40

79,86 kN

20

o

F

=

B

a

F

G

b

........................................................................................... (o) 

=

=

25,98

40

51,96 kN.

20

B

F

b) Grafi

č

ko rješenje: 

Usvojivši razmjeru za dužinu

  U

L

 = 5m/1cm i razmjeru za silu 

U

F

 = 20 

kN/cm, na osnovu plana položaja (slika 3.26a), crtamo plan sila (slika 
3.26b). Povla

č

enjem pravca nepoznate sile 

G

O

F

kroz po

č

etak poznate sile 

G

G

, a pravca nepoznate sile 

G

B

F

 kroz kraj sile 

G

G

, u presjeku dobijamo 

ta

č

ku 

c

 koja definiše trokut sila 

abc

, na osnovu koga su definisani 

intenziteti sila 

G

B

F

 i 

G

O

F

. Smjer sila 

G

B

F

 i 

G

o

F

 definišemo zatvaranjem 

poligona, odnosno, trokuta sila. Na planu sila su definisane i 
komponente sile 

G

O

F

 (trougao 

acd

) povla

č

enjem pravaca komponenti 

G

G

i

O

O

X

Y

 kroz kraj, odnosno po

č

etak sile 

G

O

F

. 

48

STATIKA 

Slika 3.26 Grafi

č

ko rješenje zadatka 3.6. 

Intezitet sila 

G

B

F

 i 

G

O

F

 kao i komponenti 

G

G

i

O

O

X

Y

 definisan je izrazima: 

=

⋅

=

=

=

⋅

=

=

=

⋅

=

=

=

⋅

=

=

20 kN

,

2,6 cm

52 kN

1cm

20 kN

,

4 cm

80 kN

1cm

20 kN

,

2,25 cm

45 kN

1cm

20 kN

3,3 cm

66 kN

1cm

B

F

B

B

O

F

o

O

O

F

o

O

O

F

o

O

F

bc U

F

F

F

ca U

F

F

X

da U

x

X

Y

cd U

y

Y

Zadatak 3.7. 

Glatka lopta polupre

č

nika 

R

 = 1 m i težine 

G

 = 250 N, dodiruju

ć

i 

vertikalni zid, miruje na horizontalnom 
podu (slika 3.27). Kolikom silom 

G

F

treba pritiskivati na nju preko grede 
visine 

h

 = 0,5 m, da bi se lopta malo 

izdignula iznad poda? Sva trenja i težinu 
grede zanemariti. 

a) Analiti

č

ko rješenje: 

Silu 

G

F

 možemo odrediti ako dati sistem rastavimo na dva podsistema 

(podsistem I-lopta i podsistem II-greda). 

=

=

=

20 N

1 cm

2 cm

F

F

U

G

ab

U

=

5 m

1 cm

l

U

Slika 3.27 Šematski prikaz 

sistema lopta-greda

50

STATIKA 

- Greda 

Uravnotežena greda kao podsistem na 
koju djeluju sile 

G

F

, 

G

C

F

 i 

G

N

F

 prikazana je 

na slici 3.29. Za usvojeni koordinatni 
sistem 

x

O'

y

 stati

č

ki uslovi ravnoteže 

definisani su jedna

č

inama:

∑

X = 0 

F

 - 

'

C

F

cos 

α

 = 0   

(e) 

∑

Y =  0 

F

N

 - 

'

C

F

sin 

α

 = 0   

(f) 

'

C

F

= 

F

C

  (g) 

Uvrstivši jedna

č

inu (g) u jedna

č

inu (e) iz jedna

č

ine (e) slijedi: 

F

 = 

'

C

F

cos 

α

 = 

F

C

 cos 

α

...................................................................... (h) 

Prema slici 3.28: 

(

)

α

−

−

−

=

=

=

2

2

2

2

cos

R

R h

R h h

x

R

R

R

...................................... (i) 

na osnovu 

č

ega je: 

−

=

2

2

C

R h h

F

F

R

........................................................................ (j) 

Na osnovu (b') i (d') slijedi iz (j) da je: 

α

−

−

=

=

=

−

−

=

=

−

−

2

2

2

2

2

2

sin

2

2

.

C

R h h

R h h

G

F

F

R

R

R h h

R h h

G R

G

R h

R

R h

......................................... (k) 

Dakle prema uslovima zadatka, sila 

G

F

 je odre

đ

ena izrazom: 

−

≥

−

2

2

R h h

F

G

R h

.............................................................................. (l) 

odnosno: 

⋅ ⋅

−

≥

≥

−

2

2 1 0,5 0,5

250

433,01 N

1 0,5

F

F

Slika 3.29 Greda

oslobo

đ

ena veza

51

3- SU

Č

ELJNI SISTEM SILA 

Iz jedna

č

ine (f) slijedi: 

α

α

=

=

'

sin

sin

N

C

C

F

F

F

...................................................................... (m) 

odnosno: 

F

N

 = 500 

⋅

 0,5 = 250 N 

b) Grafi

č

ko rješenje 

Silu 

G

F

 grafi

č

ki možemo odrediti ako definišemo ravnotežu svakog 

podsistema posebno. Dobit 

ć

emo dva ravanska sistema su

č

eljnih sila za 

koje, u slu

č

aju ravnoteže, poligoni sila moraju biti zatvoreni. Usvojivši 

razmjeru za silu 

U

F

 = 200 N/cm, na osnovu plana položaja (slika 3.30a), 

crtamo plan sila (slika 3.30b). 

Slika 3.30 Grafi

č

ko rješenje zadatka 3.7. 

Kod crtanja plana sila u slu

č

aju kugle polazimo od poznate sile 

G

G

 iz 

č

ijeg po

č

etka povla

č

imo pravac nepoznate sile 

G

B

F

. Taj pravac u presjeku 

sa pravcem nepoznate sile 

G

C

F

, koji povla

č

imo iz kraja sile 

G

G

, definiše 

ta

č

ku 

c

. Ta

č

ka 

c

 sa ta

č

kama 

a

 i 

b

  definiše  trokut  sila 

abc

 na osnovu 

kojeg su odre

đ

eni inteziteti sila 

G

C

F

 i 

G

B

F

. Analogno definišemo sile 

G

F

 i 

G

N

F

, koje djeluju na gredu, polaze

ć

i od poznate sile 

= −

G

G

'

C

C

F

F

. Kroz 

po

č

etak sile 

G

'

C

F

 povla

č

imo pravac nepoznate sile 

G

N

F

, a kroz kraj sile 

G

'

C

F

povla

č

imo pravac nepoznate sile 

G

F

. U presjeku tih pravaca definisana 

je ta

č

ka 

c'

 koja sa ta

č

kama 

a

' i 

b

' definiše trokut sila 

a'b'c'

 na osnovu 

200 N

1 cm

'

1,25 cm

F

C

C

F

U

F

F

G

ab

U

=

=

=

=

53

3- SU

Č

ELJNI SISTEM SILA 

∑

Y = 0 

F

B

 – 

F

C

 cos 

β

 - 2

G

 = 0  ...................................................................... (b) 

∑

M

o2

 = 0 

-

G

⋅

2

R

⋅

cos 

α

 + 

F

A

⋅

 2

R

⋅

sin 

α

 = 0 .......................................................... (c) 

Iz jedna

č

ine (c) slijedi: 

α

α

α

=

=

cos

sin

tg

A

G

F

G

............................................................................ (d) 

=

=

20

11,55 kN

1,7321

A

F

Silu 

G

C

F

 odredit 

ć

emo iz jedna

č

ine (a): 

=

sin

A

C

F

F

β

......................................................................................... (a') 

=

=

11 55

16 33 kN

0 7071

C

,

F

,

,

Sila 

G

B

F

 definisana je jedna

č

inom (b) 

F

B

 = 

F

C

 cos 

β

 + 2

G

............................................................................. (b') 

F

B

 = 16,33 

⋅

 0,7071 + 2 

⋅

 20 = 51,55 kN 

Silu me

đ

usobnog pritiska cilindara I i II 

odredit 

ć

emo rastavljanjem datog 

sistema na dva podsistema (cilindar I i 
cilindar II). 
Na slici 3.33 prikazan je cilindar I kao 
jedan od podsistema na osnovu kojeg 

možemo odrediti silu me

đ

usobnog 

pritiska cilindara I i II. Za usvojeni 
koordinatni sistem 

x

O

1

y 

stati

č

ki uslovi 

ravnoteže za ravanski su

č

eljni sistem 

sila na slici glase: 

∑

X

 = 0 

F

D

cos

α

 - F

A

= 0................................................................................. (e) 

∑

Y

 = 0 

F

D

sin

α

 - G 

= 0 .................................................................................. (f) 

Slika 3.33 Cilindar I kao 

podsistem oslobo

đ

en veza 

54

STATIKA 

Iz jedna

č

ine (f) slijedi: 

α

=

sin

D

G

F

........................................................................................ (f') 

=

=

20

23,1 kN

0,86603

D

F

Za izra

č

unatu silu me

đ

usobnog pritiska cilindara I i II 

G

D

F

, iz jedna

č

ine 

(e) možemo izra

č

unati silu 

G

A

F

 i izvršiti kontrolu ve

ć

 dobijene vrijednosti 

za tu silu. 

F

A

 = 

F

D

 cos 

α

..................................................................................... (e') 

F

A

 = 23,1

⋅

0,5 = 11,55 kN 

Dobili smo identi

č

an rezultat, a to zna

č

i da smo sile 

G

G

G

G

,

,

i

A

B

C

D

F F F

F

mogli odrediti analizom stati

č

kih uslova ravnoteže podsistema (cilindar I 

i cilidnar II). 

b) Grafi

č

ko rješenje 

Reakcije u ta

č

kama 

A

 i 

B

, silu u užetu 

CO

2

 i silu me

đ

usobnog pritiska 

cilindara I i II grafi

č

ki možemo odrediti preko podsistema (cilindar I i 

cilidnar II) 

č

ija ravnoteža uvjetuje ravnotežu sistema u cjelini. 

Na osnovu plana položaja (slika 3.34a) usvojene razmjere za silu 

U

F

 = 10 

kN/cm, crtamo plan sila (slika 3.34b). 

-  Cilindar I 

a) Plan položaja                                          b) Plan sila 

Slika 3.34 Grafi

č

ko rješenje za cilindar I 

Reakcija vertikalnog glatkog zida 

G

A

F

 i sila me

đ

usobnog pritiska 

cilindara 

G

D

F

 grafi

č

ki su odre

đ

ene pomo

ć

u trokuta sila, odnosno, kroz 

=

=

=

5 kN

1cm

4 cm

F

F

U

G

ab

U

56

STATIKA 

Zadatak 3.9.

 Poklopac parne turbine, težine 

G

 = 15 kN, podiže se 

ravnomjerno pomo

ć

u dizalice kako je prikazano na slici 3.36. Pogonski 

dio užeta obrazuje sa horizontalom ugao 

α

 = 45

0

. Zatege 

CB

 i 

DB

 leže u 

horizontalnoj ravni i sa vertikalom obrazuju uglove od 45

0

. Odrediti sile 

u strijeli 

AB

 i zategama, ako je ugao 

γ

 = 30

0

. Kotur 

B

 smatrati idealnim. 

Slika 3.36. Šematski prikaz dizalice 

Rješenje: 

Slika 3.37. Sistem dizalice razložen na dva podsistema oslobo

đ

en veza 

Ako sistem razložimo na dva podsistema kao što je prikazano na slici 

3.37, možemo da uo

č

imo da na kotur 

B

 djeluje prostorni sistem 

su

č

eljnih sila. Uticaj zatega i strijela u ovom slu

č

aju zamijenjen je 

odgovaraju

č

im reakcijama veze, odnosno silama 

G

G

G

,

i

.

BC

BD

AB

F

F

F

Analiti

č

ki uvjeti ravnoteže kotura B, prema slici 3.37a, definisani su 

jedna

č

inama: 

57

3- SU

Č

ELJNI SISTEM SILA 

=

=
=

∑

∑

∑

0

0
0

X

Y

Z

.......................................................................................... (a) 

To zna

č

i da rezultanta sila, koje djeluju na kotur B mora biti jednaka 

nuli, odnosno: 

=

+

+

+

+

=

G

G

G

G

G

G

0

R

AB

BK

U

BC

BD

F

F

F

F

F

F

..................................................... (b) 

Poznate sile su 

G

G

i

BK

U

F

F

, a nepoznate 

G

G

G

,

i

.

AB

BC

BD

F

F

F

Na osnovu jedna

č

ina (a) slijedi: 

∑

X = 0 

F

BC

 sin 45

0

 – 

F

BD

 sin 45

0

 = 0 .............................................................. (c) 

∑

Y = 0 

-

F

BC

 cos 45

0

 – 

F

BD

 cos 45

0

– 

F

U

 cos 

α

 - 

F

AB

 sin 

γ

 = 0 ............................. (d) 

∑

Z = 0 

-

F

BK

 – 

F

AB

 cos 

γ

 – 

F

U

 sin 

α

 = 0............................................................. (e) 

Prema slici 3.37b, možemo da uo

č

imo da na poklopac djeluje sistem 

kolinearnih sila, a njihovom projekcijom na osu z dobijamo izraz: 

∑

z = 0 

− =

'

0

BK

F

G

....................................................................................... (f) 

iz koga slijedi da je: 

=

'

BK

F

G

............................................................................................ (g) 

Uvrštavanjem broj

č

ane vrijednosti u izraz (g) dobijamo da je 

=

=

'

15 kN.

BK

F

G

 Kako je: 

= −

G

G

'

BK

BK

F

F

......................................................................................... (h) 

i 

=

'

BK

BK

F

F

.......................................................................................... (i) 

slijedi da je intenzitet sile 

F

BK

 = 15 kN. 

 
Kako je kotur 

B

 idealan kotur iz momentne jedna

č

ine za ta

č

ku O, slika 

3.37c, možemo da odredimo silu u užetu 

G

u

F

. Momentna jedna

č

ina glasi: 

59

RAVANSKI SISTEM 
SILA  

4.1 Moment sile u odnosu na ta

č

ku 

Moment sile u odnosu na ta

č

ku jednak je proizvodu intenziteta sile i 

najkra

ć

eg rastojanja od ta

č

ke do sile. 

Djelovanje momenta sile na tijelo, uzrokuje obrtanje tijela oko 
nepomi

č

ne ta

č

ke, odnosno oko nepomi

č

ne ose. Moment sile koji 

uzrokuje obrtanje tijela u smjeru suprotnom od smjera obrtanja 
kazaljke na satu je pozitivan (+), odnosno moment koji uzrokuje 
obrtanje tijela u smjeru obrtanja kazaljke na satu je negativan, slika 

4.1. 

Slika 4.1 Moment sile za ta

č

ku 

=

⋅

G

G

1

1

M

F h

..................................................................................... (4.1) 

= −

⋅

G

G

2

2

M

F h

................................................................................ (4.2) 

Moment sile za ta

č

ku "O" je vektorska veli

č

ina i obilježava se sa 

G

G

F

o

M

, a 

jedinica mjere za moment je 

[

Nm

]

. 

Prema navedenoj konvenciji, zavisno od smjera obrtanja, moment sile 
za ta

č

ku može biti pozitivan ili negativan, slika 4.1. 

Prema izrazu (4.1) i (4.2) jasno je, da je intenzitet momenta sile u 
odnosu na ta

č

ku jednak dvostrukoj površini trougla konstruisanog 

izme

đ

u krajeva vektora sile i momentne ta

č

ke, slika 4.2. 

60

STATIKA 

Slika 4.2 Geometrijska interpretacija momenta sile za ta

č

ku 

Δ

=

⋅ =

⋅

1

1

(

)

2

2

P ABC

AB h

F h

...........................................................(4.3) 

=

⋅ =

Δ

G

2

(

)

F

o

M

F h

P ABC

................................................................(4.4) 

U slu

č

aju da napadna linija sile 

G

F

prolazi kroz momentnu ta

č

ku "O", 

tada je intenzitet momenta sile 

G

F

 za ta

č

ku "O" jednak nuli 

(

)

=

G

G

0 .

F

o

M

Moment sile 

G

F

 u odnosu na momentnu ta

č

ku "O" može se definisati i 

preko vektorskog proizvoda vektora sile 

G

F

 i vektora položaja 

G

r

, slika 

4.3. 

= ×

G

G

G

G

F

o

M

r F

.....................................................................................(4.5) 

Slika 4.3 Definicija momenta sile za ta

č

ku preko 

vektorskog proizvoda vektora položaja i vektora sile 

Sada je intenzitet vektora momenta sile 

G

F

, za ta

č

ku "O" odre

đ

en 

sljede

ć

im izrazom: 

( )

=

=

∠

=

⋅

G

G

G

G

G

G

G

sin

,

.

F

F

o

o

M

M

F

r

F r

F h

.........................................(4.6) 

Ako je položaj sile 

G

F

 definisan u odnosu na referentni koordinatni 

sistem O

xyz

, 

č

iji se koordinatni po

č

etak poklapa sa momentnom 

62

STATIKA 

Slika 4.4 Sistem su

č

eljnih sila u ravni xOy 

Svaka od sila stvara moment u odnosu na ta

č

ku "0". Kao što je poznato, 

intenzitet momenta bilo koje od ovih sila jednak je dvostrukoj površini 
odgovaraju

ć

eg trougla. Tako na primjer: 

= ⋅ Δ

=

⋅

G

G

1

1

2

(

)

F

o

M

P OAB

OA Y

.............................................................(4.13) 

Na isti na

č

in definisan je i intenzitet momenta rezultante 

G

R

F

, u odnosu 

na momentnu ta

č

ku "0": 

= ⋅ Δ

=

⋅

G

G

2

(

)

R

F

o

R

M

P OAR

OA Y

............................................................(4.14) 

Kako je 

Y

R

 jednako algebarskom zbiru vertikalnih projekcija svih sila, to 

jest: 

=

=

=

+

−

∑

A

3

1

2

3

1

R

i

Y

Y

Y

Y

Y

...................................................................(4.15) 

Uvrštavanjem izraza (4.15) u izraz (4.14) dobiva se: 

(

)

=

⋅

=

+

−

G

G

1

2

3

R

F

o

R

M

OA Y

OA

Y

Y

Y

odnosno: 

=

⋅

+

⋅

−

⋅

G

G

1

2

3

 OA Y  

R

F

o

M

OA Y

OA Y

=

+

−

G

G

G

G

G

G

G

G

2

3

1

R

F

F

F

F

o

o

o

o

M

M

M

M

............................................................(4.16) 

Ovim je postavljena teorema i dokazana. 

4.3 Slaganje paralelnih sila u ravni 

Neka je dato kruto tijelo, na koje djeluju dvije paralelne sile 

G

G

1

2

i

F

F

, 

slika 4.5, i neka ove dvije sile leže u istoj ravni. 

63

4- RAVANSKI SISTEM SILA 

U ovom slu

č

aju ne možemo odrediti njihovu rezultantu neposrednom 

primjenom paralelograma sila. 
Za slaganje ovih paralelnih sila, odnosno za odre

đ

ivanje njihove 

rezultante možemo koristiti slijede

ć

i postupak. Na osnovu drugog 

aksioma statike, u napadnim ta

č

kama 

A

 i 

B

 sila 

G

G

1

2

i

F

F

, doda

ć

emo 

par me

đ

usobno uravnoteženih sila 

= −

G

G

F

F

, a koje djeluju duž prave 

linije koja prolazi kroz napadne ta

č

ke 

A

 i 

B

, slika 4.5. 

Slika 4.5 Princip slaganja paralelnih sila u ravni 

Slaganjem sila 

G

G

1

i

F

F

, a zatim 

−

G

G

2

i

F

F

, dobiju se rezultante 

G

G

1

2

i

R

R

F

F

. Produženjem njihovih napadnih linija do presjeka u ta

č

ki D,  

dobiva se sistem su

č

eljnih sila. Slaganjem ovog sistema su

č

eljnih sila 

metodom paralelograma odre

đ

ena je rezultanta 

G

R

F

 koja je paralelna sa 

komponentnim silama 

G

G

1

2

i

F

F

. Napadna ta

č

ka rezultante, ta

č

ka 

C

, 

definisana je presjekom napadne linije rezultante 

G

R

F

 i prave koja spaja 

napadne ta

č

ke 

A

 i 

B

 komponentnih sila. 

4.4 Rezultanta dvije paralelne sile 

Intenzitet rezultante me

đ

usobno paralelnih sila, istoga smjera, jednak je 

algebarskom zbiru intenziteta pojedinih komponenata. U ovom slu

č

aju 

kada na tijelo djeluju dvije paralelne sile, slika 4.6, intenzitet njihove 
rezultante je: 

F

R

 = 

F

1

 + 

F

2 ...............................................................................................................................

(4.17) 

F

1 

65

4- RAVANSKI SISTEM SILA 

4.5 Spreg sila 

Neka na posmatrano tijelo 

M

 dejstvuju dvije paralelne sile 

G

G

1

2

F i F

 istog 

inteziteta, a suprotnih smjerova kako je prikazano na slici 4.6. 

Slika 4.6 Spreg

sila u ravni 

Prema izrazu (4.17) rezultanta ove dvije paralelne sile istih intenziteta, a 

suprotnih smjerova jednaka je nuli: 

F

R

 = 

F

1

 – 

F

2

 = 0 .............................................................................. (4.27) 

dok je položaj rezultante, odnosno njena napadna ta

č

ka prema izrazu 

(4.25) u beskona

č

nosti. 

=

=

= ∞

2

2

0

R

AB

AB

AC

F

F

F

............................................................... (4.28) 

U ovom slu

č

aju i pored toga što je rezultanta sila jednaka nuli, tijelo 

ne

ć

e biti u ravnoteži. Zbog toga što se napadne linije sila ne poklapanju 

(nisu kolinearne), ove sile stvaraju spreg 

č

iji moment nastoji da zakrene 

tijelo. 
Pod pojmom sprega sila podrazumijeva se sistem od dvije paralelne sile 

G

G

1

2

i

F

F

 istih intenziteta, a suprotnih smjerova koje djeluju na tijelo, a 

č

ije se napadne linije nalaze na rastojanju "

h

". 

Osnovni parametri sprega sila su: 
a)  

Intenzitet momenta sprega sila, definisan je proizvodom inteziteta 

jedne sile i normalnog rastojanja izme

đ

u napadnih linija sila "h", slika 

4.6. 

M

=

⋅ =

⋅

G

G

1

2

F h

F

h

........................................................................ (4.29) 

b) 

Ravnina djelovanja momenta sprega sila, definisana je ravninom u 

kojoj leže sile 

G

G

1

2

F i F

. 

=

G

G

1

2

F

F

66

STATIKA 

c) 

Smjer sprega sila definisan je smjerom rezultuju

ć

eg momenta koji 

uzrokuje obrtanje tijela. Ukoliko je smjer obrtanja tijela suprotan od 
smjera kretanja kazaljke na satu, spreg je pozitivan i suprotno. 

M

= ± ⋅

G

F h

......................................................................................(4.30) 

Slika 4.7 Osnovne karakteristike sprega sila u ravni 

Me

đ

utim, potrebno je napomenuti da moment sprega sila 

M 

ne zavisi 

od izbora obrtne ta

č

ke tijela, koja se nalazi u ravni dejstva sprega, slika 

4.7. U ovom slu

č

aju momenti sila za ta

č

ku "0" su: 

= − ⋅ = − ⋅

G

1

1

F

o

M

F a

F a

......................................................................(4.31) 

(

)

(

)

=

+

=

+