2
SADRŽAJ
1. UVOD ......................................................................................................................................3
1.1. Definicija eksperimenta ..................................................................................................3
1.1.1. Teorija eksperimenta ...........................................................................................3
1.1.2. Planiranje eksperimenta ......................................................................................4
1.2. Analiza varijansi..............................................................................................................5
1.2.1. Jednofaktorska analiza varijansi..........................................................................6
1.3. Klasifikacija modela........................................................................................................9
1.3.1. Model parova ......................................................................................................9
1.3.2. Modeli slučajnih blokova ..................................................................................10
1.3.3. Modeli latinskih kvadrata..................................................................................12
1.3.4. Modeli faktorijalnih planova tipa 2
k
.................................................................13
2.
OPIS PROBLEMA ................................................................................................................20
2.1. Statistički softver MINITAB ........................................................................................20
3.
ILUSTRATIVNI PRIMJER ..................................................................................................23
3.1. Proračun u cilju analize varijanse .................................................................................23
3.2. Rješenje problema primjenom statističkog softvera MINITAB ...................................27
3.3. Regresiona i korelaciona analiza ...................................................................................36
3.4. Prikaz ostalih grafikona ................................................................................................41
4.
ZAKLJUČAK ........................................................................................................................43
LITERATURA .. ............................................................................................................................4
4
3
1.
UVOD
1.1. Definicija eksperimenata
Eksperiment je latinska reč (experimentum) što u prevodu znači opit ili ogled. Onaj koji se bavi
eksperimentom je eksperimentator. Eksperiment kao opšte priznata istraživačka metoda koristi
se gotovo u svim oblastima ljudske djelatnosti. U naučnoj i enciklopedjijskoj literaturi nalazi se
više različitih (manje ili više potpunijih) definicija pojma eksperimenta. Na osnovu tih izvora
može se, postaviti ovakva definicija:
Eksperiment je naučno projektovan (postavljen) opit, koji obuhvata sistem operacija, algoritama
i eksperimentalnih tehnika, radi ispitivanja (istraživanja) datog objekta pod tačno utvrđenim
režimima i uslovima pri kojima se, kada se oni ponavljaju, dobijaju uvijek isti ili dovoljno bliski
rezultati ispitivanja.
U raznim oblastima eksperiment ima različite uloge i značaj, a u osnovi predstavlja potvrđivanje
ili opovrgavanje postavljene hipoteze. Pogotovo u primenjenim naukama eksperiment se naziva
još inženjerski i najčešće je jedini izvor saznanja o nekoj složenoj pojavi. Eksperiment se koristi
u završnom stadijumu istraživanja i tada predstavlja ključni kriterijum provjere istinitosti teorija i
hipoteza. Ali eksperiment je istovremeno i metod naučne spoznaje pojava u objektivnom svijetu,
jer eksperiment predstavlja izvor novih teorijskih saznanja, postavljenih na osnovu
eksperimenata.
Osnovne faze eksperimenta su:
1. faza planiranja
2. faza izvršenja i
3. faza analize i potvrde
Vrste eksperimenta su:
1. laboratorijski
2. na modelu
3. na prototipu
4. pogonski-terenski
1.1.1. Teorija eksperimenta
Teorija eksperimenata obuhvata :
Metode projektovanja eksperimenata ( matrica eksperimentalnih planova, režima i uslova
eksperimenata, organizacija eksperimentalnog procesa i dr. )
Metode projektovanja nove ili izbora postojeće eksperimentalne tehnike (mjernih,
senzorskih i drugih sistema) za realizaciju projektovanih eksperimenata.
Algoritme obrade eksperimentalnih rezultata.
Metodologije postavljanja gnoseološke slike o datom objektu ili pojavi istraživanja u
zavisnosti od polaznih ciljeva i programa istraživanja.
5
1.2. Analiza varijansi
Postoje mnogi aspekti planiranja eksperimenata koji se mogu razmatrati. Jedna od važnijih
metoda je analiza varijansi ili preciznije, analiza odstupanja između sredina, a koja se sastoji u
podjeli ukupne varijanse za posmatrani skup podataka na komponente. U fazi analize se, na
osnovu prethodne dvije faze (planiranja i izvršenja), generišu informacije o značajnosti faktora i
nivoa. Ova faza je zasnovana na statistici a za analiziranje rezultata testova koristi se statistički
alat-analiza varijansi.
Izraz analiza varijanse (ANOVA od engleskog naziva analysis of variance) opisuje grupu
statističkih procedura koje je razvio britanski statističar Sir Ronald Fisher. Analiza varijanse je
statistička metoda kojom se ispituje efekat jedne ili više nezavisnih promenljivih na jednu
zavisnu promenljivu. Nezavisno promenljive se nazivaju faktori uticaja i oni sadrže više nivoa
(grupa), a njihov efekat se odražava na nivo zavisno promenljive. Kada se ispituje uticaj jedne
nezavisne promenljive (jednog faktora), koji ima tri ili više grupa, na zavisno promenljivu, onda
je to jednofaktorska analiza varijanse.
U višefaktorskoj analizi varijanse ispituje se uticaj dva faktora (dvofaktorska analiza varijanse),
tri faktora (trofaktorska analiza varijanse) ili više faktora, od kojih svaki ima više grupa, na jednu
zavisno promenljivu. Prema tome, analiza varijansi može biti jednofaktorska, dvofaktorska i
višefaktorska.
Analiza varijanse se bazira na F-raspodjeli, koja je asimetrična, pa lijeva i desna vrijednost F
koje odvajaju regione za odbacivanje nulte hipoteze nisu jednake. Iz ove raspodjele je razvijena
tabela za F vrijednosti u kojoj se nalaze samo vrijednosti koje odvajaju desni region za
odbacivanje nulte hipoteze, jer su one od značaja za donošenje zaključka.
0
odbacuje se H
0
F
α/2
α/2
odbacuje se H
0
prihvata se H
0
F
levo
F
desno
1,0
0
odbacuje se H
0
F
α/2
α/2
odbacuje se H
0
prihvata se H
0
F
levo
F
desno
1,0
Slika 1.
F raspodjela
6
1.2.1. Jednofaktorska analiza varijansi
Analiza varijansi sa jednim faktorom istražuje uticaj jednog faktora (A) koji u opštem slučaju
može imati više nivoa (tretmana)
a
1
, a
2
, ..., a
i
, ...,a
k
na varijabilitet zavisne promjenjive,
y
.
Posmatrani faktor A uzima
k
različitih diskretnih vrijednosti (nivoa ili tretmana) u nekom
intervalu promjene, uzima, dakle, vrijednosti
a
1
, a
2
, a
3
, ...,a
k
. Pri tome se na
i
-tom nivou (
a
i
)
faktora A ponavljaju eksperimenti ukupno
n
i
puta, što omogućuje da se odrede greške mjerenja.
U tabeli 1. prikazan je način prezentacije podataka u analizi varijanse sa jednim faktorom.
Tabela 1.
Način prezentovanja podataka u analizi varijanse sa jednim faktorom
Ponavljanje
Nivo faktora
a
1
a
2
a
i
a
k
1
y
11
y
21
...
y
i1
...
y
k1
2
y
12
y
22
...
y
i2
...
y
k2
...
...
...
...
...
...
...
j
y
1j
y
2j
...
y
ij
...
y
kj
...
...
...
...
...
...
...
n
y
1n
y
2n
...
y
in
...
y
kn
Sume
A
1
A
2
...
A
i
...
A
k
Srednja
vrijednost
y
1
y
2
...
y
i
...
y
k
Hipoteze
Nulta hipoteza u jednofaktorskoj analizi varijansi ima oblik:
H
0
:
µ
1
=
µ
2
=...=
µ
i
= ...=
µ
k
= µ (srednje vrijednosti se ne razlikuju)
Vrši se testiranje alternativne hipoteze koja ima oblik:
H
1
: srednje vrijednosti bar dva skupa se međusobno razlikuju
Drugim rečima, alternativna hipoteza govori da je najmanje jedna srednja vrijednost različita od
ostalih, ali postoji mogućnost i da se sve srednje vrijednosti razlikuju jedna od druge.
Ako se poslije testiranja prihvati nulta hipoteza zaključak je da se srednje vrijednosti ne
razlikuju, odnosno da nezavisno promenljiva (faktor uticaja) nema efekta. Ako se prihvati jedna
od alternativnih hipoteza zaključak je da ispitivani faktor uticaja ima efekta na srednje
vrijednosti onih grupa podataka koje se značajno razlikuju.
Razlaganje ukupnog varijabiliteta
Analiza varijanse dijeli ukupan varijabilitet na nekoliko dijelova pri čemu se svaki od njih vezuje
posebnim sistemom variranja tako da je moguće odrediti ne samo koji su izvori variranja u
pitanju nego i koliki je doprinos svakog dijela u ukupnom variranju.
Ukupan varijabilitet posmatrane pojave jednak je zbiru varijabiliteta koji nastaje pod dejstvom
kontrolisanog faktora i varijabiliteta koji nastaje pod dejstvom rezidualnih (nekontrolisanih)
faktora.
8
Slika 3.
Varijacija unutar grupa
Slika 4.
Ukupna varijacija
Ako su varijacija između grupa i varijacija unutar grupa približno jednake, nulta hipoteza se
prihvata i zaključak je da nema efekta ispitivanog faktora uticaja; drugim riječima nema razlike
između srednjih vrijednosti posmatranih grupa. Ako je varijansa zbog faktora uticaja značajno
veća od slučajne varijanse nulta hipoteza se ne prihvata, već se prihvata neka od alternativnih
hipoteza i zaključak je ispitivani faktor uticaja ima efekta i da se srednje vrijednosti nekih ili svih
posmatranih grupa značajno razlikuju.
Svaka od ovih varijansi se izračunava dijeljenjem odgovarajuće sume kvadrata sa njenim brojem
stepena slobode. Broj stepena slobode za ukupnu varijansu je jednak
N-1
, broj stepena slobode
za varijansu između grupa je
m-1
, a broj stepena slobode za varijansu unutar grupa je
N-1-(m-1)
= N-m
, gde je
N
broj podataka u svim grupama zajedno, a
m
je broj grupa.
Ukupan varijabilitet
MSST
=
SST
N
−
1
Varijansa između grupa je jednaka
MSSF
=
SSF
m
−
1
Varijansa unutar grupa je jednaka
MSSE
=
SSE
N
−
m
Iz varijanse između grupa i varijanse unutar grupa izračunava se F prema izrazu:
F
=
MSSF
MSSE
