Statistika

SREDNJE VREDNOSTI
Obrada rezultata pedago kog eksperimenta pocinje statistickom analizom, u kojoj

�

se istra uje statisticka masa (osnovni skup ili populacija) u stanju mirovanja,

�

odnosno struktura staticke mase u datom momentu, ili odredenom vremenskom
periodu, u kome je ona posmatrana, s tim to se vreme kao faktor uticanja ne

�

uzima u obzir.

Srednji statisticki podaci koji su tabelarno ili graficki prikazani slu e za

�

statisticku analizu, s ciljem istra ivanja pravilnosti i zakonitosti posmatranih

�

masovnih pojava. Statisticka analiza i ima taj zadatak da primenom razlicitih
metoda i postupaka ra clani i uporedi podatke, otkrije i formuli e zakonitosti

�

koje vladaju u posmatranoj masovnoj pojavi

Koristeci relativne brojeve i raspodelu frekvencija mo e se steci izvestan

�

globalni utisak o posmatranoj pojavi i posmatranom statistickom skupu. Ipak za
dalju i svrsishodniju analizu potebne su nam preciznije metode kojima cemo masu
statistickih podataka obraditi tako da postane upotrebljiva u procesu dono enja

�

odluka.

Analizu statistickih podataka mo emo vr iti tako to cemo definisati izvesne

�

pokazatelje ili parametre cije ce nam vrednosti izra avati odredene sumarne

�

karakteristike datih podataka. Vrednost sumarnih parametara omogucice dono enje

�

zakljucaka o odredenoj pojavi ili procesu koji su izra eni posmatranim podacima.

�

Prva grupa takvih parametara su tzv. srednje vrednosti ili proseci. Veoma cesto
se koriste i u svakodnevnom ivotu (npr. prosecan licni dohodak ili prosecna

�

produktivnost itd.). Ovi parametri pokazuju neku centralnu vrednost posmatranog
obele ja X na elementima statistickog skupa.

�

Srednje vrednosti ili mere centralne tendencije prezentuju sredinu statisticke
serije. Najce ce se oko te srednje vrednosti grupi e najveci broj jedinica.

�

Srednje vrednosti se nalaze izmedu najmanje i najvece vrednosti obele ja.

�

Sednja vrednost je reprezentativna vrednost, koja po datim merilima, zamenjuje
sve vrednosti obele ja u datoj seriji. U statistickoj literaturi dobila je naziv

�

reprezentativna vrednost zato to predstavlja i zameljuje sve vrednosti serije,

�

jer iz njih proistice i nosi njihove zajednicke karakteristike.

Kao reprezentativni pokazatelj serije srednja vrednost karakteri e statisticki

�

skup. Ako se posmatra jedan statisticki skup po jednom numerickom obele ju i

�

pode se od individualnih vrednosti tog obele ja, te ko ce se uociti bitna i

�

zajednicka karakteristika cak i kad su pojedinacni podaci, grupisanjem u serije,
svedeni na manji broj. Zato se nastoji da se ta serija zameni jednim brojem koji
omogucava da se uoci karakteristika posmatranog skupa.

Srednje vrednosti: aritmeticka, harmonijska i geometrijska sredina, zatim modus
i medijana.

U zavisnosti od nacina definisanja, srednje vrednosti se dele na izracunate i
pozicione.

2. SREDNJE VREDNOSTI
Srednje vrednosti su vrednosti obele ja koje na specifican nacin reprezentuju

�

citavu statisticku masu, odnosno zamenjuju sve vrednosti u statistickoj seriji i
karakteri u statisticku masu u celini.

�

Srednje vrednosti ili mere centralne tendencije zauzimaju u statistici vrlo
znacajno mesto i vrlo se cesto primenjuju. Centralna tendencija je te nja ka

�

okupljanju podataka skupa oko jedne centralne vrednosti, koja je op ta i

�

reprezentativna za celu distribuciju. Znacaj mera centralne tendencije je u tome

to one sintetizuje citav niz pojedinacnih vrednosti jednog skupa i njihova

�

uloga je da, zanemarujuci individualne razlike izmedu podataka skupa, istaknu
onu velicinu koja je za sve njih karakteristicna i koja mo e da slu i kao

�

sredstvo za uporedivanje raznih serija.

Neophodno je da se srednja vrednost odreduje iz homogenog skupa da bi imala
znacaj reprezentativne i tipicne vrednosti. U slucaju da je skup heterogen,
potrebno je najpre izvr iti podelu skupa u homogene delove, a zatim ce se

�

posebno odrediti srednje vrednosti za svaki od tih delova. Moguce je naci
srednju vrednost i u heterogenom skupu i racunarski i formalno, ali takva
vrednost nema znacaj statisticke srednje vrednosti kao reprezentativnog
pokazatelja. Pri odredivanju i primeni srednjih vrednosti mora biti zadovoljen
princip homogenosti statistickog skupa.
Prema tome da li se izracunavaju ili odreduju prema polo aju pojedinih vrednosti

�

obele ja, srednje vrednosti se mogu podeliti u dve grupe: potpune srednje

�

vrednosti i polo ajne srednje vrednosti.

�

Potpune srednje vrednosti, racunaju se upotrebom svih podataka u statistickom
nizu. Potpune srednje vrednosti su: aritmeticka sredina, harmonijska sredina i
geometrijska sredina.
Polo ajne srednje vrednosti odreduju se polo ajem podataka u nizu. Najva nije

�

polo ajne srednje vrednosti su: modus i medijana.

�

Svaka od pomenutih srednjih vrednosti odreduje se posebnim statisticko-
matematickim metodama i ima odredene karakteristike. Srednje vrednosti se ne
mogu izracunati kod svih serija. One se izracunavaju, odnosno odreduju samo kod
numerickih (rasporeda frekvencija), a mogu se izracunati iz vremenskih serija.
Za utvrdivanje karakteristika pasporeda frekvencija one predstavljaju polaznu
osnovu.
Srednja vrednost jedne serije ne mo e biti manja od najmanje vrednosti obele ja,

�

niti veca od najvece vrednosti obele ja. Srednja vrednost mo e biti i neka

�

vrednost koja uop te ne postoji u seriji. Srednja vrednost mo e imati i

�

decimalan broj, i ako se vrednosti obele ja izracunavaju u celim brojevima (na

�

primer: prosecan broj clanova domacinstva mo e biti 3,4).

�

Po eljno je da srednje vrednosti imaju sledece osobine:

�

1. Ako su sve vrednosti posmatranog obele ja X na statistickom skupu medusobno

�

jednake onda i njihova srednja vrednost treba da je jednaka toj vrednosti.
2. U datom statistickom skupu postoji najmanja i najveca vrednost posmatranog
obele ja X. Srednja vrednost treba da je veca od najmanje a manja od najvece

�

vrednosti obele ja X.

�

3. Srednja vrednost treba da zavisi od svih vrednosti obele ja X na celim

�

statistickom skupu.

2.1.ARITMETICKA SREDINA
Ovo je najpoznatija srednja vrednost. U svakodnevnom ivotu najvi e se koristi

�

aritmeticka sredina kao srednja vrednost. Zato se pod pojmom prosek misli na
aritmeticku sredinu. Aritmeticka sredina niza brojeva je broj koji se dobije
kada se njihov zbir podeli sa ukupnim brojem clanova tog niza.
Aritmeticka srednja vrednost ili prosecna srednja vrednost ili samo srednja
vrednost ima naj iru primenu u statistici. Pona a se kao ravnote na tacka u

�

skupu, a nedostatak joj je to na njenu vrednost uticu ekstremne vrednosti

�

( outliers ). Srednja vrednost se izra ava u istim jedinicama kao i osnovni

�

podaci.
Najce ce upotrebljivana mera centralne tendencije jeste aritmeticka sredina. Ona

�

je ujedno i najlak a za razumevanje obzirom da se neretko koristi u svakodnevnom

�

ivotu (najcece koristimo rec prosek da izrazimo upravo aritmeticku sredinu).

�

Aritmeticka sredina predstavlja prosecnu vrednost nekog kontinuiranog niza
brojeva.
U statistickoj analizi aritmeticka sredina najce ce se izracunava za vrednosti

�

numerickog obele ja, pa je polazna velicina za izracunavanje aritmeticke sredine

�

je zbir vrednosti numerickog obele ja elemenata osnovnog skupa.

�

Neophodan uslov za pravilnu primenu aritmeticke sredine jeste da podaci u seriji
pokazuju dovoljan stepen homogenosti a kriterijum za odredivanje te homogenosti
zavisi od prirode i vrste pojave koja je prikazana u seriji kao i da znamo
su tinu i smisao rezultata kojeg elimo da dobijemo. Aritmeticka sredina ima dva

�

osnovna nacina izracunavanja.

Prema tome da li su podaci grupisani ili ne, razlikuju se:

prosta aritmeticka sredina ,

�

ponderisana (slo ena, vagana) aritmeticka sredina.

�

domacih turista. Rezultat ankete u vidu rasporeda frekvencija dat je u tabeli 1.

Tabela 1. Struktura skupa stranih turista prema iznosu dnevne potro nje

�

( u dolarima)

Dnevna potro nja Broj turista (f) X fx

�

1 2 3 4
Do 220 5 200 1000
220-260 15 240 3600
260-300 45 280 12600
300-340 25 320 8000
340-380 8 360 2880
380 i vi e 2 400 800

�

? 100 28880

U ovom rasporedu vidimo jo jednu mogucnost razgranicenja grupisanih intervala.

�

Umesto decimalnim brojem (na primer 220 - 259,9), ono je, kao to vidimo,

�

izvr eno opisno. Radi izracunavanja prosecne dnevne potro nje (ponderisane

�

aritmeticke sredine) za posmatrani skup turista, moraju se utvrditi sredine
grupnih intervala (kolona 3 u tabeli 1.) i pomno iti odgovarajucim frekvencijama

�

(kolona 2). Imacemo, dakle:

= 1 ? fi xi = ? f x = 28880 = 288,80.

�

N i=1 N 100

Ponderisana aritmeticka sredina, tj.prosecna dnevna potro nja za posmatrani skup

�

turista, iznosi 288,80 dolara, koliko, u proseku, svaki od posmatranih turista
tro i dnevno, pri cemu stvarna potro nja svakog pojedinacno po pravilu odstupa

�

od ovog proseka.

Aritmeticka sredina, uz osobine koje karakteri u svaku srednju vrednost, ima i

�

izvesne karakteristike (analiticke i matematicke prirode) znacajne za njeno
izracunavanje i primenu u statistickom radu.

Aritmeticka sredina, jedan broj koji reprezentuje ceo skup podataka, ima va ne

�

prednosti. Prvo, ona je odomacena i intuitivno jasna vecini ljudi. Drugo, svi
podaci imaju aritmeticku sredinu i to samo jednu. Aritmeticka sredina je pogodna
za kori cenje u vecini statistickih procedura. Nedostatak aritmeticke sredine je

�

to na njenu vrednost uticu ekstremne, jako male i jako velike, vrednosti. Drugi

�

problem to svaki podatak iz serije ulazi u obracun to nije pogodno za serije

�

sa velikim brojem podataka. Treci problem je to ne mo e da se izracuna za

�

otvorene klasne intervale tipa "vece od" ili "manje od".

2.2.GEOMETRIJSKA SREDINA
U analizama vremenskih serija najpogodnija srednja vrednost je geometrijska
sredina. Njeno izracunavanje je malo komplikovanije od izracunavanja aritmeticke
sredine jer zahteva i operacije mno enja i korenovanja realnih brojeva.

�

Geometrijska sredina niza brojeva je N-ti koren iz proizvoda njegovih clanova.
Da bi odredili geometrijsku sredinu za svako N vrednosti obele ja X moraju biti

�

pozitivne. Zato je i upotreba geometrijske sredine ogranicena samo na ona
obele ja koja su pozitivna.

�

Geometrijska sredina je izracunata srednja vrednost ali se razlikuje od
aritmeticke sredine i po svojim karakteristikama i po nacinu izracunavanja.
Geometrijska sredina dobija se kada se iz proizvoda pojedinih vrednosti obele ja

�

date serije izvadi koren ciji je izlo ilac ravan broju svih clanova serije.

�

Geometrijska sredina je N-ti koren proizvoda svih vrednosti negrupisanog
numerickog obele ja jednog niza.

�

Geometrijska sredina primjenjuje se u analizi vremenskih nizova. Pomocu nje
izracunava se prosecna stopa promene pojave. Geometrijska sredina, kao i svaka
srednja vrednost, nalazi se izmedu najvece i najmanje vrednosti niza za koji se
izracunava. Brojcano se razlikuje od aritmeticke sredine, osim ako svi clanovi
niza nisu jednaki. Geometrijska sredina je uvek manja od aritmeticke.