Stohastiˇ
cka analiza
-skripta-
Univerzitet u Novom Sadu
Prirodno-matematiˇ
cki fakultet
Departman za matematiku i informatiku
Novi Sad 2005
Danijela Rajter- ´
Ciri´c
U ovoj skripti izloˇ
zene su osnove teorije stohastiˇ
cke analize. Uve-
den je pojam stohastiˇ
ckog procesa i opisani neki specifiˇ
cni tipovi takvih
procesa. Posebna glava je posve´
cena Vinerovom procesu i procesu belog
ˇsuma, obzirom da oni imaju veoma veliku primenu. U skripti su takodje
obradjeni i pojmovi stohastiˇ
ckog integrala i stohastiˇ
ckog diferencijala,
te je time data osnova stohastiˇ
ckog diferencijalnog kalkulusa. Na kraju
skripte su izloˇ
zene osnove teorije stohastiˇ
ckih diferencijalnih jednaˇ
cina.
Podrazumeva se da ˇ
citalac dobro poznaje teoriju verovatno´
ce i pojmove
kao ˇsto su: prostor verovatno´
ca, sluˇ
cajna promenljiva, oˇ
cekivanje, ko-
varijansa, karakteristiˇ
cna funkcija, itd...
Autor se nada da ´
ce ova skripta pomo´
ci svima koji su zainteresovani
da savladaju osnovne probleme koji se javljaju u stohastiˇ
ckoj analizi.
Sadrˇ
zaj
Glava 1.
Osnovi teorije stohastiˇ
ckih procesa
1
1.
Definicija i osnovni pojmovi
1
2.
Martingali
3
3.
Markovski procesi
4
Glava 2.
Vinerov proces i beli ˇsum
9
1.
Vinerov proces
9
2.
Beli ˇsum
9
Glava 3.
Stohastiˇ
cki integrali
13
1.
Uvod
13
2.
Neanticipiraju´
ce funkcije
16
3.
Definicija i osobine stohastiˇ
ckog integrala
17
4.
Stohastiˇ
cki integral kao stohastiˇ
cki proces
20
Glava 4.
Stohastiˇ
cki diferencijali
23
1.
Osnovni pojmovi
23
2.
Itova teorema
25
3.
Neki primeri vezani za Itovu teoremu
27
Glava 5.
Stohastiˇ
cke diferencijalne jednaˇ
cine
29
1.
Definicija i primeri
29
2.
Postojanje i jedinstvenost reˇsenja
32
3.
Primeri i primedbe
33
iii
GLAVA 1
Osnovi teorije stohastiˇ
ckih procesa
1. Definicija i osnovni pojmovi
Neka je
I
proizvoljan neprazan skup indeksa i neka je (Ω
,
F
, P
)
prostor verovatno´
ca. Familija
{
X
t
;
t
∈
I
}
R
d
-vrednosnih sluˇ
cajnih
promenljivih se zove
stohastiˇ
cki
ili
sluˇ
cajni proces
sa parametarskim
skupom
I
i sa vrednostima u
R
d
(kaˇ
zemo joˇs i
R
d
-vrednosni stohastiˇ
cki
proces).
Ako je
I
konaˇ
can skup onda jednostavno radimo sa konaˇ
cno mnogo
sluˇ
cajnih promenljivih.
Ako je
I
=
Z
ili
I
=
N
tada govorimo o
stohastiˇ
ckom (sluˇ
cajnom) nizu ili stohastiˇ
ckom (sluˇ
cajnom) redu.
U daljem tekstu ´
ce
I
uvek biti interval [
t
0
, T
] na realnoj osi
R
.
Parametar
t
´
cemo interpretirati kao vreme (mada u opˇstem sluˇ
caju to
ne mora da bude vreme) i pri tome ukljuˇ
cujemo i sluˇ
cajeve
t
0
=
−∞
i
T
=
∞
.
Na osnovu definicije vidimo da stohastiˇ
cki proces
{
X
t
;
t
∈
[
t
0
, T
]
}
zavisi od dve promenljive
t
∈
[
t
0
, T
] i
ω
∈
Ω. Promenljiva
ω
se, kao i
kod sluˇ
cajnih promenljivih, obiˇ
cno ne piˇse pa stoga stohastiˇ
cki proces
oznaˇ
cavamo sa
X
(
t
) ili
X
t
.
Ako je
{
X
t
;
t
∈
[
t
0
, T
]
}
R
d
-vrednosni stohastiˇ
cki proces tada je, za
svako fiksirano
t
∈
[
t
0
, T
],
X
t
(
·
) jedna
R
d
-vrednosna sluˇ
cajna promenljiva.
Ukoliko fiksiramo
ω
∈
Ω, tada je
X
·
(
ω
) jedna
R
d
-vrednosna funkcija
definisana na intervalu [
t
0
, T
], dakle element prostora (
R
d
)
[
t
0
,T
]
. Ova
funkcija se zove
trajektorija
ili
realizacija
R
d
-vrednosnog stohastiˇ
ckog
procesa
{
X
t
;
t
∈
[
t
0
, T
]
}
.
1
2. MARTINGALI
3
Trajektorije dva ekvivalentna stohastiˇ
cka procesa mogu imati pot-
puno razliˇ
cite analitiˇ
cke osobine (npr, jedan proces moˇ
ze imati skoro
svuda neprekidne trajektorije, a drugi ne).
Stohastiˇ
cki proces je
strogo stacionaran
ako su njegove konaˇ
cno
dimenzionalne raspodele invarijantne u odnosu na vreme
t
, to jest, ako
za
t
i
, t
i
+
t
∈
[
t
0
, T
],
i
= 1
,
2
, . . .
, vaˇ
zi
F
t
1
,...,t
n
(
x
1
, . . . , x
n
) =
F
t
1
+
t,...,t
n
+
t
(
x
1
, . . . , x
n
)
.
Ako dodatno pretpostavimo da je
X
t
∈
L
2
za svako
t
(u opˇstem
sluˇ
caju je
t
∈
R
), sledi da je oˇ
cekivanje tog procesa
E
(
X
t
) =
m
=
const
i kovarijansa
Cov
(
X
t
, X
s
) =
C
(
t
−
s
). Za proces sa poslednje dve
osobine kaˇ
zemo da je
stacionaran u ˇ
sirem smislu
.
Ako je ovakav proces i srednje-kvadradno neprekidan, to jest, ako
ima osobinu da je
lim
t
→
s
E
(
|
X
t
−
X
s
|
2
) = 0
,
tada kovarijansna matrica
C
ima oblik
C
(
t
) =
Z
∞
−∞
e
itu
dF
(
u
)
du,
−∞
< t <
∞
,
gde se
d
×
d
matrica
F
(
u
) = (
F
ij
(
u
)) zove
spektralna funkcija raspodele
procesa
X
t
. Ako funkcija raspodele
F
ima gustinu, ona se zove
spek-
tralna gustina procesa
X
t
.
R
d
-vrednosni stohastiˇ
cki proces ze zove
Gausovski proces
ako su
njegove konaˇ
cno dimenzionalne raspodele normalne. Gausovski proces
je stacionaran i u ˇsirem i u strogom smislu.
2. Martingali
Neka je (Ω
,
F
, P
) prostor verovatno´
ca, neka je
{
X
t
;
t
∈
[
t
0
, T
]
}
jedan
R
d
-vrednosni stohastiˇ
cki proces definisan na (Ω
,
F
, P
) i neka je
{F
t
}
t
∈
[
t
0
,T
]
jedna rastu´
ca familija subsigma algebri od
F
, odnosno
F
s
⊂ F
t
,
za
t
0
≤
s
≤
t
≤
T.
