PRVI RAZRED
Zadatak 1.
Neka je
a
b
=
b
c
gdje su
a, b, c
realni brojevi razliˇ
citi od
nule. Dokazati da je tada
a
2
b
2
c
2
1
a
3
+
1
b
3
+
1
c
3
=
a
3
+
b
3
+
c
3
Rjeˇ
senje:
Neka je
a
b
=
b
c
=
k.
Tada je
b
=
ck
i
a
=
bk
=
ck
·
k
=
ck
2
pa je
a
2
b
2
c
2
1
a
3
+
1
b
3
+
1
c
3
=
c
2
k
4
c
2
k
2
c
2
1
c
3
k
6
+
1
c
3
k
3
+
1
c
3
=
c
6
k
6
1 +
k
3
+
k
6
c
3
k
6
=
c
3
1 +
k
3
+
k
6
= (
c
)
3
+ (
ck
)
3
+
ck
2
3
=
=
c
3
+
b
3
+
a
3
=
a
3
+
b
3
+
c
3
i ovim je dokaz zavrˇsen.
www.umtk.info
1
Zadatak 4.
Rijeˇsiti jednaˇ
cinu
p
2
+
pq
+
q
2
=
r
2
gdje su
p
i
q
prosti a
r
prirodan broj.
Rjeˇ
senje:
Oˇ
cigledno je
r > p
i
r > q.
Data jednaˇ
cina je ekvivalentna
sa
(
p
+
q
)
2
−
pq
=
r
2
odakle slijedi
(
p
+
q
−
r
) (
p
+
q
+
r
) =
pq
Kako su
p
i
q
prosti i
p
+
q
−
r < p
+
q
+
r
i
p
+
q
−
r <
min
{
p, q
}
to
mora biti
p
+
q
−
r
= 1
p
+
q
+
r
=
pq
Iz prve jednaˇ
cine je
r
=
p
+
q
−
1 pa uvrˇstavaju´
ci u drugu imamo
2
p
+ 2
q
−
1 =
pq
ˇsto je ekvivalentno sa
(
p
−
2) (
q
−
2) = 3
odakle slijedi
p
= 5
, q
= 3 ili
p
= 3
, q
= 5 a u oba sluˇ
caja je
r
= 7
.
Dakle sva rjeˇsenja date jednaˇ
cine su
(
p, q, r
) =
{
(5
,
3
,
7)
,
(3
,
5
,
7
}
www.umtk.info
4
Zadatak 2.
Odrediti sve trojke
p < q < r
prostih brojeva takvih da
je
p
+
q
=
r
i (
r
−
p
) (
q
−
p
)
−
27
p
je potpun kvadrat.
Rjeˇ
senje:
Najprije uoˇ
cimo da, zbog jednakosti
p
+
q
=
r,
sva tri
broja
p, q, r
ne mogu biti neparni ˇsto implicira da je barem jedan od
njih paran i kako je rijeˇ
c o prostim brojevima to on mora biti jednak
2
.
Zbog
p < q < r
je oˇ
cigledno
p
= 2
.
Sada trebamo odrediti brojeve
r
i
q
takve da je
r
= 2 +
q
i da je
(
r
−
p
) (
q
−
p
)
−
27
p
= (
r
−
2) (
q
−
2)
−
54
potpuni kvadrat a uvrstimo li u posljedjem izrazu
r
−
2 =
q
trebamo
odrediti sve proste brojeve
q
takve da je
q
(
q
−
2)
−
54 =
k
2
za neki nenegativan cio broj
k.
Posljednja jednakost je ekvivalentna sa
(
q
−
1)
2
−
55 =
k
2
odakle slijedi
(
q
−
1
−
k
) (
q
−
1 +
k
) = 55
Kako je
q
−
1
−
k < q
−
1 +
k
to imamo dvije mogu´
cnosti i to
q
−
1
−
k
= 1
q
−
1 +
k
= 55
i
q
−
1
−
k
= 5
q
−
1 +
k
= 11
U prvom sluˇ
caju je
q
−
1
−
k
+
q
−
1 +
k
= 1 + 55
odakle slijedi
q
= 29 i
r
= 31 a u drugom sluˇ
caju je
q
−
1
−
k
+
q
−
1 +
k
= 5 + 11
odakle slijedi
q
= 9 ˇsto nije prost broj pa u ovom sluˇ
caju nemamo
rjeˇsenja.
Dakle (
p, q, r
) = (2
,
29
,
31) je jedino rjeˇsenje.
www.umtk.info
6
