Teorija Igara

1. Uvod

U   svakodnevnom   životu,   podjednako   poslovnom   i   privatnom,   okruženje   često   nije
amorfna masa, već po pravilu srećemo pojedince ili ( interesne ) grupe čije su aktivnosti
relevantne, a ponekad i presudne za naše odluke. Istovremeno, naše aktivnosti imaju
povratni uticaj na odluke istih subjekata ili grupa, pa konačni rezultati koje svako od nas
postiže   predstavljaju   proizvod   brojnih   individualnih   odluka   i   njihovih   interakcija.
Ponekad   se   ovi   uticaji   zasnivaju   na   saglasnim   interasima,   dobroj   volji   i   želji   da
pomognemo jedni drugima, dok u drugim slučajevima proističu iz konfliktnih interesa,
animoziteta,   pa   i   neprijateljstva.   Situacije   delimičnog   ili   potpunog   konflikta   izmedju
različitih donosilaca odluka nazivamo

igrama.

Teorija igara

predstavlja matematičku teoriju i metodologiju koja se koristi za analizu i

rešavanje   konfliktnih   i   delimično   konfliktnih   situacija   u   kojima   učesnici   imaju
suprotstavljene interese.Razmatranje situacija   u kojima dva ili vise subjekata donose
odluke u uslovima sukoba interesa nazvano je teorijom igara zato što tipične primere
ovakvih situacija predstavljaju različite društvene igre, kao što su sportske utakmice,
kartaške igre (poker, bridz, i sl.), šah, itd. Naravno, iako je veći deo termina koji se
koriste u okviru matematičke teorije igara sličan terminologiji društvenih igara, teorija
igara   ima   mnogo   širu   primenu   i   koristi   se   za   modeliranje   konfliktnih   situacija   u
matematici, politici, ekonomiji, vojnoj strategiji, itd. Pri tome, neophodno je istaći da
metodi   teorije   igara   služe   za   analizu   i   rešavanje   takvih   konfliktnih   situacija   koje
karakteriše   višekratno   ponavljanje   pojedinih   odluka   o   mogućem   razrešenju   sukoba
interesa izmedju učesnika, tj. igrača.

Prvi radovi iz domena teorije igara datiraju još od prve polovine devetnaestog veka, od
radova Cournot-a i Bertrand-a, koji su nagovestili mogućnost korišćenja teorije igara za
potrebe ekonomske analize, posebno u analizi proizvodnje i cena. Međutim, ideju opšte
teorije igara na teorijski konzistentan način prvi su predstavili John von Neumann i Oskar
Morgenstern 1944. godine u svom fundamentalnom radu  “Teorija igara i ekonomsko
ponašanje”. U tom radu pokazano je da se mnogi ekonomski problemi mogu veoma
uspešno   modelirati   korišćenjem   teorije   igara   i   predstavljene   su   igre   u   ekstenzivnoj   i
normalnoj formi. U posleratnom periodu razvoj i usavršavanje teorije igara predstavlja
predmet interesovanja mnogih istaknutih matematičara  i ekonomista. Može se slobodno
kazati   da   u   posleratnom   periodu   skoro   da   nijedno   područje   ekonomske   analize   i
matematičkog modeliranja ekonomskih pojava nije ostvarilo toliku ekspanziju i razvoj
kao što je to slučaj sa teorijom igara.

2. Osnovne karakteristike i vrste igara

Da bi korišćenjem odgovarajućeg matematičkog modela mogli analizirati konfliktnu
situaciju, neophodno je izvršiti takvo uprošćavanje koje omogućava uključivanje u
razmatranje samo najznačajnijih faktora koji utiču na mogući ishod konflikta. Zbog toga,
može da se kaže da

“igra predstavlja uprošćeni model konflikta koji obuhvata ukupnost

pravila ponašanja učesnika u igri (igrača), koja opredeljuju njihove moguće poteze kao i
potencijalne rezultate njihovog izbora.”

Igrači, tj. učesnici u igri, mogu biti pojedinci,

grupe, preduzeća, vojne formacije, itd. Pri tome, cilj svakog od učesnika u igri jeste da
postigne u igri takvo rešenje koje mu obezbeđuje ostvarivanje najpovoljnijeg mogućeg
rezultata. Potencijalne rezultate igrača učesnika, odnosno ishod igre, obično
predstavljamo tzv.

funkcijom plaćanja

koja predstavlja numerički izraz dobitaka odnosno

gubitaka učesnika neke igre.

Osnovna karakteristika teorije igara sadržana je u činjenici da veličina rezultata koji će
pojedini igrači ostvariti u igri ne zavisi samo od njihovog izbora mogućeg pravila
ponašanja u igri, već i od izbora ostalih igrača. Svaki od igrača unapred poznaje moguće
alternative koje mu stoje na raspolaganju u toku igre, koje nazivamo njegovim
strategijama.

“Strategije predstavljaju ukupnost pravila ponašanja igrača i potencijalne

rezultate izbora pojedinih alternativa u svakoj konkretnoj situaciji.”

Očigledno,

strategija predstavlja centralni pojam ukupne teorije igara, kojim se unapred definišu
mogući izbori različitih alternativa od strane igrača, za koje se oni mogu opredeliti u svim
mogućim varijantama igre. Svaka igra se realizuje preko pojedinačnih

poteza

igrača, pri

čemu potez predstavlja jedan izbor moguće alternative od strane igrača. Skup većeg broja
poteza obrazuje

partiju.

Postoje različite vrste

igara, pri čemu se kao kriterijumi za klasifikaciju igara obično

uzimaju sledeći kriterijumi: broj igrača, broj strategija, karakter funkcije plaćanja i
međusobna povezanost igrača.

Zavisno od broja igrača učesnika, sve igre delimo na igre sa dva lica, igre sa tri lica, ...,
igre sa n lica. Za realizaciju neke igre, odnosno postojanje odnosa konflikta ( ili
kooperativnosti), neophodno je učešće najmanje dva lica. Postojanje tri ili više učesnika u
igri otvara mogućnost stvaranja tzv. koalicija, tj. mogućnost da se dva više igrača
usklađujući svoje interese koordinisano opredeljuju u izboru strategija.

Ukoliko svakom od igrača u igri stoji na raspolaganju konačan broj strategija, tada se radi
o tzv. konačnoj igri. U suprotnom slučaju, kada broj strategija igrača nije ograničen, igra
predstavlja beskonačnu igru.

Prema karakteru funkcije plaćanja sve igre delimo na igre sa nultom i igre sa nenultom
sumom. Igra sa nultom sumom predstavlja takvu igru u kojoj je suma ukupnog plaćanja

Matematički modeli i metodi u ekonomiji, Dr. Marko Backović, Ekonomski fakultet, Beograd 2000

Pregovaračke igre

Pre nego što pređemo na analizu i rešavanje igara, zadržimo se za trenutak na
pretpostavkama koje se odnose na njene učesnike. Najpre, igrači su

savršeno racionalni

pojedinci

koji nastoje da maksimizuju svoju dobrobit, odnosno, da postignu što bolji

rezultat po njihovim vlastitim kriterijumima. Ali, ovde racionalno ponašanje
podrazumeva da se odluka donosi i na osnovu predviđanja (anticipacije) mogućih poteza
protivnika. Zato će igrači često zamišljati da se nalaze na mestu svog konkurenta, kako bi
mogli da predvide njegove poteze i u skladu sa tim prognozama izaberu strategiju. Da bi
to bilo moguće, pretpostavlja se da ne postoje intelektualne, iskustvene i druge razlike
između igrača, ognosno,

igrači se smatraju ravnopravnim protivnicima.

Takođe,

pretpostavlja se da oni raspolažu potpunom informacijom (o mogućim strategijama i
rezultatima koje svako od njih ostvaruje).

3.1 Nešov ekvilibrijum

Jedno od najznačajnijih rešenja pregovaračke igre, a svakako najpoznatije, predložio je
američki nobelovac Džon Neš (John Nash), 1950. godine.

Problem pregovaranja autor

opisuje na sledeći način.

Dva racionalna pojedinca, 1 i 2, dobrovoljno stupaju u pregovore. Oni znaju sve moguće
ishode pregovora, kojima su (na osnovu svojih preferencija) pripisali različite korisnosti.
Pregovori mogu da se završe različitim ishodima, a skup svih rezultata koje pojedinci
mogu da ostvare predstavlja tzv.

dostupnu oblast,

D (slika).

u pregovarački skup, P

u
slika 1

Nobelovu nagradu Neš je dobio 1994. god., za pionirsku analizu ravnoteže u teoriji nekooperativnih

igara. O samom Nešu i njegovom (veoma interesantnom) životu i radu biće više reči u 4. poglavlju.

N
D
D

Dostupna oblast sadrži i

tačku neuspeha (status quo, tačku nesporazuma),

koja prikazuje

propast dogovora. Korisnosti pregovarača u tački neuspeha obeležavamo  sa N=(n , n ).
Ostale   tačke   u   dostupnoj   oblasti   predstavljaju   moguće   dogovore   koji   su   različito
prihvatljivi   za   oba   pojedinca.Obzirom   da   su   savršeno   racionalni,   pregovarači   neće
posmatrati sva moguća rešenja, već samo ona koja su

Pareto optimalna

(u kojima

obojica postižu bolje ishode u odnosu na ne-efikasna rešenja). Skup svih Pareto
optimalnih tačaka čini tzv.

pregovarački skup,

P (prikazan je na slici podskupom

graničnih tačaka dostupne oblasti). Tačke pregovaračkog skupa prikazujemo parovima
korisnosti, (u , u ). Jasno je da pojedinci preferiraju bilo koju tačku u skupu P u odnosu
na tačku neuspeha, pa postoji obostrana želja da se dogovor postigne. U slučaju dogovora
oni ostvaruju dobitke koji su jednaki: (u - n ) za prvog i (u - n ) za drugog pojedinca.
Ako skup P sadrži samo jednu tačku, problem postaje trivijalan i dogovor će odmah će
odmah biti zaključen. Zato pretpostavljamo da se u skupu P nalaze najmanje dve tačke
koje pojedinci različito preferiraju, pa se postavlja problem kako da predvidimo tačku
njihovog dogovora, (u *, u * ).

Neš je postavio sledeće

uslove

koje bi svako rešenje pregovora trebalo da zadovolji:

Pareto-optimum (

)

: Prihvaćeno rešenje mora biti jedinstveno Pareto

optimalno rešenje.

Simetričnost (

)

: Ako je dostupna oblast simetrična (što znači, ako sadrži tačku

(a, b), onda ona mora da sadrži i tačku (b, a) i obrnuto), i ako je taćka neuspeha
“simetrična” (n = n ), onda je i tačka dogovora takođe simetrična, odnosno u *
= u *.

Nezavisnost od ekvivalentnih prezentacija (

)

: Pretpostavimo da su funkcije

korisnosti dva pojedinca: u (.) i u (.), na osnovu kojih je određena tačka
dogovora: (u *, u *). Ako primenom pozitivne linearne transformacije, njihove
funkcije korisnosti transformišemo u nove funkcije:

pri čemu su

a >0

proizvoljne

konstante, onda nova tačka

dogovora predstavlja linearnu transformaciju prethodne , odnosno ,

. Drugim rečima, tačka dogovora ostaje ista, ali je sada

izražena u korisnostima merenim na novim skalama.

Nezavisnost od irelevantnih alternativa (

)

: Posmatrajmo dva problema

“

Par ishoda (u , u ) je Pareto optimalno rešenje ako u skupu ne postoji rešenje u kojem bi ishod po