Termodinamika

1. vježba 

TERMODINAMIKA 

1 

TLAK

Tlak (stvarni, apsolutni) je tako

đ

er intenzivna veli

č

ina stanja. Može se opisati kao 

sila kojom 

teku

ć

ina djeluje okomito na jedini

č

nu površinu stijenke s kojom je u dodiru

. Postoje 

vjerojatno i bolje definicije, ali ve

ć

 se i na temelju ove vidi da se radi o nekakvoj sili po 

jedinici površine, dakle, o ne

č

emu što se može mjeriti preko razli

č

itih manifestacija ili 

posljedica te sile. 

U SI-sustavu

 koherentna mjerna jedinica za tlak je: 

            1 N/m

2

 = Pa (paskal),  

nazvana po Blaiseu Pascalu. No, ta je jedinica vrlo mala, jer je sastavljena od male sile 
raspore

đ

ene po velikoj površini, tako da ve

ć

 i atmosferski (okolišni) tlak u toj jedinici izražen 

vrlo velikim brojem (oko 100 000 Pa). Da bi se olakšala komunikacija i izbjegli tako veliki 
brojevi (a u tehnici se susre

ć

u i tlakovi koji su mnogostruko ve

ć

i od okolišnog), uvedena je i 

(nekoherentna!) jedinica kao njen (dekadski) višekratnik: 
            1 bar = 10

5

 Pa, 

koja je približno jednaka okolišnom tlaku. Iako SI-sustav preferira dekadske višekratnike s 
eksponentom 10

3

, dakle, 10

3

 (kilo-), 10

6

 (mega-), 10

9

 (giga-), uporaba kilopaskala ili 

megapaskala se nije udoma

ć

ila. Svakako treba PAZITI kod ra

č

unanja: "bar" je jedinica koja 

je zgodna za razgovor: zadavanje, o

č

itavanje s instrumenta i sli

č

no, ali nije koherentna! Prije 

ra

č

unanja treba tlakove izražene u barime pretvoriti u koherentne  jedinice - paskale!  

U starom tehni

č

kom sustavu

 sli

č

no je bila definirana koherentna jedinica za tlak 

            1 kp/m

2

 (bez posebnog naziva) 

kao sila (1 kilopond) po m

2

 površine. No, kako je 1 kp (= 9,81 N) još uvijek mala sila, i ta je 

jedinica bila mala, istina, oko 10 puta ve

ć

a od paskala, tako da je okolišni tlak bio oko 

10 000 kp/m

2

. Igrom slu

č

aja, 1 m

2

 ima baš 10 000 cm

2

, pa je zgodno ispalo da 1 kp/cm

2

 bude 

baš sli

č

an okolišnom tlaku! Tako je ta jedinica (ni ona nije bila koherentna!) nazvana 

"tehni

č

ka atmosfera" (kratica: "at"): 

            1 kp/cm

2

 = 1 at = 10 000 kp/m

2

 . 

U starim mjernim sustavima rabile su se i mjerne jedinice za tlak temeljene na poznatom 
u

č

inku tzv. "hidrostati

č

kog tlaka" stupca teku

ć

ine:  

∆

p

 = 

ρ

 g 

∆

h

, iz 

č

ega proizlazi da je tlak 

srazmjeran visini stupca teku

ć

ine. No, da bi "mjera za duljinu"

∆

h

 (dakle, neki metri, 

milimetri i sl.) postala jednozna

č

na mjera za tlak, moraju i ostale dvije veli

č

ine (gusto

ć

a 

ρ

 i 

"gravitacija" 

g

) biti jednozna

č

ne! Za  

g

  to se može posti

ć

i npr. tako da se odabere normirani 

iznos 

g

 = 9,80665 m/s

2

≅

 9,81 m/s

2

 , ali se za 

ρ

 mora tako

đ

er odabrati neka to

č

no odre

đ

ena 

vrijednost. Iskustva mjerenja tlaka s pomo

ć

u stupca teku

ć

ine pokazala su da su od raznih 

teku

ć

ina (kapljevina) za tu svrhu najpogodnije voda i živa. No kako gusto

ć

a kapljevina ipak 

(iako malo) ovisi o temperaturi, samim izborom vrste kapljevine gusto

ć

a još nije jednozna

č

no 

odre

đ

ena. Tako se mora odabrati s kojom se vrijednoš

ć

u gusto

ć

e ra

č

una: odabrana je gusto

ć

a 

vode pri +4 

°

C (

ρ

 = 1000 kg/m

3

) i gusto

ć

a žive pri 0 

°

C (

ρ

 = 13 595 kg/m

3

). Na taj na

č

in su 

dobivene jedinice za tlak “milimetar živina stupca" i "milimetar vodenoga stupca": 
            1 mm Hg = 1 Torr (nazvan po Torricelliju) = 133,321 Pa 
            1 mm v.s. = 9,80665 Pa 

koje su preko gornje jednadžbe 

∆

p

 = 

ρ

 g 

∆

h

 jednozna

č

no povezane s jedinicom “paskal”. Vidi 

se da su i one razmjerno male jedinice za tlak.  

1. vježba 

TERMODINAMIKA 

2 

Na temelju tlaka živinoga stupca bila je definirana i nekad se 

č

esto kao jedinica rabila i 

"fizikalna atmosfera" (utemeljena na glasovitu Torricellijevom pokusu) 
            1 Atm = 760 mm Hg = 101325 Pa. 
Me

đ

u tim mjernim jedinicama postoje jednozna

č

ni odnosi: 

            1 bar = 1,0197 at = 10 197 mm v.s. = 750 mm Hg = 0,98692 Atm 
            1 at = 0,980665 bar = 10 000 mm v.s. = 735,5 mm Hg = 0,96785 Atm 
            1 Atm = 1,01325 bar = 1,03323 at = 10 332 mm v.s. = 760 mm Hg 
s pomo

ć

u kojih se tlakovi izraženi u jednim jedinicama mogu prera

č

unavati u druge. 

Na

č

ini mjerenja tlaka 

I pri mjerenju tlaka zapravo se mjere 

posljedice

 djelovanja sile. Tako se mjerenja obi

č

no vrše 

na dva na

č

ina: 

-

mjerenjem elasti

č

ne deformacije nekog tijela: mijeha (kod barometra), Bourdonove cijevi 

(kod manometra ili vakuummetra), piezoelektri

č

noga kristala i sl. 

-

s pomo

ć

u stupca kapljevine (U-cijev). 

Izuzevši barometar, ostali instrumenti "za mjerenje tlaka" redovito pokazuju razliku izme

đ

u 

stvarnoga tlaka u prostoru na koji su priklju

č

eni i okolišnoga tlaka! Razlog tome je sama 

konstrukcija instrumenata, što 

ć

e biti pokazano uz sliku kasnije. 

Vakuum

100%

p =

0

Apsolutni
tlak

p

Vakuum

0%

p

o

atmosferski tlak p

o

p

p

 pretlak

p

v

 potlak

A

B

p

A

p

B

 
Ako je mjereni tlak ve

ć

i od okolišnoga, razlika se zove pretlak (ne predtlak!): 

p

p

 = 

p

 – 

p

o

       (za 

p

 > 

p

o

), 

a ako je mjereni tlak manji od okolišnoga, razlika se zove potlak (ili podtlak): 
            

p

v

 = 

p

o

 – 

p

       (za 

p

 < 

p

o

). 

TREBA PAZITI! Pretlak i podtlak NISU VELI

Č

INE STANJA! Kako 

ć

e nam za kasnije 

ra

č

unanje trebati stvarni tlak kao veli

č

ina stanja, o

č

itanje instrumenta treba korigirati koriste

ć

i 

se gornjim jednadžbama, uz poznati okolišni tlak. 
Katkada se kod tlakova koji su 

niži od okolišnoga

 tlak opisuje vakuumom 

v

, veli

č

inom koja je 

definirana jednadžbom: 

1. vježba 

TERMODINAMIKA 

4 

relativnog pomaka 

ε

 :   

∆

L

 = 

ε

⋅

L

0

. Dakle, ono što o

č

itamo na skali manometra ovisno je o 

veli

č

ini 

ε

. No, isto tako iz 

Č

vrsto

ć

e znamo, da je 

ε

 povezan s naprezanjem preko "modula 

elasti

č

nosti" 

E

 prema Hookovom zakonu:  

ε

 = 

σ

 E

. I sad još treba vidjeti 

č

ime je odre

đ

eno 

naprezanje stijenke: ono 

ć

e biti jednako nuli kad su tlak s vanjske i unutarnje strane stijenke 

jednaki, bez obzira koliki su. Ako se razlikuju, naprezanje je odre

đ

eno razlikom unutarnjeg i 

vanjskog tlaka: 

σ

 = 

σ

 (

p – p

o

). S vanjske strane cjev

č

ice (unutar ku

ć

išta manometra) tlak je 

okolišni, jer ku

ć

ište nije izvedeno hermeti

č

ki! I tako kona

č

no dolazimo do toga da ono što 

o

č

itamo na manometru nije stvarni tlak nego razlika stvarnoga tlaka i okolišnoga tlaka! 

Manometar pokazuje nulu kad je priklju

č

en na prostor u kojemu je tlak jednak okolišnome, a 

ne kad je priklju

č

en na potpuno evakuirani prostor! 

Naravno, name

ć

e se (naoko logi

č

no) pitanje – zašto ku

ć

ište manometra ne bi bilo potpuno 

evakuirano? (Tada bi manometar pokazivao apsolutni tlak!). Odgovor je 

č

isto prakti

č

ne 

naravi: ku

ć

ište bi se i moglo izvesti hermeti

č

ki zatvoreno, ali nema nikakvog jamstva da bi 

ono takvo trajno i ostalo! Manometar je (u na

č

elu) pogonski instrument i nerijetko je izložen 

vibracijama, udarcima, promjenama temperature i sli

č

no. Osim toga, ku

ć

ište je sastavljeno bar 

iz dva dijela (tijelo ku

ć

išta i staklo) koja bi na spoju trebalo savršeno brtviti. A bila bi 

dovoljna i mikroskopska rupica da s vremenom u ku

ć

ište u

đ

e zrak i stvar pada u vodu (ne 

manometar, nego ideja). 

No, da sama ta ideja nije totalno bez veze vidi se iz toga što je ona primijenjena kod 
barometra: on mjeri apsolutni tlak okoliša tako da mjeri deformaciju nekog "mijeha" unutar 
kojega je 

apsolutni vakuum

, pa na mijeh izvana djeluje okolišni tlak, a iznutra ništa i 

deformacija mijeha je stvarno odre

đ

ena samo tim vanjskim tlakom. Me

đ

utim, barometar nije 

pogonski instrument, redovito je smješten na zašti

ć

enom mjestu, a osim toga, unutrašnjost 

metalnog mijeha se može lako (npr. lemljenjem) hermeti

č

ki zatvoriti nakon evakuiranja! 

U-cijev mjeri "tlak" preko djelovanja stupca teku

ć

ine: jedan njen kraj se priklju

č

i na prostor u 

kojemu treba izmjeriti tlak, a drugi je kraj otvoren prema okolišu (na njega djeluje okolišni 
tlak). Ako je tlak u promatranom prostoru ve

ć

i od okolišnoga tlaka, u tom se dijelu U-cijevi 

stupac kapljevine spusti, a u suprotnom podigne i kad se mjerna teku

ć

ina umiri, možemo 

tvrditi da je tlak u to

č

kama 

A

 i 

B

 jednak: u to

č

ki 

A

 tlak je jednak stvarnom tlaku 

p

, a u to

č

ki 

B

on je jednak zbroju okolišnog tlaka 

p

o

 i hidrostati

č

kog tlaka stupca kapljevine visine 

∆

h

: 

p

 = 

p

o

 + 

ρ

 g 

∆

h

, 

iz 

č

ega slijedi da je o

č

itana visina stupca kapljevine 

∆

h

 opet mjera za razliku tlakova  

p

 – 

p

o

 : 

g

p

p

h

ρ

−

=

∆

0

    ! 

1. vježba 

TERMODINAMIKA 

5 

Istinu govore

ć

i, možda bismo kod preciznijih mjerenja trebali uzeti u obzir i djelovanje stupca 

u lijevom kraku U-cijevi (iznad to

č

ke 

A

), no to je kod mjerenja tlaka u posudama koje sadrže 

plin skoro sigurno zanemarivo, jedino kad posuda sadrži kapljevinu, o tome ima smisla voditi 
ra

č

una (razlog je u vrlo razli

č

itoj gusto

ć

i plina i kapljevine). 

I ovdje bi se moglo na

č

elno primijetiti da bi se desni kraj U-cijevi mogao zatvoriti, ali onda bi 

iznad to

č

ke 

B

 umjesto (poznatog) okolišnog tlaka bio tlak zasi

ć

enja kapljevine (koji ovisi o 

njenoj temperaturi), što baš i nije prakti

č

no. 

Uzme li se u obzir prakti

č

no ograni

č

enje visine U-cijevi kojom se tlak mjeri s pomo

ć

u 

kapljevine (da se ne bismo morali služiti liftom), o

č

ito je da se na taj na

č

in mogu mjeriti samo 

male razlike tlakova. Istina, živin stupac je pogodniji za nešto ve

ć

e razlike tlakova nego 

vodeni, ali sve je to ipak razmjerno malo. 

Ovdje svakako treba naglasiti da razlika visina

∆

h

 o

č

itana na U-cijevi nije nužno jednaka 

mjernoj jedinici mm Hg ili mm v.s. u smislu gornje definicije, 

č

ak i ako mjerenje provodimo s 

vodom ili živom! Tek ako bi slu

č

ajno voda imala temperaturu +4 °C ili živa 0 °C, a lokalna 

gravitacija vrijednost 9,80665 m/s

2

, onda bi to bilo tako – u suprotnom, treba uzeti u obzir 

stvarnu gusto

ć

u kapljevine 

č

iji stupac se o

č

itava na U-cijevi! Broj

č

ana razlika ne mora biti 

izražena, ali ona na

č

elno postoji. 

Primjer: 

Mjerenjem pretlaka plina u posudi s pomo

ć

u U-cijevi ispunjene vodom temperature 20 °C 

(gusto

ć

e 

ρ

 = 998,2 kg/m

3

) o

č

itana je razlika visina stupca vode 

∆

h

 = 120 mm, pri 

atmosferskome tlaku 743 mm Hg. 

Koliki je stvarni tlak plina u posudi? Ako stanje plina u posudi ostane isto, a atmosferski se 
tlak promijeni na 765 mm Hg, kolika 

ć

e biti razlika visina stupaca vode u U-cijevi? Ho

ć

e li u 

posudi biti pretlak ili podtlak? 

Rješenje:

Pretlak na po

č

etku je zadan kao "izmjereni" podatak: 

            p

p1

 = 

ρ

w

 g 

∆

h

 = 998,2

⋅

9,80665

⋅

0,12 = 1175 Pa, 

a isto tako i okolišni tlak na po

č

etku: 

p

o1

 = 743 mm Hg (ali zadan u jedinicama koje nisu u SI-

sustavu!). Želimo li neki podatak prera

č

unati iz jedne mjerne jedinice u drugu, najsigurnije je 

poslužiti se sljede

ć

im postupkom:  

-

na

đ

emo vezu izme

đ

u zadane i tražene mjerne jedinice (ovdje izme

đ

u mm Hg i Pa): 

            1 bar = 750 mm Hg = 10

5

 Pa 

i nju transformiramo tako da na jednoj strani jednadžbe dobijemo 

jedan

 (1): 

1

Hg

mm

750

Pa

10

5

=

što zna

č

i da je i drugoj strani iznos jednak jedan! Ideja je o

č

ita: s 

jedinicom

ć

emo pomnožiti 

zadani podatak, a da ga "ne promijenimo". No kod pretvorbe gornje jednadžbe vodimo se 
idejom da se nepoželjna dimenzija pokrati, a da tražena ostane. Tako dobijemo 

1. vježba 

TERMODINAMIKA 

1 

Uvod - veli

č

ine stanja 

Veli

č

ine stanja su (izravno ili neizravno) mjerljive fizikalne veli

č

ine koje su jednozna

č

no 

pridijeljene pojedinom toplinskom stanju nekog tijela. Mogu se iskazati broj

č

anom 

vrijednoš

ć

u i pripadaju

ć

on mjernom jedinicom ("dimenzijom"). 

Veli

č

ine stanja mogu se podijeliti u dvije skupine: 

−

intenzivne veli

č

ine stanja su one, 

č

iji iznos ne ovisi o veli

č

ini uzorka (masi, koli

č

ini) na 

kojem se mjeri. Takve su: tlak, temperatura, sastav (smjese) i sl. 

−

ekstenzivne  veli

č

ine  stanja  su  one, 

č

iji  iznos  ovisi  o  veli

č

ini  uzorka  (masi,  koli

č

ini)  na 

kojem se mjeri. To su: masa ili koli

č

ina tijela, volumen tijela, njegova unutarnja energija, 

entalpija, entropija i sl. 

Podijeli li se ekstenzivna veli

č

ina stanja nekog tijela njegovom masom ili koli

č

inom, dobije se 

specifi

č

na  (izražena  po jedinici mase  -  kilogramu)  ili  molna  (izražena  po jedinici  koli

č

ine  - 

kilomolu) veli

č

ina stanja, koja ima obilježja intenzivne veli

č

ine stanja! 

Kasnije 

ć

e se pokazati da nije potrebno svaki put mjeriti sve veli

č

ine stanja nekog tijela (tvari) 

- me

đ

u njima postoje veze koje se mogu odrediti na temelju ranije u laboratorijima izmjerenih 

vrijednosti za doti

č

nu tvar. Tako je dovoljno izmjeriti svega nekoliko veli

č

ina stanja i onda 

ra

č

unskim putem ili iz odgovaraju

ć

ih tablica ili dijagrama izra

č

unati ili o

č

itati sve ostale koje 

su potrebne. Koliko ih treba mjeriti, to ovisi o vrsti tvari (

č

ista tvar ili smjesa), o tome je li 

homogena ili heterogena, u kojem je agregatnom stanju, te može li se na nju u promatranom 
stanju primijeniti neka od idealizacija (npr. idealna nestla

č

ivost, stanje "idealnoga plina").  

Za  mjerenje  se  (logi

č

no)  odabiru  naj

č

eš

ć

e  one  veli

č

ine  stanja,  koje  se  mogu  najlakše  i 

najto

č

nije mjeriti i za koje su mjerni instrumenti najjeftiniji. Nema op

ć

eg pravila, ali se daleko 

naj

č

eš

ć

e za tu svrhu odabiru temperatura i tlak. 

Temperatura

Jedna  od  naj

č

eš

ć

e  mjerenih  veli

č

ina  stanja.  Unato

č

  izuzetno  rasprostranjenoj  uporabi,  tu  je 

veli

č

inu  stanja  zapravo  teško  jednostavno  i  jednozna

č

no  definirati!  Najmanje  pogrešna 

definicija je ona po kojoj "dva tijela koja su u toplinskoj ravnoteži, imaju istu temperaturu". 
Zbog takve definicije temperatura se zapravo i ne može mjeriti! Mjere se uvijek neke druge 
veli

č

ine koje su jednozna

č

no s njom povezane: 

1)

Volumen tijela koji se mijenja s temperaturom (npr. volumen žive u živinom termometru); 

2)

Elektri

č

na svojstva koja ovise o temperaturi: 

a)

elektri

č

ni otpor vodi

č

a (tzv. "otporni

č

ki termometri") koji se mijenja s temperaturom; 

b)

elektromotorna sila koja se javlja na dodiru dvaju razli

č

itih metala, a 

č

iji iznos ovisi o 

temperaturi (tzv. "termoparovi" ili "termoelementi"); 

3)

Mjerenje  iznosa  i  raspodjele  po  spektru  energije  koju  odzra

č

uje  tijelo 

č

iju  temperaturu 

mjerimo (primjenjuje se pri višim temperaturama); 

4)

Ima toga još, ali ne

ć

emo sad o tome, tek smo na po

č

etku! 

Zbog  takve  definicije  i  zbog  nemogu

ć

nosti  izravnog  mjerenja  same  temperature,  moramo 

definirati "temperaturnu skalu", tj. odabrati dvije fizikalne pojave koje se uvijek odvijaju pri 
to

č

no  odre

đ

enim  temperaturama  i  njima  pridijeliti  broj

č

ane  vrijednosti.  Kako  je  izbor  tih 

pojava,  a  isto  tako  i  broj

č

anih  vrijednosti  koje  se  pridijeljuju  tim  to

č

kama  proizvoljan, 

1. vježba 

TERMODINAMIKA 

2 

postojale su razne (više ili manje pogodno odabrane) temperaturne skale od kojih su se danas 
u SI-mjernom sustavu održale samo dvije - Celsiusova (dopuštena) i Kelvinova (obvezna), a u 
angloameri

č

kom se još (iako ilegalno) koriste Fahrenheitova i Rankinova skala. 

Samo  mjerenje  temperature  temelji  se  na  "drugom  postulatu  ravnoteže"  (tzv.  "nulti  zakon 
termodinamike") koji glasi: "Ako je tijelo 

A

 u toplinskoj ravnoteži i s tijelom 

B

 i s tijelom 

C

, 

onda su i tijela 

B

 i 

C

 me

đ

usobno u toplinskoj ravnoteži" (ili tako nekako). Živin termometar 

neka  bude  tijelo 

A

,  a  voda  koja se  smrzava  -  tijelo 

B

.  Zabilježimo  li  stanje  tijela 

A

 (visinu 

stupca  žive)  i  kasnije  ustanovimo  da  je  ta  visina  ista  kad  se  tijelo 

A

  nalazi  u  ravnoteži  s 

tijelom 

C

, zaklju

č

ujemo da bi i tijela 

B

 i 

C

 bila u toplinskoj ravnoteži, da su kojim slu

č

ajem 

stvarno  u  dodiru.  No  to  nas  ne  sprje

č

ava  da  u  skladu  s  gornjom  definicijom  ustvrdimo  da 

tijela 

B

 i 

C

 imaju istu temperaturu. 

Da se ne bismo ograni

č

ili na to da svaki put za svako tijelo 

č

iju temperaturu moramo mjeriti 

napravimo neki etalon s kojim 

ć

emo to uspore

đ

ivati, termometar se "umjeri" tako da se, kad 

je  u  ravnoteži  s  jednim  referentnim  tijelom  (npr.  vodom  koja  smrzava)  ozna

č

i  nekom 

vrijednoš

ć

u (npr. "0" kod Celzijeve skale), a kad je u ravnoteži s drugim referentnim tijelom 

(npr.  vodom  koja  isparava)  ozna

č

i  drugom  vrijednoš

ć

u  (npr.  "100"  kod  Celzijeve  skale)  i 

onda  se  ta  skala  (linearno)  interpolira,  a  po  potrebi  i  ekstrapolira.  Iako  su  ledište  i  vrelište 
vode osnovne i definicijske referentne to

č

ke, zato što jedan termometar ne može mjeriti sve 

mogu

ć

e temperature, za vrlo niske i vrlo visoke temperature postoji još niz takvih referentnih 

to

č

aka (primjerice, trojna to

č

ka kisika je na -218,7916 

°

C, krutište zlata na +1064,18 

°

C). 

Kelvinova skala

 (jedinica K, Kelvin) je temeljna temperaturna skala SI-mjernog sustava. To 

je tzv. "apsolutna" ili "termodinami

č

ka" temperaturna skala, jer joj je ishodište na apsolutnoj 

nuli. Nastala je na temelju Celsiusove skale, jednostavnim pomicanjem (translacijom) skale, 
bez promjene same podjele skale. Današnja je definicija da je to skala koja ima ishodište na 
apsolutnoj nuli, a pri trojnoj to

č

ki vode (+0,01

°

C) ima vrijednost 273,16 K. 

Celsiusova skala

 (jedinica 

°

C, stupanj Celsiusa, Celzijev stupanj) je stara i najraširenija skala 

koja  se  je  održala  jer  je  prili

č

no  spretno  definirana  -  ima  vrijednost  "0"  na  ledištu  vode  i 

vrijednost "100" na vrelištu vode, sve pri tlaku 1,01325 bara (760 mmHg). Zove se "relativna" 
skala jer su obje to

č

ke proizvoljno odabrane. 

Fahrenheitova

 i 

Rankinova skala

 su vrlo sli

č

ne gornjim dvjema skalama. Iako je prvobitna 

definicija  Fahrenheitove  skale  bila  prili

č

no  egzoti

č

na  i  zapravo  loše  odabrana,  to  je  kasnije 

ispravljeno tako da je skala definirana vrijednoš

ć

u "32" na ledištu vode i vrijednoš

ć

u "212" na 

vrelištu  vode,  sve  pri  tlaku  1,01325 bara.  Time  je  skala  postala  jednozna

č

no  definirana  i 

povezana s Celsiusovom (dakle, internacionalno prihva

ć

enom) skalom. 

Prera

č

unavanje temperatura izraženih u razli

č

itim skalama može se izvršiti s pomo

ć

u izraza: 

[

]

C

1

K

1

C)

(

273,15

C)

(

(K)

o

o

+

°

=

ϑ

T

[

]

K

1

C

1

(K)

273,15

-

(K)

C)

(

o

T

=

°

ϑ

[

]

F)

(

32

-

F)

(

F)

(

9

C)

(

5

C)

(

°

°

°

°

=

°

ϑ

ϑ

[

]

C)

(

32

C)

(

C)

(

5

F)

(

9

F)

(

°

+

°

°

°

=

°

ϑ

ϑ

[

]

F

1

R

1

F)

(

67

,

59

4

F)

(

(R)

o

°

°

+

°

=

ϑ

T

[

]

R

1

F

1

R)

(

459,67

-

R)

(

F)

(

o

o

o

o

T

=

°

ϑ

1. vježba 

TERMODINAMIKA 

1 

PRIMJERI

TEMPERATURA 

"

Dva tijela u toplinskoj ravnoteži imaju istu temperaturu

"  

Vrijedi i obrnuto: 
 

"

Tijela jednakih temperatura su u toplinskoj ravnoteži"

 
Temperaturne skale 
 

CELSIUS

KELVIN

FAHRENHEIT

RANKIN

ϑ

0

C

ϑ

0

F

T

0

R

T

 K

100

0

C

373,15 K

212

0

F

671,67

0

R

p =

1 atm

vrelište vode

ledište vode

apsolutna nula

0

0

C

273,15 K

32

0

F

0

0

F

-17,78

0

C

491,67

0

R

0 K

-273,15

0

C

0

0

R

- 459,67

0

F

1

0

F = 1

0

R

1

0

C = 1K

1

0

C = 1,8

0

F

 
Relativne skale Celsiusa i Fahrenheita uspore

đ

uju toplinsko stanje nekog tijela s proizvoljno 

odabranim nultim toplinskim stanjem. 
Apsolutne skale Kelvina i Rankina imaju ishodište na teorijski najnižem toplinskom stanju, 

apsolutnoj nuli

. 

U SI sustavu mjera osnovna skala za mjerenje temperature je Kelvinova. Dozvoljena je i 
upotreba Celsiusove skale. 
Numeri

č

ke vrijednosti temperature ovise o izboru mjerne skale. Vrijede odnosi: 

1 

o

C = 1 K, 1 = 1

o

C/1 K = 1 K/1

o

C 

1

o

F = 1

o

R, 1 = 1

o

F / 1

o

R = 1

o

R / 1

o

F 

T

 K = (

ϑ

 + 273,15) 

o

C 

·

 (1 K/1

o

C) 

ϑ

o

C = (

T

 – 273,15) K 

·

 (1

o

C/1 K)  

T

o

R = (

ϑ

 + 459,67) 

o

F 

·

 (1

o

R / 1

o

F) 

ϑ

o

F = (

T

 – 459,67) 

o

R 

·

 (1

o

F / 1

o

R)  

 1

o

C = 1,8

o

F 

 5

o

C = 9

o

F 

1 = 5

o

C / 9

o

F 

Primjer

Kisik ima talište na temperaturi – 218,8 

o

C, a vrelište na temperaturi – 182,97 

o

C.  

Kolika je vrijednost temperature tih toplinskih stanja kisika u stupnjevima K, 

o

F i 

o

R? 

Talište

:  

ϑ

 = −218,8 

o

C 

T

 K = (

ϑ

 + 273,15) 

o

C 

·

 (1 K / 1 

o

C) = (−218,8 + 273,15) = 54,35 K 

ϑ

o

F = (

ϑ

o

C) 

·

 (9 

o

F / 5 

o

C) + 32 

o

F = −218,8 

·

 1,8 + 32 = −361,84 

o

F 

T

o

R = (

ϑ

 + 459,67) 

o

F 

·

 (1 

o

R / 1 

o

F) = −361,84 + 459,67 = 97,83 

o

R 

1. vježba 

TERMODINAMIKA 

2 

Vrelište

:  

ϑ

 = −182,97 

o

C 

T

 K = −182,97 + 273,15 = 90,18 K 

ϑ

o

F = −182,97 

·

 1,8 + 32 = −297,35 

o

F 

T

o

R =  −297,35 + 459,67 = 162,32 

o

R 

................................................................................ 
 
1. ZADATAK 

Medicinski termometar ima raspon skale od 35 

O

C do 42 

o

C. Koliki je to raspon 

temperatura izražen u 

o

F?  (95 

o

F – 107,6 

o

F ,  

∆ϑ

 = 12,6 

o

F) 

 
2. ZADATAK 

a)

Kod koje temperature pokazuju Celsiusov i Fahrenheitov termometar istu numeri

č

ku 

vrijednost?  (

−

 40 

o

C = 

−

 40 

o

F) 

b)

Kod koje temperature u 

o

C pokazuje Fahrenheitov termometar pet puta ve

ć

u 

numeri

č

ku vrijednost od Celsiusovog termometra?  (10 

o

C = 50 

o

F) 

.................................................................................................................................................... 
 

TLAK

Tlak opisuje djelovanje normalne sile na jedinicu površine

: 

p = F/A

. Sukladno toj 

definiciji slijedi da je osnovna jedinica tlaka u SI sustavu 1 N/m

2

 = 1 Pa ('paskal'), 

ozna

č

ena tako u po

č

ast francuskog znanstvenika Blaise Pascala.  

U prora

č

unima se treba koristiti numeri

č

ka vrijednost tlaka u Pa, u protivnom rezultat 

ra

č

una nema fizikalno ispravnu dimenziju. Izuzetak je omjer tlakova.  

 
U upotrebi su i izvedene jedinice tlaka. Na primjer, u meteorologiji se tlak izražava u 

hektopaskalima

 1 hPa = 10

2

 Pa, dok je u tehnici uobi

č

ajena upotreba jedinice 1 bar = 10

5

Pa. Ovaj tlak je nešto manji od  atmosferskog tlaka 1atm = 1,0133 bar. 
 
U davno napuštenom 

tehni

č

kom sustavu

 osnovna jedinica sile nije bila 1 N = 1 kg m/s

2

, 

ve

ć

 jedan 

kilopond

 1 kp = 9,80665 kg m/s

2

, pa je odnos tlakova: 1 kp/m

2

 = 9,80665 Pa. U 

tehni

č

koj praksi koristila se ve

ć

a jedinica tlaka, nazvana 

tehni

č

ka atmosfera

 1 at = 10

4

kp/m

2

 = 1 kp/cm

2

.   

 
Ranije se u fizici 

č

esto koristila osnovna jedinica tlaka, nazvana 

fizikalna atmosfera

 1 atm, 

koja je ve

ć

a od prethodnih dviju. Vrijedi odnos: 

1 atm = 1,01325 bar = 1,03323 at 

Plinovi

: tlak je posljedica sudara molekula plina s okolnim plohama krute ili kapljevite 

tvari. 

 
Kapljevine

: masa kapljevine

 m

 izložena gravitacijskom ubrzanju

 g

↓

= 

9,80665 m/s

2

predstavlja silu

 mg 

koja djeluje na površinu podloge

 A 

u obliku stati

č

kog tlaka:

 p = mg/A. 

Stoga se tlak može izraziti s visinom stupca teku

ć

ine:  

2

N

m

F

mg

m V

Az

p

g

g

mgz

A

A

V

A

A

ρ

=

=

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

1. vježba 

TERMODINAMIKA 

4 

Za termodinami

č

ko stanje mjerodavan je 

apsolutni tlak

, dok se manometrima mjeri samo 

relativan tlak

, tj. razlika izme

đ

u apsolutnog i atmosferskog tlaka. Razlikujemo dva slu

č

aja: 

Pretlak

:  

p

p

 = 

p

 – 

p

o

Potlak

:  

 p

v

= 

p

o

 – 

p

Posebno, slu

č

aj potlaka 

č

esto se izražava pomo

ć

u 

vakuuma

, 

V

, u pravilu u postocima: 

%

p

p

%

V

v

100

⋅

=

1.

Primjer 

U kondenzatoru parne turbine izmjeren je potlak 713 mm Hg pri barometarskom tlaku 750 
mm Hg. Koliki je potlak izražen u barima? Koliki je apsolutni tlak u mm Hg i bar? Koliki je 
vakuum u %? 
Zadani podaci:  
 

Potlak

:  

p

v

 = 713 mm Hg      (1) 

Barometarski tlak

: 

p

o

 = 750 mm Hg. 

 
Za pretvorbu dimenzije mm Hg u bar koristimo definiciju: 1 bar = 750 mm Hg, na osnovi 
koje se može oblikovati 'jedinica' za korekciju dimenzija: 

bar

Hg

Hg

bar

1

750

750

1

1

=

=

   (2) 

Sada se jednadžba (1) može pomnožiti s 'jedinicom' (2): 

bar

mmHg

750

bar

1

 Hg

mm

9507

0

95067

0

713

,

,

p

v

=

=













⋅

=

Napomena

: rezultati se zaokružuju na tre

ć

oj ili 

č

etvrtoj 

vrijednoj

 znamenci – sukladno op

ć

em 

nivou to

č

nosti naših ra

č

una. 

Apsolutni tlak

: 

bar

mmHg

750

bar

1

mmHg

04933

0

37

713

750

0

,

p

p

p

v

=













⋅

=

−

=

−

=

Vakuum  

% :     

95%

%

%

%

=

⋅

=

⋅

=

100

750

713

100

p

p

V

v

.................................................................................................................................................... 

 
2. Primjer 

U vertikalnom cilindru unutarnjeg promjera 

d

 = 100 mm nalazi pomi

č

an klip mase 5 kg. U 

prostoru cilindra je plin, a oko cilindra okolišnji zrak tlaka 1 bar. 

a)

Koliki je tlak plina u cilindru, ako je klip s donje strane, a njegova težina uravnotežena 
djelovanjem tlaka unutar i izvan cilindra? Da li se radi o potlaku ili pretlaku u 
cilindru? 

b)

Ako se cilindar okrene tako da je klip s gornje strane, koliki 

ć

e biti tlak plina? 

 
Zadano: 

d

 = 100 mm; okolišnji tlak: 

p

o

 = 1 bar = 10

5

 Pa 

2

m

007854

0

4

1

0

4

2

2

,

,

d

A

=

π

=

π

=

1. vježba 

TERMODINAMIKA 

5 

a) Ravnoteža sila 

A

p

mg

pA

0

=

+

2

m

N

93760

007854

0

81

9

5

10

1

5

0

=

⋅

−

⋅

=

−

=

,

,

A

mg

p

p

 Pa

m

N

2

6240

6240

93760

10

5

0

=

=

−

=

−

=

p

p

p

v

bar

Pa

10

bar

1

 Pa

5

0624

0

6240

,

p

v

=













⋅

=

6,24%

100%

%

%

=

⋅

=

⋅

=

5

10

6240

100

p

p

V

v

pA

p

o

A

mg

d

 
 b) Ravnoteža sila 

A

p

mg

pA

0

+

=

2

m

N

106240

007854

0

81

9

5

10

1

5

0

=

⋅

+

⋅

=

+

=

,

,

A

mg

p

p

 Pa

m

N

2

6240

6240

10

106240

5

0

=

=

−

=

−

=

p

p

p

p

bar

Pa

10

bar

1

 Pa

5

0624

0

6240

,

p

p

=













⋅

=

pA

p

o

A

mg

d

 
U oba slu

č

aja se tlakovi u cilindru razlikuju od okolišnjeg tlaka 

p

o

 za iznos 

mg/A

, koji je 

posljedica težine klipa. 
................................................................................................................................................... 
 
3. ZADATAK 
 

Manometar na parnom kotlu pokazuje pretlak od 16 bar. Ako je barometarsko stanje 

735,5 mm Hg, koliki je apsolutni tlak u kotlu izražen u barima?  (16,98 bar). 
 
4. ZADATAK 
 

Raspon skale manometra je od 0 do 50 at. Koliki je raspon izražen u barima?  

(0 – 49 bar). 

.................................................................................................................................................... 
     
 
 
 
 
 

2. vježbe 

TERMODINAMIKA 

2

S obzirom na raspoložive podatke u Toplinskim tablicama (FSB) može se izra

č

unati [

C

p

] po 

formuli: 

[ ] [ ]

[ ]

1

2

1

0

2

0

1

2

2

1

ϑ

−

ϑ

ϑ

⋅

−

ϑ

⋅

=

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

p

p

p

C

C

C

    kJ/(kmol K),  

a zatim se ra

č

una: 

[ ]

[ ]

ℜ

−

=

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

2

1

2

1

p

v

C

C

gdje je 

K

kmol

kJ

314

8

K

kmol

J

8314

,

=

=

ℜ

op

ć

a plinska konstanta

. 

 
Prera

č

unavanje na srednje 

specifi

č

ne kapacitete

 vrši se prema relacijama: 

[ ] [ ]

M

C

c

p

p

2

1

2

1

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

=

 ;    

[ ]

[ ]

M

C

c

v

v

2

1

2

1

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

=

; 

 
gdje je 

M

 [kg/kmol] 

molna masa

 promatranog plina (iz tablica se uzima vrijednost 

molekularne mase). 
 

Promjena kineti

č

ke energije:  

2

2

1

2

2

12

w

w

m

E

,

k

−

=

Δ

  ,    J 

Promjena potencijalne energije:

(

)

1

2

12

z

z

mg

E

,

p

−

=

Δ

  ,    J 

Mehani

č

ki rad:

( )

∫

=

2

1

12

dV

V

p

W

,   J 

Toplina:

12

12

12

12

12

W

E

E

U

Q

,

p

,

k

+

Δ

+

Δ

+

Δ

=

  ,   J 

 
 
ZADACI 
1. Primjer 
Bat mase 50 kg pada s visine 2 m na komad olova mase 0,2 kg, koji leži na nakovnju. 
Odredite promjenu temperature olova 

Δ

ϑ

o

 uz pretpostavku da se sva kineti

č

ka energija bata u 

trenutku udara pretvara u unutarnju energiju olova. 
Specifi

č

ni toplinski kapacitet olova je 

c

o

 = 0,1295 kJ/(kg K). 

 
2. Primjer 
U posudu s 10 kg vode temperature 20 

o

C uroni se 5 kg željeza temperature 80 

o

C. Kolika bi 

se temperatura ustalila u sustavu voda-željezo, ako zanemarimo toplinske i mehani

č

ke efekte 

prema okolišu (stijenka posude, okolišnji zrak)? 
 
3. Primjer 
Jedan kilogram vode, pri stalnom okolišnjem tlaku 1 bar, zagrijava se od 20 

o

C na 80 

o

C. 

a) Koliko topline treba dovesti za zagrijavanje vode? 
b) Koliki rad izvrši vode svojim širenjem protiv nametnutog tlaka? 
 

2. vježba 

TERMODINAMIKA 

 1

ZADACI 

1. Zadatak 

Bat mase 50 kg pada s visine 2 m na komad olova mase 0,2 kg, koji leži na nakovnju. 
Odredite promjenu temperature olova 

Δ

ϑ

o

 uz pretpostavku da se sva kineti

č

ka energija bata u 

trenutku udara pretvara u unutarnju energiju olova. 
Specifi

č

ni toplinski kapacitet olova je 

c

o

 = 0,1295 kJ/(kg K). 

............................................................................................................................. 

Zadano

bat

:      

m

b

 = 50 kg ;  

Δ

z

 = 

−

 2 m  

olovo

:  

m

o

 = 0,2 kg ;  

c

o

 = 0,1295 kJ/(kg K) ;  

Δ

ϑ

o

 = ?   

→

Δ

U

o

 = ? 

Bilanca energije od po

č

etnih stanja mirovanja do trenutka udara 

(mirovanja!). 

Sustav = Bat 

+ 

Olovo

Zatvoreni izolirani sustav

 (

s

): 

Q = 

0,  

W

 = 0 

{

}

s

p

k

E

E

U

Δ

+

Δ

+

Δ

=

0

o

o

b

s

U

U

U

U

Δ

=

Δ

+

Δ

=

Δ

0

=

Δ

+

Δ

=

Δ

o

,

k

b

,

k

s

,

k

E

E

E

b

,

p

o

,

p

b

,

p

s

,

p

E

E

E

E

Δ

=

Δ

+

Δ

=

Δ

b

,

p

o

E

U

Δ

−

=

Δ

 OLOVO

BAT

NAKOVANJ

Δ

z = -

2 m

m

b

g

Zatvoreni izolirani sustav

m

o

z

1

z

2

z

g

m

c

m

b

o

o

o

Δ

⋅

⋅

−

=

ϑ

Δ

→

Rješenje

: 

Δ

ϑ

o

 = 37,9 

o

C. 

................................................................................................................................................. 
 

2. Zadatak 

U posudu s 10 kg vode temperature 20 

o

C uroni se 5 kg željeza temperature 80 

o

C. Kolika bi 

se temperatura ustalila u sustavu voda-željezo, ako zanemarimo toplinske i mehani

č

ke efekte 

prema okolišu (stijenka posude, okolišnji zrak)? 
.............................................................................................. 

Zadano

:  sustav = voda + željezo 

voda

:      

m

v

 = 10 kg ;  

ϑ

v

' = 20 

o

C  

→

c

v

 =  4,182 kJ/(kg K) ;   

ϑ

v

'' = ?  

→

Δ

U

v

 = ? 

željezo

:   

m

ž

 = 0,2 kg ; 

ϑ

ž

' = 80 

o

C  

→

c

ž

 =  0,460 kJ/(kg K) ;    

ϑ

ž

'' = ?  

→

Δ

U

ž

 = ? 

....... 
I. Zakon 
 

12

12

12

12

12

,

p

,

k

E

E

U

W

Q

Δ

+

Δ

+

Δ

=

−

Za zadani zatvoreni izolirani sustav vrijedi: 

Q

12 

= 0; 

W

12 

= 0; 

Δ

E

k

,12

 = 0; 

Δ

E

p

,12

 = 0. 

 
Zaklju

č

ak:  

Δ

U

s

,12

 = 

Δ

U

v

 + 

Δ

U

ž

 = 0   

→

(

)

(

)

0

1

2

1

2

=

ϑ

−

ϑ

+

ϑ

−

ϑ

ž

,

ž

,

ž

ž

v

,

v

,

v

v

c

m

c

m

Temperatura u toplinskoj ravnoteži

: 

ϑ

 = 

ϑ

2,

v

 = 

ϑ

2,

ž

→

Rješenje

: 

ϑ

 = 23,12 

o

C. 

2. vježba 

TERMODINAMIKA 

1

PRIMJERI

James Prescott Joule

 (1818-1889) izveo je u vremenu 1843. do 1848. niz eksperimenata sa 

svrhom pronalaženja egzaktne relacije izme

đ

u topline i mehani

č

kog rada. 

U tu svrhu koristio je posudu s vodom u kojoj je smještena mješalica, pokretana mehanizmom 
užeta, kolotura i utega. Posuda je bila toplinski izolirana od utjecaja okoliša, a promjena 
temperature vode pra

ć

ena je pomo

ć

u termometra. 

ϑ

 o

C

VODA

UTEG

∆

z

Materijalni sudionici pokusa: 

voda

, 

uteg

, posuda, izolacija, mješalica, koloture, uže, 

termometar, zrak i okoliš

. 

Formulacija problema 

Ako se u posudi nalazi 5 kg vode po

č

etne temperature 15 

o

C, a uteg mase 160 kg spusti 

tijekom pokusa za 0,8 m, za koliko 

ć

e porasti temperatura vode na kraju pokusa?  

Zadani podaci

: 

•

Voda

: 

m

v

 = 5 kg ;  

ϑ

v

′

 = 15 

o

C   

→

  c = 4187 J/(kg K) 

•

Uteg

:  

m

u

 = 160 kg ;  

│∆

z

│

 = 0,8 m (

smanjenje visine 

→

∆

z

 = −0,8 m ) 

Pitanje

: 

•

Voda

:  

∆

ϑ

v

 = 

ϑ

v

''

 − 

ϑ

v

' 

= ?  

Zaklju

č

ak

: 

•

Bitni sudionici zatvorenog sustava su 

voda

 (

m

v

 = konst.

) i 

uteg 

(

m

u

 = konst.

), jer se 

utjecaj ostalih sudionika zanemaruje – nema ni zadanih podataka, ni pitanja o 
njihovim promjenama!

Ra

č

unski model

: 

Za sustav = voda + uteg  

s

,

p

s

,

k

s

s

s

E

E

U

W

Q

∆

+

∆

+

∆

=

−

0

+

∆

=

∆

+

∆

=

∆

v

u

v

s

U

U

U

U

0

0

+

=

∆

+

∆

=

∆

u

,

k

v

,

k

s

,

k

E

E

E

u

,

p

u

,

p

v

,

p

s

,

p

E

E

E

E

∆

+

=

∆

+

∆

=

∆

0

...................................................... 

0

=

∆

+

∆

u

,

p

v

E

U

v

v

v

c

m

U

ϑ

∆

=

∆

; 

z

g

m

E

u

u

,

p

∆

=

∆

0

=

∆

+

ϑ

∆

u

u

v

v

z

g

m

c

m

     Sustav = voda + uteg  

                                       Q

s

 = 0 

                                       W

s

 = 0 

∆

ϑ

u

= 0 

∆

z

v

 = 0 

(

)

C

0

060

0

4187

5

8

0

81

9

160

,

,

,

c

m

z

g

m

v

u

u

v

=

⋅

−

⋅

⋅

−

=

∆

−

=

ϑ

∆

   VODA

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

'

→

→

→

→ ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

''

||||∆

∆

∆

∆

Z

||||

UTEG

UTEG

2. vježba 

TERMODINAMIKA 

2

Problem 

2.

 
Koliku masu mora imati uteg 

č

ije bi spuštanje za visinu 1 m izazvalo porast temperature 1 kg 

vode za 1 

o

C? 

Rješenje

: 

( )

1 4187 1

426, 955

427 kg

9, 80665

1

v

v

u

m c

m

g z

ϑ

∆

⋅

⋅

= −

= −

=

≈

∆

⋅ −

Komentar

: 

rad

 = 

sila

×

put

→

m

u

g

│∆

z

│

= 426,955 kg 

·

 9,80665 m/s

2

·

 1 m 

≈

 4187 Nm = 4187 J     

sila

:  

1 kp

 = 9,81 N;  

rad

:   

1 kpm

 = 9,81 J 

Problem 

3.

 
Za koliko se pove

ć

ala unutarnja energija vode – u prethodnom problemu? 

Rješenje

: 

1 4187 1

4187 J

v

v

v

U

m c

ϑ

∆

=

∆

= ⋅

⋅ =

Komentar

: definicija 

stare

 jedinice

 energije 

1 kcal

 = 

energija potrebna da se 

1 kg 

vode

zagrije

od 

14,5 

o

C 

na

 15,5 

o

C (za 1 

o

C).  

 
Otuda naziv "kilokalorija 15-tog stupnja". 
 
Vrijedi odnos: 1 

kcal

 = 427 

kpm

 = 4187 

J    

(

približno

) 

3. vježbe 

TERMODINAMIKA 

2

•

Koliko se molekula nalazi u 1 m

3

 pri normalnom stanju? 

3
n

3

25

m

m

molekula

10

2,688

1

41

22

10

022

6

26

=

⋅

=

⋅

=

=

,

,

V

N

N

n

....................................................................................................................................................... 
 

2. Primjer 

U spremniku volumena 5 m

3

 nalazi se zrak normalnog stanja. Odredite: individualnu 

plinsku konstantu (

R

), specifi

č

ni volumen (

v

) i gusto

ć

u (

ρ

) zraka. Kolika je masa (

m

), i 

koli

č

ina (

N

 i 

N

n

) zraka u spremniku? 

Napomena

: zrak je mješavina plinova s prakti

č

ki stalnim sastavom, pa su i svojstva (npr. 

molna masa 

M

) takve mješavine stalna.  

..... 
Iz toplinskih tablica (FSB): 

M = 

28,95 kg/kmol – 

prividna molna masa zraka

 K

kg

J

2

287

95

28

8314

,

,

M

R

=

=

ℜ

=

, 

kg

m

3

774

0

10

013

1

273

2

287

5

,

,

,

p

RT

v

=

⋅

⋅

=

=

 ;  

3

m

kg

292

1

774

0

1

1

,

,

v

RT

p

=

=

=

=

ρ

 , 

kg

46

6

5

292

1

,

,

V

RT

pV

m

=

⋅

=

ρ

=

=

, 

kmol

223

0

95

28

46

6

,

,

,

M

m

N

=

=

=

;  

3

m

0

5

223

0

41

22

41

22

,

,

,

N

,

N

n

=

⋅

=

⋅

=

......................................................................................................................................... 

3. Primjer 

U prostoriji dimenzija (5

×

6

×

2,5) m

3

 nalazi se zrak okolišnjeg stanja: temperature 5 

o

C 

i tlaka 740 mm Hg. Zagrijavanjem poraste temperatura zraka na 21 

o

C. 

a)

Koliko je zraka izašlo iz prostorije kroz proreze vrata tijekom zagrijavanja? 

b)

Koliki bi bio tlak zraka u potpuno nepropusnoj prostoriji? 

.............................................................................................................. 

Svojstva zraka

:  plinska konstanta 

 K

kg

J

2

287

95

28

8314

,

,

M

R

=

=

ℜ

=

Zadano

: 

V = 

5·6·2,5 = 75 m

3

ϑ

1

 = 5 

o

C    

→

T

1

 = 278 K 

ϑ

2

 = 21 

o

C  

→

T

2

 = 294 K 

2

5

m

N

10

0,9867

bar

 Hg

mm

750

bar

1

 Hg

mm

⋅

=

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

=

9867

0

744

,

p

........... 

a)

ϑ

1

→

ϑ

2

 uz

   p

1

 = 

p

2

= 

p

 = konst.  

kg

69

92

278

2

287

75

10

9867

0

5

1

1

,

,

,

RT

pV

m

=

⋅

⋅

⋅

=

=

          .....  (

prije zagrijavanja

) 

kg

64

87

294

2

287

75

10

9867

0

5

2

2

,

,

,

RT

pV

m

=

⋅

⋅

⋅

=

=

         .....  (

nakon zagrijavanja

) 

3. vježbe 

TERMODINAMIKA 

3

Δ

m

 = 

m

1

 – 

m

2

 = 92,69 – 87,64 = 5,04 kg        .....  (

gubitak zraka kroz proreze

) 

b)

ϑ

1

→

ϑ

2

 uz  

V

 = konst. i

  m 

= 

m

1

 = konst.  

⇒

  p

1

→

p

2

bar

m

N

2

045

1

10

045

1

75

294

2

287

69

92

5

2

2

,

,

,

,

V

mRT

p

=

⋅

=

⋅

⋅

=

=

Δ

p

 = 

p

2

 – 

p

1

 = 1,045 – 0,9867 = 0,0583 bar   .....  (

porast tlaka

)  

....................................................................................................................................................... 
 
1. Zadatak 

Potrebno je odrediti volumen balona koji bi, lebde

ć

i u zraku stanja 1 bar i 20

o

C 

(“okolišnje stanje”), mogao nositi korisnu masu od 150 kg. Ukupna 

masa balona

, koju 

č

ine 

opna balona, užad i košara, procijenjena je na 50 kg, dok se pripadni volumeni tih masa mogu 
smatrati zanemarivim. Stoga se 

volumen balona

 odnosi na volumen plina s kojim je balon 

punjen. 
Usporediti rezultate za tri slu

č

aja punjenja: 

a) vodik (eksplozivan!) okolišnjeg stanja, 
b) helij (skup i rijedak!) okolišnjeg stanja,  
c) topli zrak temperature 50

o

C i tlaka 1 bar. 

 
 
2. Zadatak 

U potonulom brodu nalazi se nepropusna komora prizmati

č

nog oblika, visine 3 m, u 

kojoj je u trenutku potapanja ostao zarobljen okolišnji zrak stanja 1 bar i 17 

o

C. Donji kraj 

komore je na dubini 20 m. U podu komore nastala je pukotina kroz koju polagano prodire 
voda komprimiraju

ć

i zrak u komori. 

a) Do koje 

ć

e se visine (

z

2

) mjerene od poda podi

ć

i razina vode u komori? 

b) Ako je na stropu komore vijcima u

č

vrš

ć

ena okrugla plo

č

a promjera 0,5 m kolikom je 

rezultiraju

ć

om silom i u kojem smjeru plo

č

a optere

ć

ena na po

č

etku prije prodora vode, a 

kolikom na kraju kada se razina vode ustali? 
 
Temperatura morske vode je 17 

o

C, a njena gusto

ć

a 

ρ

 = 1020 kg/m

3

. 

...................................................................................................................................................... 
a)  Rješenje:  

z

2

 = 

1,93 m. 

b)  Rješenje:  

F

a

 = 33400 N ;  

F

b

 = 2101 N. 

3. Zadatak 

Kompresor istiskuje 0,2 kg/s zraka pod tlakom 6 bar i temperature 140 

o

C u tla

č

ni vod. 

Brzina strujanja zraka na ulaznom presjeku iznosi 21 m/s, dok na izlaznom presjeku tla

č

nog 

voda, koji je 100 m iznad ulaznog presjeka, brzina iznosi 4,6 m/s, tlak je 5 bara, a temperatura 
40 

o

C.  

Koliki je toplinski tok prema okolini?  

....................................................................................................................................................... 
Rješenje:  

Φ

 = 439 W. 

3. vježbe 

TERMODINAMIKA 

2 

Individualne plinske konstante odre

đ

uju se iz relacije: 

K

kg

J

8314

M

M

R

=

ℜ

=

 , dok se vrijednosti 

molne mase M

 nalaze u toplinskim tablicama kao podatak za 

molekularnu masu

, koji treba 

dopuniti s dimenzijom kg/kmol.   
 
 

Rješenje 

Plinsko 

punjenje 

M

i 

kg kmol

-1 

R

i

 J kg

-1

 K

-1 

ρ

i

 kg m

-3 

∆ρ

 kg m

-3 

Volumen, 

V 

 m

3 

Promjer, 

d 

 m 

vodik,  H

2 

2,016 

4124 

0,0828 

1,105 

181 

7,02 

helij,  He 

4 

2078 

0,1642 

1,1024 

195 

7,2 

vru

ć

i zrak 

28,95 

287,2 

1,078 

0,110 

1818 

15,1 

okolišnji zrak 

28,95 

287,2 

1,188 

0 

2. Zadatak 

U potonulom brodu nalazi se nepropusna komora prizmati

č

nog oblika, visine 3 m, u kojoj 

je u trenutku potapanja ostao zarobljen okolišnji zrak stanja 1 bar i 17 

o

C. Donji kraj komore je na 

dubini 20 m. U podu komore nastala je pukotina kroz koju polagano prodire voda komprimiraju

ć

i 

zrak u komori. 
a) Do koje 

ć

e se visine (

z

2

) mjerene od poda podi

ć

i razina vode u komori? 

b) Ako je na stropu komore vijcima u

č

vrš

ć

ena okrugla plo

č

a promjera 0,5 m kolikom je 

rezultiraju

ć

om silom i u kojem smjeru plo

č

a optere

ć

ena na po

č

etku prije prodora vode, a kolikom 

na kraju kada se razina vode ustali? 
Temperatura morske vode je 17 

o

C, a njena gusto

ć

a 

ρ

 = 1020 kg/m

3

. 

......................................................................................................................................................... 
 
 
 

Atmosferski zrak: 

p

o

 = 1 bar ;  

ϑ

o

 = 17 

o

C , (

T

o

 = 290 K) 

Tlak na dnu mora: 

bar

,

Pa

,

,

gz

p

p

d

001

3

10

001

3

20

81

9

1020

10

1

5

5

0

0

=

⋅

=

⋅

⋅

+

⋅

=

ρ

+

=

a)

Prije prodora vode

:  

p

1

 = 

p

o

 ;  

T

1

 = 

T

0 

Volumen zraka u komori:               

V

k

 = 

z

k

A

                    (1a) 

Stanje zraka u komori:                   

0

0

T

N

V

p

k

ℜ

=

            (1b) 

z

k

 =

3 m

z

o

- z

k

=

17 m

z

k

- z

2

z

2

 =

?

z

o

 =

20 m

p

o

 =

1 bar

ϑ

v

= 17

o

C

ρ

 = 1020 kg/m

3

p

d

p

k

p

2

p

v

3. vježbe 

TERMODINAMIKA 

3 

b)

Nakon prodora vode

:  

p

2

 ;  

T

2

 = 

T

0 

Volumen zraka u komori:               

V

2

 = (

z

k

 – 

z

2

) 

A

              (2a) 

Stanje zraka u komori:                   

0

2

2

T

N

V

p

ℜ

=

               (2b) 

Temperatura zraka ostaje nepromijenjena! 
 
 
Korištenjem jednadžbi (1) i (2) dobiva 
se:

(

)

2

2

0

V

V

p

V

p

k

k

−

=

, odnosno: 

2

0

2

z

z

z

p

p

k

k

−

=

 .   (3) 

 
Budu

ć

i da imamo dvije nepoznanice, 

p

2

 i 

z

2

, 

potrebna je još jedna jednadžba. U trenutku 
prestanka prodora vode, tlak zraka 

p

2

 i tlak 

stupca vode 

p

v

, su postali jednaki tlaku na dnu 

p

d

. 

(

)

2

2

0

0

2

gz

p

z

z

g

p

p

d

ρ

−

=

−

ρ

+

=

 .  (4) 

 
Izjedna

č

avanjem jednadžbi (3) i (4) dobiva se: 

2

0

2

gz

p

p

z

z

z

d

k

k

ρ

−

=

−

.                  (5) 

z

o

- z

k

p

o

 =

1 bar

p

d

z

k

- z

2

z

2

 =

?

p

2

= p

o

+

ρ

g(

z

k

- z

2

)

p

v

p

d

= p

2

 +

p

v

p

k

= p

o

+

ρ

g(

z

o

- z

k

)

p

k

= p

o

+

ρ

g(

z

o

- z

k

)

a

)

b

)

p

2

p

1

=

p

o

 
Nakon sre

đ

ivanja dobiva se kvadratna jednadžba po varijabli 

z

2

: 

(

)

(

)

0

0

2

2

2

=

−

+

ρ

+

−

ρ

k

d

k

d

z

p

p

z

gz

p

gz

.               (6) 

Od dva rješenja: 

z

2

 = 31,06 m  i  

z

2

 = 1,93 m, nedvosmisleni fizikalni smisao ima samo jedno 

rješenje:  

z

2

 = 1,93 m

. 

Sada se pomo

ć

u jednadžbe (3) može odrediti tlak stla

č

enog zraka u komori: 

bar

,

,

z

z

z

p

p

k

k

808

2

93

1

3

3

1

2

0

2

=

−

⋅

=

−

=

Optere

ć

enje poklopca

Tlak mora na poklopcu

: 

(

)

(

)

Pa

,

,

,

z

z

g

p

p

k

d

k

5

5

0

10

701

2

001

3

20

81

9

1020

10

1

⋅

=

−

⋅

⋅

+

⋅

=

−

ρ

+

=

a)

Prije prodora vode

:   

Sila na poklopcu:  

(

)

(

)

N

,

,

d

p

p

F

k

a

33400

4

5

0

10

1

701

2

4

2

5

2

0

=

π

⋅

⋅

−

=

π

−

=

↓

3. vježbe 

TERNODINAMIKA 

1 

 
1. Primjer 

Ronilac ispušta mjehuri

ć

e "zraka" koji se kre

ć

u prema površini. U trenutku nastajanja 

na dubini 15 m mjehuri

ć

 ima volumen 1 cm

3

 pri temperaturi 30 

o

C. Atmosferski tlak je 1,03 

bar, a gusto

ć

a morske vode 1020 kg/m

3

. Apsorpciju "zraka" u vodi zanemarite. 

Koliki 

ć

e biti volumen mjehuri

ć

a na dubini 1 m, ako se putuju

ć

i prema površini "zrak" 

ohladio na 15 

o

C? 

................................................ 

z

1

 =

15 m

z

2

 =

1 m

p

o

 =

1 bar

ϑ

1

= 30

o

C

ρ

m

 = 1020 kg/m

3

p

1

=

p

o

 +

ρ

m

g

z

1

1

2

ϑ

2

= 15

o

C

p

2

=

p

o

 +

ρ

m

g

z

2

1

0

1

gz

p

p

m

ρ

+

=

15

81

9

1020

10

03

1

5

1

⋅

⋅

+

⋅

=

,

,

p

Pa

5

1

10

531

2

⋅

=

,

p

303

8314

10

10

531

2

6

5

1

1

1

1

⋅

⋅

⋅

=

ℜ

=

−

,

T

V

p

N

2

7

1

10

005

1

N

,

N

=

⋅

=

−

kmol

2

0

2

gz

p

p

m

ρ

+

=

1

81

9

1020

10

03

1

5

2

⋅

⋅

+

⋅

=

,

,

p

Pa

5

2

10

13

1

⋅

=

,

p

5

7

2

2

2

2

10

13

1

288

8314

10

005

1

⋅

⋅

⋅

⋅

=

ℜ

=

−

,

,

p

T

N

V

3

3

cm

m

13

2

10

129

2

6

2

,

,

V

=

⋅

=

−

 
2. Primjer

Meteorološki balon za mjerenje brzine visinskog strujanja zraka (vjetra) ima 

rastezljivu gumenu opnu mase 

m

b

 = 100 g. Na balon se objesi uteg težine 

F

t

 = 

m

t

g = 4,4 N, a 

zatim napuni vodikom okolišnjeg stanja: 1,013 bar i 15 

o

C, sve dok uzgon ne preuzme cijelu 

težinu utega i opne, tako da balon lebdi. Zatim se prekine punjenje vodikom, ukloni uteg i 
balon pusti u zrak. 
a) Koliki je promjer balona u trenutku puštanja? 
b) Koliki 

ć

e biti promjer balona i sila uzgona na visini od 3000 m, na kojoj je stanje atmosfere 

0,7 bara i – 5 

o

C, a temperatura vodika u balonu – 10 

o

C?  

..................................................................................................................................................... 

3. vježbe 

TERNODINAMIKA 

2 

       LEBDENJE BALONA

1

g

↓

ϑ

1

= 15

o

C

p

1

= 1,013 bar

m

v

g  težina vodika

m

z

g  težina istisnutog zraka

m

b

g  težina balona

m

t

g = F

t

  težina tereta

pozitivan smjer

Bilanca sila   
a) 

Lebdenje balona

 (nema uzgona) 

0

=

=↑

↑

−

↓

+

↓

+

↓

u

z

b

v

t

F

g

m

g

m

g

m

F

,   

(

)

3

2

0

4813

0

m

,

g

g

m

F

V

H

z

b

t

=

ρ

−

ρ

+

=

d

o

 = 0,9723 m 

  VISINA 3000 m

ϑ

2

=

-

 5

o

C ;

p

2

 = 0,7 bar

težina istisnutog zraka  m

z

g

težina vodika  m

v

g

težina balona  m

b

g

 F

u

  uzgon

2

g

↓

 
b) 

Uzdizanje balona

 (bez tereta) 

u

z

b

v

F

g

m

g

m

g

m

=↑

↑

−

↓

+

↓

3

2

2

3000

6361

0

m

,

p

T

R

m

V

H

H

m

=

⋅

⋅

=

d

 = 1,067 m  ;    

F

u

 = – 4,2 N 

4. vježbe 

TERMODINAMIKA 

2 

Svaki sudionik 

i

 ima temperaturu 

T

 i volumen 

V

  kao mješavina, ali njegov vlastiti 

(

parcijalni

) tlak ovisi još samo o broju njegovih molekula 

N

i

 , preko kojih plin 

osje

ć

a

 sudare s 

drugim tijelima. Iz jednadžbe stanja idealnog plina slijedi: 
 

T

V

p

N

i

i

ℜ

=

                                                                                                             (10) 

 
Zbrajanjem koli

č

ina svih sudionika dobivamo koli

č

inu mješavine: 

∑

∑

ℜ

=

ℜ

=

=

T

pV

p

T

V

N

N

i

i

 
Daltonov zakon za idealne plinske mješavine: 

tlak mješavine

 = 

zbroju parcijalnih tlakova 

sudionika

. 

∑

=

=

+

+

+

=

n

i

i

n

p

p

.....

p

p

p

1

2

1

      (

tlak mješavine

)                                            (11) 

Omjer tlakova: 

i

i

i

r

N

N

p

p

=

=

, jednak 

molnom udjelu i-sudionika

 
Za odre

đ

ivanje srednjih 

specifi

č

nih

 ili 

molnih

 toplinskih kapaciteta moramo raspolagati s 

tabli

č

nim podacima. U Toplinskim tablicama FSB nalaze se podaci za srednje vrijednosti 

molnog

 toplinskog kapaciteta 

C

p

 nekih plinova u intervalima temperatura: izme

đ

u 0

o

C i neke 

karakteristi

č

ne temperature, 100

o

, 200

o

 ....itd. 

Kod plinskih mješavina prora

č

un se provodi uz pomo

ć

 tabele. 

Sudionik 

i 

Sastav 

r

i

Molna masa

M

i

r

i

M

i

[ ]

2

0

ϑ

i

p

C

[ ]

2

0

ϑ

pi

i

C

r

[ ]

1

0

ϑ

i

p

C

[ ]

1

0

ϑ

i

p

i

C

r

1 

(

r

1

) 

(

M

1

) 

(

r

1

M

1

) 

2 

(

r

2

) 

(

M

2

) 

(

r

2

M

2

) 

... 

... 

... 

..

↓

. 

↓

↓

... 

... 

... 

... 

n 

(

r

n

) 

(

M

n

) 

(

r

n

M

n

) 

... 

Iz tablica 

... 

Iz tablica 

M

2

0

p

C

ϑ









1

0

p

C

ϑ









 
Prividna svojstva mješavine zadanog sastava: 
 

∑

=

i

i

i

M

r

M

 ;  

[ ]

[ ]

∑

ϑ

ϑ

=

i

i,

p

i

p

C

r

C

2

2

0

0

;   

[ ]

[ ]

∑

ϑ

ϑ

=

i

i,

p

i

p

C

r

C

1

0

0

1

 
Prosje

č

na svojstva za zadani interval temperatura 

ϑ

1

 i 

ϑ

2

 dobiva se iz relacija: 

[ ]

[ ]

[ ]

1

2

1

0

2

0

1

2

2

1

ϑ

−

ϑ

ϑ

⋅

−

ϑ

⋅

=

ϑ

ϑ

ϑ
ϑ

p

p

p

C

C

C

 ;   

→

[ ]

[ ]

ℜ

−

=

ϑ
ϑ

ϑ
ϑ

2

1

2

1

p

v

C

C

;    

dimenzija

: kJ/(kmol K) 

[ ]

[ ]

M

C

c

p

p

2

1

2

1

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

=

  ;   

[ ]

[ ]

M

C

c

v

v

2

1

2

1

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

=

  ili    

[ ]

[ ]

R

c

c

p

v

−

=

ϑ
ϑ

ϑ
ϑ

2

1

2

1

;    

dimenzija

: kJ/(kg K) 

4. vježbe 

TERMODINAMIKA 

3 

1. ZADATAK 

 
Atmosferski zrak sastoji se približno od 21% kisika O

2

  i 79% dušika N

2

 u volumnim 

(molnim) udjelima.  
Odredite masene udjele sudionika, prividnu plinsku konstantu i molnu masu zraka.  
Koliki su parcijalni tlakovi kisika i dušika ako je tlak zraka 1,02 bara? 
..................................................................................................................................... 
 

2. ZADATAK

 
Plinska mješavina volumenskog (molnog) sastava: CO

2

 = 12% ; O

2

 = 7% ; N

2

 = 75% ; H

2

O = 

6% zagrijava se od 100 

o

C na 300 

o

C pri konstantnom tlaku od 1,2 bara. 

Odredite srednji specifi

č

ni toplinski kapacitet 

c

p

 u zadanom intervalu temperatura. 

Kolika je gusto

ć

a plinske mješavine u kona

č

nom stanju? 

.................................................................................................................................... 
 

3. ZADATAK

 
Kisik O

2

 i acetilen C

2

H

2

 pomiješani su u volumnom (molnom) omjeru 5:2. Koliki je srednji 

specifi

č

ni toplinski kapacitet 

c

v

 u temperaturnom intervalu 100 

o

C i 255 

o

C. 

...................................................................................................................................... 
 
 

4. vježbe  

TERMODINAMIKA 

2 

Plinska konstanta 

K

kg

J

7

280

62

29

8314

,

,

M

R

=

=

ℜ

=

[ ]

[ ]

[ ]

K

kmol

kJ

62

31

100

300

100

52

30

300

25

31

1

2

1

100

0

2

300
0

300

100

,

,

,

C

C

C

p

p

p

=

−

⋅

−

⋅

=

ϑ

−

ϑ

ϑ

⋅

−

ϑ

⋅

=

[ ]

[ ]

K

kmol

kJ

31

23

314

8

62

31

300

100

300

100

,

,

,

C

C

p

v

=

−

=

ℜ

−

=

[ ]

[ ]

K

kg

kJ

068

1

62

29

62

31

300

100

300

100

,

,

,

M

C

c

p

p

=

=

=

     ;       

[ ]

[ ]

K

kg

kJ

787

0

62

29

31

23

300

100

300

100

,

,

,

M

C

c

v

v

=

=

=

Eksponent adijabate: 

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

357

1

787

0

068

1

,

,

,

c

c

C

C

v

p

v

p

=

=

=

=

κ

Gusto

ć

a mješavine: 

3

5

2

2

m

kg

746

0

573

7

280

10

2

1

,

,

,

RT

p

=

⋅

⋅

=

=

ρ

   ;      (

ρ

1 

= 1,146 kg/m

3

 ) 

 
…………………………………………………………………………………………….. 
 

3. Zadatak 

 
Kisik O

2

 i acetilen C

2

H

2

 pomiješani su u volumnom (molnom) omjeru 5:2. Koliki je 

srednji specifi

č

ni toplinski kapacitet 

c

v

 u temperaturnom intervalu 100 

o

C i 255 

o

C. 

…………………………………. 

Zadano

:  omjer 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

O

O

O

C H

C N

C N

5

2

N

r N

r

N

r

N

r

=

=

=

 ;   

2

2

2

2

2

2

2

2

2

O

C H

C H

C H

C H

5

7

1

2

2

r

r

r

r

r

=

+

=

+

=

;    

2

2

C H

2

0 2857

7

r

,

=

=

;  

2

O

5

0 7143

7

r

,

=

=

r

i

 M

i

r

i

M

i

[ ]

255
0

i

p

C

[ ]

255
0

i

p

i

C

r

[ ]

100

0

i

p

C

[ ]

100

0

i

p

i

C

r

O

2 

0,7143 

32,00 

22,848 

30,189 

21,555 

29,538 

21,090 

C

2

H

2

0,2857 

26,04 

7,447 

49,705 

14,216 

45,871 

13,119 

M

 = 30,295        

[ ]

255
0

p

C

= 35,77           

[ ]

100

0

p

C

= 34,21  

 
Vrijednost 

[ ]

255
0

p

C

 se mora  odrediti linearnom interpolacijom podataka dviju susjednih 

vrijednosti u Tablicama 

[ ]

300
0

p

C

  i  

[ ]

200
0

p

C

: 

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

{

}

(

)

K

kmol

kJ

189

30

931

29

4

30

55

0

931

29

100

55

200

0

300

0

200

0

255

0

,

,

,

,

,

C

C

C

C

p

p

p

p

=

−

+

=

−

+

=

4. vježbe  

TERMODINAMIKA 

3 

Srednja vrijednost slijedi iz relacije: 
 

[ ]

[ ]

[ ]

K

kmol

kJ

77

36

100

255

100

21

34

255

77

35

1

2

1

100

0

2

255
0

255

100

,

,

,

C

C

C

p

p

p

=

−

⋅

−

⋅

=

ϑ

−

ϑ

ϑ

⋅

−

ϑ

⋅

=

[ ]

[ ]

K

kmol

kJ

456

28

314

8

77

36

255

100

255

100

,

,

,

C

C

p

v

=

−

=

ℜ

−

=

[ ]

[ ]

K

kg

kJ

21

1

295

30

77

36

255

100

255

100

,

,

,

M

C

c

p

p

=

=

=

 ;   

[ ]

[ ]

K

kg

kJ

939

0

295

30

456

28

255

100

255

100

,

,

,

M

C

c

v

v

=

=

=

Eksponent izentrope (

idealne adijabate

): 

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

292

1

939

0

21

1

,

,

,

c