1
3-2 Transmisioni gubici toplote
provođenjem,
konvekcijom,
zračenjem
3-2.1 Prenos toplote provođenjem – kondukcija (provođenje)
ustaljeno
neustaljeno
Prenos toplote kroz čvrste materijale zove se
provođenje
toplote. Dešava se usled razlike temperatura u
materijalu na različitim mestima, a intenzitet zavisi od vrste materijala. U osnovi analize provođenja toplote
stoji jednačina temperaturnog polja. Ona se dobija preko bilansa energije, što će se pokazati za prost primer
na slici 1.
x
Q
x
Q
x+dx
dx
A
y
z
x
dx
d
θ
si
θ
se
Slika 1. U vezi bilansa energije za problem jednodimenzionalnog provođenja
Pretpostavlja se da je
•
temperaturno polje je jednodimenzionalno i neustaljeno (funkcija je vremena
t
i samo koordinate
x
)
Bilans energije za elementarno debeli čvrst sloj je (zapaziti, nema mehaničkih snaga u bilansu ukupne
energije, već samo razmene toplote)
x
x dx
dE
Q
Q
dt
+
=
−
.
(1)
Promena energije
E
elementarnog sloja tokom vremena odgovara samo promeni unutrašnje energije (jer nema
kretanja niti promene položaja):
dE
dU
d
d
d
mc
V c
dxA c
dt
dt
d
d
d
θ
θ
θ
=
=
= ρ
=
ρ
τ
τ
τ
.
(2)
Korišćenjem Tejlorovog razvoja biće, na elementarnoj debljini
dx
:
...
x
x dx
x
dQ
Q
Q
dx
dx
+
=
+
+
.
(3)
Smenom (2) i (3) u (1) dobija se
x
dQ
d
cAdx
dx
dt
dx
θ
ρ
= −
, odnosno
x
dQ
d
cA
dt
dx
θ
ρ
= −
.
(4)
Ovde je
x
x
Q
Aq
=
, a prema
Furijeovom
"zakonu" je
x
d
q
x
dx
∂θ
θ
= −λ
= −λ
∂
(u trodimenzionalnom slučaju je
q
= −λ
θ
grad
),
(5)
te je
2
x
x
d
Q
Aq
A
dx
θ
=
= − λ
.
(6)
Smenom (6) u (4) dobija se
2
2
(
)
x
dQ
d
d
d
d
cA
A
A
dt
dx
dx
dx
dx
θ
θ
θ
ρ
= −
=
λ
= λ
.
(7)
Nakon grupisanja i delenja sa
λρ
A
(ne menjaju se duž koordinate
x
) dobija se
2
2
d
d
dt
c dx
θ
λ
θ
=
ρ
, 0
x
d
≤ ≤
.
(8)
Ovo je diferencijalna jednačina neustaljenog jednodimenzionalnog temperaturnog polja u čvrstom materijalu.
Uz odgovarajuce granične uslove i početni uslov, rešenje jednačina je neustaljeno polje temperature
( , )
t x
θ = θ
.
Tek nakon nalaženja temp. polja, korišćenjem (6) može da se odredi toplotni protok u pravcu
x
,
( , )
x
x
Q
Q t x
=
,
u svakom trenutku
t
i u svakoj ravni normalnoj na koordinatu
x
.
Na sličan način, iz bilansa energije za opšti slučaj todimenzionalnih temperaturnih polja dobija se opšta
jednačina
2
2
2
2
2
2
t
c
x
y
z
∂θ
λ ∂ θ ∂ θ ∂ θ
=
+
+
∂
ρ ∂
∂
∂
, ili
2
a
t
∂θ = ∇ θ
∂
,
(9)
gde je
λ
- toplotna provodljivost materijala, W/mK (termofizičko svojstvo materijala – ovde se svuda smatra
konstantom materijala),
a
c
λ
≡
ρ
- toplotna difuzivnost, m
2
/s.
3-2.1.1 Jednodimenzionalno ustaljeno provođenje toplote
Za jednoslojnu homogenu pregradu, u ustaljenom režimu prenosa toplote biće
d
dt
θ
2
2
d
c dx
λ
θ
=
ρ
, tj.
2
2
0
d
dx
θ
=
u oblasti 0
x
d
≤ ≤
.
(10)
Dvostrukom uzastopnom integracijom uz granične uslove prve vrste (date su temperature na granicama x=0 i
x=d) dobija se
(
)
( )
(0)
( )
(0)
x
x
d
d
θ
= θ
+
θ
− θ
, 0
x
d
≤ ≤
,
(11)
a primenom (5) biće specifični toplotni protok jednak
(
)
(
)
(
)
1
1
1
( )
( )
( )
(0)
(0)
( )
(0)
( )
/
d
q x
x
d
d
d
dx
d
d
R
= −λ
θ
= −λ
θ
− θ
=
θ
− θ
=
θ
− θ
λ
.
(12)
Ovde je
/
R
d
=
λ
- toplotni otpor provođenja toplote, m
2
K/W.
Zapaziti da je ovde polje
θ
linearno, a specifični tplotni protok se menja duž zida. Samo za takav slučaj
(ustaljeni) definiše se
R
.
Prostim algebarskim kombinacijama mogu da se dobiju i
ekvivalentni
toplotni otpori za složenije nehomogene
višeslojene pregrade (Slika 2). Ove opet mogu da se kombinuju u još složenije, za koje takođe mogu da se
definišu
ekvivalentni
toplotni otpori.
4
1
1
1
1
...
...
...
n
n
n
n
A
A
A
A
R
R
R
A
A
+ +
+ +
=
+ +
.
(19)
i to je specifični otpor pregrade, ali sa paralelno postavljenim slojevima.
U svim prethodnim izrazima,
λ
se odnosi na "homogeni" materijal, od kojeg je sačinjena "homogena" pregrada.
Vrednosti za koeficijent toplotne provodljivosti date su tablicom 3.4.1.2 u Pravilniku:
Вредност коефицијента топлотне проводљивости,
λ
m
[
W/(m
⋅
K)
]
, m-
тог слоја елемента, дебљине
d
[
m
]
, усваја се према
табели 3.4.1.2, или се доказује испитивањем у складу са важећим стандардима и прописима.
Табела
3.4.1.2 –
Хигротермичке особине грађевинских материјала и производа
(skra
ćeni izvod
)
Материјал / производ
Густина
,
ρ
kg/m
3
Специфич
на
топлота,
c
J/(kg
⋅
K)
Топлотна
проводљиво
ст,
λ
W/(m
⋅
K)
Релативни
коефицијен
т дифузије
водене
паре
,
µ
I ЗИДОВИ
1 800
920
0,76
12
1.
Пуна опека (шупљикавост 0
до
15 %)
1 600
920
0,64
9
1 400
920
0,58
7
1 200
920
0,47
5
1 400
920
0,61
6
2.
Шупљи блокови и и шупља опека
(густина заједно са отворима)
1 200
920
0,52
4
3.
Порозна опека
800
920
0,33
2,5
1 900
880
1,05
35
4.
Клинкер опека, пуна клинкер опека,
шупља
1 700
880
0,79
30
5.
Блокови од електрофилтерског пепела
1 500
920
0,58
5
1 300
920
0,47
4
6.
Силикатна пуна опека
2 000
920
1,10
20
....
3-2.1.2 Višedimenzionalno ustaljeno provođenje toplote
Razmotrimo
dvodimenzionalno ustaljeno
temperatursko polje za slučaj jako dugačke (beskonačne) grede sa
poprečnim presekom kao na slici 2.
l
x
y
θ
(
x,b
)
=
θ
2
b
t
(
x,y
)
l
x
y
θ= 0.10 θ
2
θ
(0
,y
)
=
θ
1
θ
(
l,y
)
=
θ
1
θ
(
x,0
)
=
θ
1
b
θ
(0
,y
)
=
θ
1
θ
(
x,b
)
=
θ
2
θ
(
l,y
)
=
θ
1
θ
(
x,0
)
=
θ
1
θ
(
x,y
)
=const.
q
(
x,y
)
=const.
Slika 3. Dvodimenzionalni uslovi za pravougaoni presek beskonačne grede
Diferencijalna jednačina temperaturnog polja za dvodimenzionalni ustaljeni problem prolaza toplote glasi
5
2
2
2
2
0
, 0
, 0
x
l
y
b
x
y
∂ θ ∂ θ
=
+
≤ ≤
≤ ≤
∂
∂
.
(20)
Granicni uslovi neka su svuda prve vrste:
1
( , )
,
0, 0
x y
x
y
b
θ
= θ
=
≤ ≤
,
(20
1
)
1
( , )
,
, 0
x y
x
l
y
b
θ
= θ
=
≤ ≤
,
(20
2
)
1
( , )
, 0
,
0
x y
x
y
θ
= θ
≤ ≤ θ
=
,
(20
3
)
2
( , )
, 0
,
x y
x
l
y
b
θ
= θ
≤ ≤
=
.
(20
4
)
Resavanjem (metodom razdvajanja promenljivih) se dobija polje
1
(
)
1
2
1
1
( , )
sin
sinh
n
n
x
y
x y
C
n
n
l
l
∞
=
θ
= θ + θ − θ
π
π
∑
,
1
2 ( 1)
1
/ sinh
n
n
b
C
n
n
l
+
−
+
≡
π
π
.
(21)
Očigledno je da treba sabirati beskonačni red. To se može uraditi, pribljižno tačno, i rezultati se mogu
prikazati u vidu izotermi kao na Slici 2 (desno).
Razmenjena toplota provodjenjem kroz dvodimenzioni sloj, dobija se prvo izračunavanjem gradijenata na
nekom mestu
(
)
2
1
1
( , )
1
cos
sinh
n
n
x y
x
y
C
n
n
n
x
l
l
l
∞
=
∂θ
= θ − θ
π
π
π
∂
∑
,
(22)
(
)
2
1
1
( , )
1
sin
cosh
n
n
x y
x
y
C
n
n
n
y
l
l
l
∞
=
∂θ
= θ − θ
π
π
π
∂
∑
.
(23)
Na mestu y=b, iz (23) se kolokacijom dobija:
(
)
(
)
2
1
2
1
1
1
( , )
1
sin
cosh
sin
n
n
n
n
x b
x
b
x
C
n
n
n
D
n
y
l
l
l
l
∞
∞
=
=
∂θ
= θ − θ
π
π
π
= θ − θ
π
∂
∑
∑
,
(23)
što u kombinaciji sa Furijeovim zakonom daje izraz za izračunavanje specifičnog toplotnog protoka na mestu
z=b:
(
)
2
1
1
( , )
( , )
sin
y
n
n
x b
x
q x b
D
n
y
l
∞
=
∂θ
= −λ
= −λ θ − θ
π
∂
∑
.
(23)
Ukupni toplotni protok po jedinici dužine grede (u pravcu
z
ose- normalne na crtež, površine
A
=1
l
), na mestu
y=b biće
(
)
(
)
2
1
2
1
1
1
0
0
1 cos(
)
( , )
sin
x l
x l
y
n
n
n
n
x
x
x
n
Q
q x b dx
D
n
D l
l
n
=
=
∞
∞
=
=
=
=
−
π
=
= −λ θ − θ
π
= −λ θ − θ
π
∑
∑
∫
∫
ɺ
.
(24)
Odnosno, skraćeno,
(
)
2
1
Q
S
= λ θ − θ
ɺ
,
(25)
gde je
1
cos(
) 1
n
n
n
S
l
D
n
∞
=
π −
=
π
∑
.
(26)
Nalaženje ovog S nije, očigledno, rezultat elementarnih procesa, kao ni izračunavanje S. Ali, ako bi se to
uradilo (negde, i jednom) tada bi izračunavanje Q, između dva različita dela površine, sa različitim ustaljenim
temperaturama, bilo praktično vrlo jednostavno – prema (25).
Faktori oblika (Conduction Shape Factors) u dvo- i tro-dimenzionalnom provođenju toplote
Generalno, nalaženje analitičkog rešenja za dvo- i višedimenzionalne slučajeve je vremenski zahtevno a, u
većini slučajeva nije ni moguće. Stoga se pristupa na drugačiji način. Na primer, u mnogo situacija, dvo- i više
1
( )
2sinh
x
x
e
e
x
−
−
=
