JU “ GIMNAZIJA VASO PELAGIĆ “ ; Brčko
MATURSKI RAD IZ MATEMATIKE
TEMA: Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Mentor:Milena Veselić, prof matematike Učenik:Stefan Simić, IV-1
Brčko, maj 2014. godine
SADRŽAJ
Uvod.....................................................................................................................................3
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja……………………………………………..3-7
Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku……………….7-9
Stepenovanje i korjenovanje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku……...9-15
Primjena i primjeri iz svakodnevnog života………………………………………….16-17
Kratka istorija nastanka kompleksnih brojeva……………………………18-25
Zaključak………………………………………………………….26
Literatura…………………………………………………………………………………27
2
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Poznato je da kompleksnom broju
(1)
možemo pridružiti (obostrano jednoznačno) tačku M (x,y) koordinatne ravni. Označimo
sa udaljenost tačke M (x,y) od koordinatnog početka, a sa
orijentisani ugao između pozitivnog dijela x-ose i vektora
(radijus-vektor položaja
tačke M (x,y).
4
Sa slike nalazimo:
(2)
(3)
Iz (1) i (2) dobivamo:
(4)
Izraz (4) zovemo trigonometrijski oblik kompleksnog broja z.
- modul kompleksnog broja z
- argument kompleksnog broja z.
Definicija (argumenta):
Neka je M (x,y) tačka koja predstavlja kompleksan broj
. Svaki mjerni broj orijentisanog ugla koji čini radijus vector
sa
pozitivnim dijelom x-ose zove se argument broja z i označava se sa Arg z. Argument
broja z koji zadovoljava uslov
zove se glavna vrijednost argumenta broja z i
označava se arg z.
Uglu (x,
) odgovara tačno jedan mjerni broj koji se nalazi u intervalu
, dok
se svi ostali mjerni brojevi ugla (x,
) dobiju po formuli
.
Iz navedenog zaključujemo broj = Arg z je određen kompleksnim brojem
samo do
sabirka
, dok je broj arg z potpuno određen brojem z
i važi:
tj.
ima beskonačno mnogo vrijednosti.
Pokažimo sada kako određujemo i iz zadanog broja
.
Ako je
iz (3) slijedi =0 pa je (4) zadovoljeno za svaki realan
broj . Za određivanje glavne vrijednosti argumenta imamo:
Ako je
i >0 (y<0) onda je
,
;
5
(jer su lukovi
i
komplementni) odakle za
dobijamo
. Dalje je
Odakle zbog
slijedi
. Znači
.
, pa je
, jer se tačka (-1,-1) nalazi u trećem kvadrantu.
Prema tome imamo
Teorema:
Dva kompleksna broja i zadana u trigonometrijskom obliku
,
jednaka su onda i samo onda kada je
,
,
.
Dokaz:
Ako je
imamo
,
(7)
pa je odavde
(8).
Iz (7) i (8) imamo
,
što daje
,
, i obrnuto,
ako je
,
, tada je očigledno
.
Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku
7
