1
СЕМИНАРСКИ РАД ИЗ НАСТАВНОГ ПРЕДМЕТА
ФИНАНСИЈСКА И АКТУАРСКА МАТЕМАТИКА
ТЕМА:
УЛОЗИ И РЕНТЕ
Крагујевац, децембар 2014.
2
САДРЖАЈ:
1. Општи модел улагања................................................................................................... 3
1.1 Антиципативан начин улагања ................................................................3
1.2 Декурзиван начин улагања .......................................................................4
1.3 Време улагања ..............................................................................................5
2. Ренте ..................................................................................................................................5
2.1. Модели антиципативне ренте за декурзивном каматном стопом...... 6
2.1.1. Модели мизе и ренте .....................................................................6
2.1.2. Време примања ренте ...................................................................8
2.1.3. Израчунавање каматне стопе .....................................................8
2.2. Модели декурзивне ренте са декурзивном каматном стопом .............9
2.2.1. Време примања ренте ...................................................................9
2.2.2. Израчунавање каматне стопе ...................................................10
3. Задатак ............................................................................................................................11
4. Литература .....................................................................................................................13
4
K1= Ko* r
n
K2= Ko* r
n-1
K
3
= Ko* r
n-2
.
.
Задњи n- ти улог остаје укамаћен у само једном обрачунском периоду, па је његова крајња
вредност К
n
= Ko* r
На крају задњег обрачунског периода крајња вредност свих улога је Кs=
∑
i
=
1
n
Ki
=
=
∑
i
=
1
n
Ko
∗
r
n
−
i
+
1
= Ko*
∑
i
=
1
n
r
n
−
i
+
1
= Ko* ( r
n
+ r
n-1
+ r
n-2
+... + r
2
+ r)
Kако збир r + r
2
+ r
3
+... + r
n
представља збир n чланова геометријске прогресије чији је
први члан а
1
= r и количник q= r , то је вредност овог збира r+ r
2
+ r
3
+…+ r
n
=a
1
¿
q
n
−
1
q
−
1
= r*
r
n
−
1
r
−
1
одакле добијамо Ks=Ko*r
r
n
−
1
r
−
1
па је тако Ko=Ks*
r
−
1
r
(
r
n
−
1
)
а укупна камата I=Ks-
n*Ko
Декурзиван начин улагања
Декурзиван начин улагања имамо у случајевима када се на крају сваког обрачунског
периода улажу исти или различити улози на штедњу.
Код овог модела улагања задњи улог не доноси камату, јер се вредност улаже истог дана
када се и подиже.
Крајња вредност збира свих улога је Кs=
∑
i
=
1
n
Ki
=
∑
i
=
1
n
Ko
∗
r
n
−
i
= Ko
∑
i
=
1
n
r
n
−
i
=
Ko*(r
n-1
+ r
n-2
+...+ r
2
+ r+ 1)
5
Па како је 1+r+r
2
+ … +r
n-1
збир чланова геометријског низа код кога је а
1
=1 и q=r имамо да
је Ks=Ko*1*
r
n
−
1
r
−
1
тј .
Ks=Ko*
r
n
−
1
r
−
1
Из овога следи да је Ko=Ks*
r
−
1
r
n
−
1
а укупна камата I=Ks-n*Ko
Време улагања
Ако су познати параметри Ko, Ks, p и m тада решавањем једначине по n добијамо
r
n
=
K
s
K
o
(
r
−
1
)+
1
❑
⇒
log
r
n
=
log
(
Ks
Ko
(
r
−
1
)+
1
)
где из овога следи да је n=
log
(
Ks
Ko
(
r
−
1
)+
1
)
log
r
А како је n =tm
❑
⇒
t=
log
(
Ks
Ko
(
r
−
1
)+
1
)
m
log
r
Ако tm није цео број то значи да је штедња подигнута t
d
дана након доспећа за подизање.
Тада се најпре одреди n'=
[
tm
]
где је n' цео број. Из n'=t'm одреди се t' у томе се садржи цео
број обрачунских периода, а затим израчунава t
d
из једначине t
d
=
1
p
(
365
∗
Ks
(
r
−
1
)
Ko
(
r
n '
−
1
)
−
365
)
Ренте
У пракси имамо случајеве да се одређене суме исплаћују периодично у уговореним
терминима при чему временски размаци између две исплате могу бити исти или
различити. Поменуте суме које се исплаћују називамо рентама. Ренте се исплаћују на
основу унапред уплаћене суме која се укамаћује. Ако је уплаћена једнократна сума на
основу које се исплаћује ренте, онда се она назива мизом, а ако се врше вишократне уплате
онда
се
оне
називају
премије.
Ренте се деле на:
1) константне- ако су ренте исте
