Uvod u neodređene integrale

SKRIPTE EKOF 2019/20 

skripteekof.com 

Lekcija 6: Uvod u neodređene integrale 

54

Lekcija 6: Uvod u neodređene integrale          

Pregled lekcije   

U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: 



šta su integrali 

– jednostavnim i praktičnim jezikom! 



osnovne osobine neodređenih integrala 

– koje su i zašto su važne; 



tablične integrale 

– koji su i kako ih primenjujemo u zadacima.

Uvod 

U  ovoj  lekciji  se  bavimo  definicijom  integrala,  kao  i  osnovnim  osobinama  neodređenih 
integrala i tablicom integrala koju treba da znate u pola noći kad vas probude! Lekcija je pre 
svega namenjena za studente koji se nikada do sada nisu susreli sa integralima, kao i za sve 
ljude koji paniče čim čuju ovu reč. Nema razloga za paniku! 

Šta su integrali?  

Suštinski,  integrali  su 

suprotna  operacija  u  odnosu  na  izvode. 

Drugim  rečima,  kada 

tražimo integral od neke funkcije 

?(?),

 ono što zapravo tražimo jeste na koju to funkciju 

?(?)

  treba  da  primenimo  prvi  izvod,  kako  bismo  dobili  funkciju 

?(?).

  Funkciju 

?(?)

nazivamo 

primitivnom funkcijom

 funkcije 

?(?).

 
Prikažimo ovo i u matematičkom zapisu. Pretpostavimo da imamo datu određenu funkciju 

?(?).

 Izvod ove funkcije označićemo kao neku funkciju 

?(?).

?(?)

′

= ?(?)

 
Ovo možemo zapisati i na drugačiji način. Funkcija 

?(?)

 je prvi izvod funkcije 

?(?),

 kao 

što smo zapisali iznad. Drugim rečima, integral funkcije 

?(?) 

je funkcija 

?(?).

∫ ?(?) ?? = ?(?) + ?

Obratite pažnju! 

Moramo dodati i konstantu 

?

 na naš rezultat, jer izvod bilo kojeg broja 

je 0 i ne utiče da izvod 

?(?)

 ostane 

?(?)

. Pogledajmo sledeći primer. 

Primer.

Imamo određenu funkciju 

?(?) = 3?

2

+ 8? + 2

. Izvod ove funkcije označimo sa 

?(?),

 i 

on iznosi:  

?(?)

′

= ?(?) = 6? + 8

 
Sa druge strane, koji bi bio integral funkcije 

?(?)?

SKRIPTE EKOF 2019/20 

skripteekof.com 

Lekcija 6: Uvod u neodređene integrale 

55

∫ ?(?) ?? =

= ∫(6? + 8) ??

 
Drugim rečima, koja funkcija kada uradimo njen prvi izvod će dati rezultat 

6? + 8

? Kasnije 

ćemo  do  ovoga  dolaziti  putem  primene  raznih  pravila  u  vezi  integrala.  Međutim,  ovde 
nema potrebe za tim jer smo ovo već dobili u prvom delu primera.  

= ∫(6? + 8) ??

= 3?

2

+ 8? + 2

Prvi izvod funkcije 

3?

2

+ 8? + 2

 zaista jeste 

6? + 8

. Međutim, ono što je ovde bitno da 

primetimo jeste da bismo dobili 

6? + 8

 i kada uradimo prvi izvod iz neke druge, vrlo slične 

funkcije,  na  primer 

3?

2

+ 8? + 3

  ili 

3?

2

+ 8? + 4

  ili 

3?

2

+ 8? + 1

  itd.  Dakle, 

s 

obzirom da je izvod bilo koje konstante nula, potpuno je svejedno koja je konstanta 
u našoj funkciji – prvi izvod će i dalje ostati isti. 

 
Drugim rečima, rešenje našeg integrala nije samo 

3?

2

+ 8? + 2

, već sledeći izraz, gde je C 

neka proizvoljna konstanta:  

∫(6? + 8) ??

= 3?

2

+ 8? + ?

 
Verovatno se pitate – a kako ja da baš znam da je ovo rešenje integrala? Ne brinite, ništa 
ovo  nećemo  raditi  napamet,  postoje  brojna  pravila  i  metode  koje  ćemo  primenjivati  za 
rešavanje integrala.  
 
Na osnovu ovog primera, vidimo da je rešenje integrala 

∫(6? + 8) ??

 izraz:  

3?

2

+ 8? + ?

gde je C neka proizvoljna konstanta. Stoga možemo da zaključimo da 

integral predstavlja 

skup funkcija koje daju određeni isti rezultat kada uradimo njihov prvi izvod. 

Ovo je 

neformalna definicija 

neodređenih 

integrala.  

Osobine neodređenih integrala  

Sada moramo da prođemo jedan pomalo dosadan deo, a to su pravila koje morate da znate 
napamet – 

osobine neodređenih integrala 

i 

tablični integrali

. Neka od ovih pravila su 

logična,  dok  za  druge  je  potrebno  malo  više  vežbe  kako  biste  ih  dobro  upamtili,  ali 
verujemo  da  ćete  uspeti  ovo  dobro  savladati.  Ne  odustajte,  jer  ovo  je  veoma  važno  i  za 
kolokvijum i za ispit!  
 
 
  

SKRIPTE EKOF 2019/20 

skripteekof.com 

Lekcija 6: Uvod u neodređene integrale 

57

Zaista, kada uradite prvi izvod funkcije 

?

2

2

 po promenljivoj 

?

, dobijate 

?

.  

Primer:

∫ ?

2

∙ ?? =

?

2+1

2 + 1

=

?

3

3

+ ?

Zaista, kada uradite prvi izvod funkcije 

?

3

3

 , dobijate 

?

2

.  

3)

∫

1
?

∙ ?? = ??|?| + ?

Suština: 

Koja  funkcija  kada  uradimo  njen  prvi  izvod  daje 

1

?

?  U pitanju  je 

??|?|

. Zaista,  iz 

tablice izvoda, znamo da je prvi izvod funkcije 

???

 upravo

1

?

 . Apsolutnu zagradu stavljamo 

kako  bismo  obezbedili  da  je  u  pitanju  pozitivan  broj  (što  je  uslov  za 

?

  podlogaritamske 

funkcije).  

4)

∫ ?

?

∙ ?? =

?

?

???

+ ?

Suština: 

Koja funkcija kada uradimo njen prvi izvod daje 

?

?

, gde je 

? 

neki  realan broj? U 

pitanju je 

?

?

???

 . Zašto je ovo tako lakše možemo videti kroz primer. 

Primer:

∫ 3

?

∙ ?? =

3

?

??3

+ ?

Zaista, kada uradite prvi izvod funkcije 

3

?

??3

 , dobijate 

3

?

. Proverimo to ovde:  

(

3

?

??3

)

′

=

=

(3

?

∙ ??3) ∙ ??3 − 3

?

∙ 0

(??3)

2

=

3

?

∙ ??3 ∙ ??3
(??3)

2

= 3

?

5)  

∫ ?

?

∙ ?? = ?

?

+ ?

Suština: 

Koja  funkcija  kada  uradimo  njen  prvi  izvod  daje 

?

?

,  gde  je 

? 

Ojlerov  broj?  U 

pitanju je 

?

?

. Ovo znamo iz tablice izvoda. Prvi izvod funkcije 

?

?

 je 

?

?

. 

NAPOMENA: ŠTA JE BROJ e?  

Broj e se naziva Ojlerov broj

ili Neperova konstanta.  

Korisno je da znate da broj e iznosi 

približno 

2,72.   

SKRIPTE EKOF 2019/20 

skripteekof.com 

Lekcija 6: Uvod u neodređene integrale 

58

OSNOVNA PRAVILA U VEZI TRIGONOMETRIJE  
1)

∫ ???? ∙ ?? =

‒ 

???? + ?

Suština: 

Koja funkcija kada uradimo njen prvi izvod daje 

????

? U pitanju je

 −????

. Ovo 

znamo iz tablice izvoda.   
 

2)

∫ ???? ∙ ?? =

+ 

???? + ?

Suština: 

Koja funkcija kada uradimo njen prvi izvod daje 

????

? U pitanju je

 +????

. Ovo 

znamo iz tablice izvoda.   
 

3)

∫

1

???

2

?

∙ ?? ==

‒ 

???? + ?

Suština: 

Koja funkcija kada uradimo njen prvi izvod daje 

1

???

2

?

? U pitanju je

 −????

. Ovo 

znamo iz tablice izvoda.   
 

4)  

∫

1

???

2

?

∙ ?? ==

+ 

??? + ?

Suština: 

Koja funkcija kada uradimo njen prvi izvod daje 

1

???

2

?

? U pitanju je

 +???

. Ovo 

znamo iz tablice izvoda.   
 
 
 
 
 
 
 
 

IZVEDENA PRAVILA

Za njih je potrebno više vežbe, ali su dosta bitna za ispitne integrale, naročito tip 1 i tip 2 - 
ovo ćemo obrađivati u skripti za pismeni ispit. 

1)  

∫

1

?

2

− ?

2

∙ ?? =

1

2?

??

? − ?
? + ?

+ ?

Primer:

∫

1

?

2

− 9

∙ ?? =

= ∫

1

?

2

− 3

2

∙ ??

NAPOMENA: OBAVEZNO VEŽBAJTE!  

Obavezno dobro izvežbajte ova pravila, jer su greške u vezi minusa i plusa jedne od 
najčešćih grešaka na ispitu. Zato smo im i povećali veličinu i boldovali minus i plus! 
 
Vežbajte ova pravila zajedno sa pravilima u vezi trigonometrije iz tablice izvoda. Time 
ćete produbiti svoje razumevanje ove materije.  

SKRIPTE EKOF 2019/20 

skripteekof.com 

Lekcija 6: Uvod u neodređene integrale 

60

Primer:

∫

1

√?

2

+ 9

∙ ?? =

= ∫

1

√?

2

+ 3

2

∙ ??

= ?? |? + √?

2

+ 9| + ?

2) 

∫

1

√?

2

− ?

2

∙ ?? = ?? |? + √?

2

− ?

2

| + ?

Primer:

∫

1

√?

2

− 9

∙ ?? =

= ∫

1

√?

2

− 3

2

∙ ??

= ?? |? + √?

2

− 9| + ?

3)

∫

1

√ ?

2

 − ?

2

∙ ?? = ??????

?
?

+ ?

Primer:

∫

1

√9 − ?

2

∙ ?? =

= ∫

1

√ 3

2

 − ?

2

∙ ??

= ??????

?
3

+ ?

 
S obzirom da je 

?

 bilo koji broj, lako je uvideti da je specifičan slučaj ovog pravila kada je 

? = 1

 i tada imamo:  

3*) 

∫

1

√1 − ?

2

∙ ?? = ??????? + ?

Postupno izvođenje:

∫

1

√1 − ?

2

∙ ?? =

= ??????

?
1

+ ?

= ??????? + ?

Za  VIDEO  LEKCIJE  I  DODATNA  VEŽBANJA  skenirajte 
sledeći QR kod preko vašeg pametnog telefona. 

Neki  telefoni  mogu  ovo  da  učine  direktno  preko  kamere,  ali  je 
najčešće  potrebno  da  preuzmete  neku  aplikaciju  iz  Google  Play  ili 
Apple Store za skeniranje QR kodova, kao što je „QR code reader“.