23. Vektorski i mexoviti proizvod vektora
Orijentacija trojki vektora u prostoru.
Vektori
i, j, k
obrazuju bazu u dekartovom koor-
dinatnom sistemu i mogu se odnositi jedan prema drugima u dva sluqaja. U jednom sluqaju oni
su rasporeeni tako, da posmatrajui sa kraja vektora
k
na ravan
XY
, kreu i se od vektora
i
ka vektoru
j
, odreujui usmerenje suprotno kretanju kazaljki na qasovniku. Trojka vektora
i, j, k
rasporeena na ukazanom naqinu naziva se desnom trojkom ili desnim bazisom. Dekartov
koordinatni sistem, koji odgovara desnoj orijentaciji vektora
i, j, k
naziva se desnim. Ako je
posmatramo usmerenje kao kretanje kazaljki na qasovniku, to se trojka vektora naziva levom ili
levim bazisom. Pri ovome sistem koordinata se naziva levim dekartovim sistemom.
Vektorski proizvod i njegova svojstva.
Neka su
i, j, k
desni bazis prostora
R
3
. Vektorski
proizvod dva vektora
a
i
b
naziva se trei vektor
c
, koji zadovoljava sledea tri uslova:
1.
|
c
|
=
|
a
||
b
|
sin
ϕ,
ϕ
= (
a, b
)
.
(1)
2.
c
⊥
a
,
c
⊥
b
,
3. Vektori
a, b
i
c
obrazuju desnu trojku.
Vektorski proizvod vektora
a
i
b
oznaqavamo sa
[
a, b
]
ili
a
×
b
. Pojasniemo svojstva vek-
torskog proizvoda.
1. Duina vektora
[
a, b
]
brojno je jednaka povrxini paralelograma, konstruisanog nad vek-
torima
a
i
b
, dovedenih na zajedniqki poqetak.
Pravilnost svojstav 1. proizilazi iz poznatog elementarnog matematiqkog fakta da povrx-
ina paralelograma jednaka je proizvodu duina susednih strana i sinusa ugla izmeu njih.
2. Vektorski proizvod dva nenulta vektora jednak je nuli tada i samo tada kada su oni
kolinearni. Drugim reqima,
a
k
b
⇔
[
a, b
] = 0
.
Zaista, ako je
a
k
b
to ili je
a
·
b
(
ϕ
= 0)
, ili je
a
↑↓
b
(
ϕ
=
π
)
, xto je istovetno sa
[
a, b
] = 0
.
Obrnuto, ako je
[
a, b
] = 0
, to je
|
[
a, b
]
|
= 0
, a kako su
a
,
b
nenulti vektori to iz (1) dobijamo da
je
sin
ϕ
= 0
, a to povlaqi kolinearnost vektora
a
i
b
. U sluqaju, ako je jedan od vektora
a
ili
b
nulti vektor, svojstva 2. je oqigledno.
Prema tome, jednakost
[
a, b
] = 0
je uslov kolinearnosti vektora
a
i
b
.
3. (Antikomutativnost vektorskog proizvoda).
[
a, b
] =
−
[
b, a
]
.
Ako u vektorskom proizvodu
[
a, b
]
premestimo qinioce (transpoziciju) to za ispunjenje uslova
3. vektorskog proizvoda potrebno je izmeniti usmerenje vektora
c
u suprotnom. Duine vektora
[
a, b
]
i
[
b, a
]
su jednake.
4.
[
αa, b
] =
α
[
a, b
]
;
[
a, βb
] =
β
[
a, b
]
,
∀
α, β
∈
R
.
1
2
Da vai jednakost
[
αa, b
] =
α
[
a, b
]
sledi i definicije vektorskog proizvoda i slike 28. Odavde
i svojstva 3. dobijamo jednakost
[
a, βb
] =
β
[
a, b
]
. Zaista,
[
a, βb
] =
−
[
βb, a
] =
−
β
[
b, a
] =
β
[
a, b
]
.
Posledica.
[
αa, βb
] =
αβ
[
a, b
]
,
∀
α, β
∈
R
.
5. (Distributivnost vektorskog proizvoda)
[
a
+
b, c
] = [
a, c
] + [
b, c
]
.
Kao posleica ovog svojstva je relacija
(2)
[
αa
+
βb, c
] =
α
[
a, c
] +
β
[
b, c
]
.
Vektorski proizvod u koordinatnoj formi.
Po definiciji vektorskog proizvoda za bazisne
vektore
i, j, k
vae jednakosti
[
i, i
] = [
j, j
] = [
k, k
] = 0
[
i, j
] =
k,
[
j, k
] =
i,
[
k, i
] =
j
;
[
j, i
] =
−
k,
[
k, j
] =
−
i,
[
i, k
] =
−
j.
(3)
Neka su zadati vektori
a
i
b
u obliku
a
= (
x
1
, y
1
, z
1
) =
x
1
i
+
y
1
j
+
z
1
k
,
b
= (
x
2
, y
2
, z
2
) =
x
2
i
+
y
2
j
+
z
2
k
. Tada koristei relacije (3) i svojstve vektorskog proizvoda dobijamo
[
a, b
] =(
y
1
z
2
−
y
2
z
1
)
i
+ (
z
1
x
2
−
x
2
z
1
)
j
+ (
x
1
y
2
−
x
2
y
1
)
k
=
¯
¯
¯
¯
y
1
z
1
y
2
z
2
¯
¯
¯
¯
i
−
¯
¯
¯
¯
x
1
z
1
x
2
z
2
¯
¯
¯
¯
j
+
¯
¯
¯
¯
x
1
y
1
x
2
y
2
¯
¯
¯
¯
k.
Primetimo, da izraz predstavlja formalno razlaganje determinate po elementima prve vrste
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i
j
k
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Na taj naqin dobijamo jednakost
(4)
[
a, b
] =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i
j
k
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Formula (4) i definixe koordinatnu formulu vektorskog proizvoda. Odavde i iz geometri-
jskog smisla vektorskog proizvoda dobijamo formulu za povrx paralelograma, konstruisanog
nad vektorima
a
= (
x
1
, y
1
, z
1
)
i
b
= (
x
2
, y
2
, z
2
)
:
(5)
S
=
|
[
a, b
]
|
=
mod
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i
j
k
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
gde
mod
oznaqava moduo.
Moemo izvesti formulu za povrx takvog paralelograma. Neka je
ϕ
= (
a, b
)
. Tada
S
2
=
|
[
a, b
]
|
=
|
a
|
2
|
b
|
2
sin
2
ϕ
=
|
a
|
2
|
b
|
2
(1
−
cos
2
ϕ
)
=
|
a
|
2
|
b
|
2
− |
a
|
2
|
b
|
2
cos
2
ϕ
= (
a, a
)(
b, b
)
−
(
a, b
)
2
=
¯
¯
¯
¯
(
a, a
)
(
a, b
)
(
a, b
)
(
b, b
)
¯
¯
¯
¯
.
Otuda
(6)
S
=
¯
¯
¯
¯
(
a, a
)
(
a, b
)
(
a, b
)
(
b, b
)
¯
¯
¯
¯
1
2
.
