Glava 1
VEKTORSKI PROSTORI
Neka je (
V,
+) Abelova grupa. Kaˇzemo da je
V
vektorski prostor nad
poljem (
R,
+
,
·
) ako je definisano preslikavanje skupa
R
×
V
u skup
V
sa
slede´cim osobinama:
(
i
)
α
(
x
+
y
) =
αx
+
αy,
(
ii
)
(
α
+
β
)
x
=
αx
+
βx,
(
iii
)
α
(
βx
) = (
αβ
)
x,
(
iv
)
1
x
=
x,
gde je
x, y
∈
V
, a
α, β
∈
R
. Pri tome je sa
αx
oznaˇcena slika elementa
(
α, x
)
∈
R
×
V
. Elementi skupa
V
nazivaju se vektori, a elementi skupa
R
skalari
1
.
Neka su
x
1
, x
2
, . . . , x
n
vektori iz vektorskog prostora
V
. Ako postoje
skalari
α
1
, α
2
, . . . , α
n
, koji nisu svi jednaki nuli, takvi da vaˇzi
α
1
x
1
+
α
2
x
2
+
· · ·
+
α
n
x
n
= 0
,
kaˇzemo da su
x
1
, x
2
, . . . , x
n
linearno zavisni vektori. Ako vektori
x
1
, x
2
, . . . ,
x
n
nisu linearno zavisni, onda kaˇzemo da su oni linearno nezavisni. Maksi-
malan broj linearno nezavisnih vektora vektorskog prostora
V
nad
R
naziva
se dimenzija tog prostora. Neka je
V
vektorski prostor nad
R
ˇcija je dimen-
zija
n
. Bilo koji skup od
n
linearno nezavisnih vektora iz
V
je baza prostora
V
. Neka su
x
1
, x
2
, . . . , x
n
vektori prostora
V
nad poljem
R
i
α
1
, α
2
, . . . , α
n
skalari iz polja
R
. Tada izraz
α
1
x
1
+
α
2
x
2
+
· · ·
+
α
n
x
n
1
Dve operacije oznaˇcene su sa + i dve sa
·
, ali se iz konteksta uvek moˇze zakljuˇciti o
kojim operacijama je reˇc.
1
2
GLAVA 1. VEKTORSKI PROSTORI
zovemo linearna kombinacija vektora
x
1
, x
2
, . . . , x
n
∈
V
. Svaki vektor se
moˇze jednoznaˇcno prikazati kao linearna kombinacija elemenata baze.
Geometrijska interpretacija vektorskog prostora
Orijentisana duˇz u prostoru, tj. duˇz kod koje razlikujemo poˇcetnu i
krajnju taˇcku, naziva se vektor. Vektor je odred¯en pravcem, smerom i in-
tezitetom. Vektor ˇciji je poˇcetak taˇcka
A
, a kraj taˇcka
B
oznaˇcavamo sa
−−→
AB
. Intezitet vektora
~a
oznaˇcavamo sa
|
~a
|
.
Vektor se precizno uvodi kao klasa usmerenih duˇzi u prostoru. Dve us-
merene duˇzi
−−→
AB
i
−−→
CD
su u relaciji
∼
,
−−→
AB
∼
−−→
CD
ako se translacijom mogu
dovesti do poklapanja. Relacija
∼
je relacija ekvivalencije i svaka usmere-
na duˇz reprezentuje klasu kojoj pripada i te klase su vektori. Operacije,
navedene u nastavku, definisane su preko predstavnika klasa.
Kaˇzemo da su dva vektora jednaki ako imaju isti pravac, smer i intezitet.
Vektor, ˇciji je intezitet jednak nuli, zove se nula-vektor i oznaˇcava se sa
~
0.
Vektor, ˇciji je intezitet jednak jedinici, zove se jediniˇcni vektor (ort). Za
vektore koji imaju isti pravac kaˇzemo da su kolinearni. Vektore paralelne
jednoj ravni nazivamo komplanarnim. Kaˇzemo da su vektori
~a
i
~b
suprotni
ako imaju isti pravac, isti intezitet i suprotni smer. Ako se kraj vektora
~a
poklapa sa poˇcetkom vektora
~b
, kaˇzemo da su vektori
~a
i
~b
nadovezani.
Zbir
~a
+
~b
nadovezanih vektora
~a
i
~b
je vektor ˇciji se poˇcetak poklapa
sa poˇcetkom prvog a kraj sa krajem drugog nadovezanog vektora. Razlika
vektora
~a
−
~b
je isto ˇsto i zbir vektora
~a
i vektora suprotnog vektoru
~b
.
Neka su
~a,~b, ~c
proizvoljni vektori,
~
0 nula-vektor i
−
~a
suprotan vektor
vektora
~a
. Tada imamo:
(1)
~a
+
~b
=
~b
+
~a
(2)
~a
+ (
~b
+
~c
) = (
~a
+
~b
) +
~c
(3)
~a
+
~
0 =
~a
(4)
~a
+ (
−
~a
) =
~
0
.
Proizvod skalara
α
i vektora
~a
, u oznaci
α~a
, je vektor koji ima isti pravac
kao vektor
~a
, smer mu je smer vektora
~a
za
α >
0, odnosno vektora
−
~a
za
α <
0 i intezitet jednak proizvodu apsolutne vrednosti skalara
α
i inteziteta
vektora
~a
.
Neka su
~a
i
~b
proizvoljni vektori i
α
i
β
proizvoljni skalari. Tada imamo:
4
GLAVA 1. VEKTORSKI PROSTORI
Ako su
~a
i
~b
vektori sa zajedniˇckom poˇcetnom taˇckom, onda oni odred¯u-
ju jedan paralelogram i jedan trougao. Povrˇsina paralelograma jednaka je
|
~a
×
~b
|
, a trougla
1
2
|
~a
×
~b
|
.
Neka su
~a,~b
i
~c
proizvoljni vektori i
α
skalar. Tada imamo:
(1)
~a
×
~a
=
~
0
(2)
~a
×
~b
=
−
(
~b
×
~a
)
(3)
~a
×
(
~b
+
~c
) = (
~a
×
~b
) + (
~a
×
~c
)
(4)
α
(
~a
×
~b
) = (
α~a
)
×
~b
=
~a
×
(
α~b
)
(5)
~a
×
~b
=
~
0
⇐⇒
(
~a
= 0
∨
~b
=
~
0
∨
~a
k
~b
)
Meˇsoviti proizvod vektora
~a,~b
i
~c
je skalar (
~a
×
~b
)
·
~c
.
Zapremina paralelepipeda odred¯enog vektorima
~a,~b
i
~c
jednaka je
|
(
~a
×
~b
)
·
~c
|
.
Za proizvoljne vektore
~a,~b
i
~c
vaˇzi:
1. (
~a
×
~b
)
·
~c
= 0
⇐⇒
vektori
~a,~b
i
~c
su komplanarni.
2. (
~a
×
~b
)
·
~c
= (
~c
×
~a
)
·
~b
= (
~b
×
~c
)
·
~a
=
−
(
~b
×
~a
)
·
~c
=
−
(
~a
×
~c
)
·
~b
=
−
(
~c
×
~b
)
·
~a
Vektori u koordinatnom sistemu
Ured¯ena trojka med¯usobno normalnih jediniˇcnih vektora
~i,~j
i
~k
zove se
baza pravouglog koordinatnog sistema u prostoru. Svaki vektor
~a
moˇze se
na jedinstven naˇcin prikazati u obliku
~a
=
x~i
+
y~j
+
z~k.
Brojevi
x, y, z
se zovu koordinate vektora
~a
. Kra´ce piˇsemo
~a
= (
x, y, z
).
Neka su
~a
= (
x
1
, y
1
, z
1
)
, ~b
= (
x
2
, y
2
, z
2
) i
~c
= (
x
3
, y
3
, z
3
) proizvoljni
vektori i
α
skalar. Tada imamo:
1.
|
~a
|
=
q
x
2
1
+
y
2
1
+
z
2
1
2.
α~a
= (
αx
1
, αy
1
, αz
1
)
3.
~a
=
~b
⇐⇒
(
x
1
=
x
2
∧
y
1
=
y
2
∧
z
1
=
z
2
)
4.
~a
+
~b
= (
x
1
+
x
2
, y
1
+
y
2
, z
1
+
z
2
)
5.
~a
−
~b
= (
x
1
−
x
2
, y
1
−
y
2
, z
1
−
z
2
)
5
6.
~a
·
~b
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
+
z
1
z
2
7
. ~a
×
~b
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
~i
~j
~k
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
8
.
(
~a
×
~b
)
·
~c
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
x
3
y
3
z
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
9
.
~a
⊥
~b
=
⇒
x
1
x
2
+
y
1
y
2
+
z
1
z
2
= 0
10
. ~a
k
~b
=
⇒
x
1
x
2
=
y
1
y
2
=
z
1
z
2
11
.
Ako su vektori
~a, ~b
i
~c
komplanarni, onda je
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
x
3
y
3
z
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0
.
Ako su
A
(
x
1
, y
1
, z
1
) i
B
(
x
2
, y
2
, z
2
) taˇcke u pravouglom Dekartovom ko-
ordinatnom sistemu, onda je
−−→
AB
= (
x
2
−
x
1
, y
2
−
y
1
, z
2
−
z
1
)
.
1.1. ZADACI
7
Zadatak 11
Ako su vektori
~p , ~q , ~r
linearno nezavisni, pokazati da su
vektori
~a
= 5
~p
+
~q
+ 9
~r , ~b
=
~p
+
~q
+
~r
i
~c
=
~p
−
~q
+ 3
~r
linearno zavisni, a
zatim razloˇziti vektor
~a
po pravcima vektora
~b
i
~c
.
Zadatak 12
Izraˇcunati skalarni proizvod vektora
~a
= 2
~
m
+
~n
i
~b
=
~
m
−
~n
, ako je
|
~
m
|
= 4
,
|
~n
|
= 1
i
6
<
(
~
m, ~n
) = 120
◦
.
Zadatak 13
Pokazati da je vektor
~a
=
~
m
+ 2
~n
normalan na vektor
~b
= 3
~
m
−
~n
, ako je
|
~
m
|
= 1
,
|
~n
|
= 2
i
6
<
(
~
m, ~n
) = 60
◦
.
Zadatak 14
Izraˇcunati duˇzine dijagonala paralelograma obrazovanog po-
mo´cu vektora
~a
= 4
~
m
−
~n
i
~b
=
~
m
+ 2
~n
, gde su
~
m
i
~n
jediniˇcni vektori
koji zahvataju ugao od
60
◦
.
Zadatak 15
Izraˇcunati ugao izmedju vektora
~a
=
~
m
+ 2
~n
i
~b
=
−
~
m
+
~n
,
ako je
|
~
m
|
=
|
~n
|
= 2
i
6
<
(
~
m, ~n
) = 120
◦
.
Zadatak 16
Izraˇcunati
|
(
~
m
+
~n
)
×
(
~
m
+ 5
~n
)
|
ako je
|
~
m
|
= 4
,
|
~n
|
= 2
i
6
<
(
~
m, ~n
) = 30
◦
.
Zadatak 17
Izraˇcunati povrˇsinu trougla obrazovanog pomo´cu vektora
~a
=
2
~r
+
~s
i
~b
=
~r
+ 3
~s
, ako je
|
~r
|
= 1
,
|
~s
|
= 4
i
6
<
(
~r, ~s
) = 90
◦
.
Zadatak 18
Izraˇcunati
(
~a
×
~b
)
·
~c
, ako je
~c
=
~a
×
~b,
|
~a
|
= 4
,
|
~b
|
= 2
i
6
<
(
~a,~b
) = 30
◦
.
Zadatak 19
Dati su vektori
~a
= 4
~i
+ 2
~j
−
4
~k
i
~b
= 6
~j
−
8
~k
. Izraˇcunati:
|
~a
|
,
|
~b
|
i
|
~a
−
~b
|
.
Zadatak 20
Odrediti rastojanje izmedju taˇcaka
A
(2
,
1
,
5)
i
B
(6
,
5
,
3)
.
Zadatak 21
Na osi
O
z
odrediti taˇcku ˇcije rastojanje od taˇcke
M
(2
,
2
,
4)
je
3
.
Zadatak 22
Odrediti taˇcku
M
koja je jednako udaljena od taˇcaka
A
(1
,
2
,
3)
, B
(3
,
0
,
1)
, C
(4
,
2
,
0)
i
D
(
−
1
,
0
,
1)
.
Zadatak 23
Odrediti temena
B
i
C
i vektor
−→
CA
trougla
ABC
, ako
je
A
(2
,
−
5
,
3)
,
−−→
AB
= 4
~i
+
~j
+ 2
~k
i
−−→
BC
= 3
~i
−
2
~j
+ 5
~k
.
Zadatak 24
Odrediti teme
D
i duˇzine dijagonala
AC
i
BD
parale-
lograma
ABCD
, ako je
A
(
−
3
,
−
2
,
0)
, B
(3
,
−
3
,
1)
, C
(5
,
0
,
2)
.
