Vera ˇ
Culjak
VJEROJATNOST I STATISTIKA
Gradevinski fakultet
Sveuˇciliˇste u Zagrebu
Predgovor
Poˇstovani ˇcitatelji,
nadam se da ´cete na´ci korisne informacije u ovom nastavnom tekstu.
Ruski matematiˇcar P.L. ˇCebiˇsev (1821-1894) koji je unio nove ideje u
teoriju vjerojatnosti izrekao je tezu da je povijest matematike mogu´ce podi-
jeliti na tri perioda:
∗
prvi: kada su zadatke zadavali grˇcki bogovi npr. delski problemi:
nerjeˇsivi antiˇcki geometrijski zadatak da se pomo´cu ˇsestara i ravnala kon-
struira kocka s obujmom dvostruko ve´cim od zadanog; problem kvadra-
ture kruga, problem trisekcije kuta;
∗
drugi: kada su zadatke zadavali polubogovi npr. B. Pacal (1623-1662) i
P. Fermat (1601-1665);
∗
tre´ci: kada zadatke zadaje praksa.
Veliki interes za teoriju vjerojatnosti i matematiˇcku statistiku poˇceo u
drugoj polovici 20
.
stolje´ca potaknut eksperimentalnim istraˇzivanjima u
industriji, ekonomiji, psihologiji, biologiji, fizici.
Nova oblast teorije vjerojatnosti je teorija stohastiˇckih procesa koju je za-
snovao A. Kolmogorov (1903 -1987). Stohastiˇcki procesi su terorijski mod-
eli za npr. dinamiˇcke sisteme u sluˇcajevima kad se stanja sistema odreduju
s vjerojatnostima. Zahvaljuju´ci razvoju teorije vjerojatnosti razvile su se i
znanstvene discipline: teorija masovnog opsluˇzivanja, teorija informacija,
teorija pouzdanosti tehniˇckih sistema, teorija zaliha.
Matematiˇcka statistika se razvija na temeljima teorije vjerojatnosti u
smjeru teorije procjena, teorije provjera statistiˇckih hipoteza i teorije plani-
ranja eksperimenata.
Moˇzda u ovim uvodnim reˇcenicama ˇcitatelj nade motiv za pregled ovog
matematiˇckog sadrˇzaja.
Ovaj nastavni materijal (skripta) je nastao kao radni materijal za preda-
vanja iz kolegija
Vjerojatnost i statistika
koji predajem od 2005. godine na
preddiplomskom studiju Gradvinskog fakulteta Sveuˇciliˇsta u Zagrebu.
´ce se kretati postotak glasova za nekog kandidata na izborima ili testi-
rali hipotezu da dva tipa betona imaju jednake tlaˇcne ˇcvrsto´ce uz razinu
znaˇcajnosti 1%
.
Ovo je radni materijal i bit ´cu zahvalna ako sve uoˇcene greˇske i prijed-
loge kolegice i kolege studenti i ˇcitatelji poˇsalju na e-mail adresu [email protected].
Dodatni nastavni materijali na web stranici predmeta koji prate ovu
web skriptu odnose se na primjenu programskog paketa Mathematika
u statistici.
Baza primjera kolokvija s teorijskim pitanjima oboga´cuje
se svake godine. Kolgice dr. sc. Tajana Slijepˇcevi´c-Manger, Martina
Benkovi´c i kolege Boˇsko Kojundˇzi´c i Nikola Sandri´c pripremali su zadatke
za kolokvije i auditorne vjeˇzbe.
Zahvaljujem se kolegici Martini Benkovi´c na pomo´ci pri grafiˇckoj obradi
teksta i izradi slika.
Zahvaljujem se kolegi Vladimiru Beni´cu koji je napravio web format skripte.
Zagreb, 1.7.2011.
Vera ˇCuljak
Radni materijal
4
Sadrˇzaj
Sadrˇzaj
5
I Vjerojatnost
9
1 ELEMENTI KOMBINATORIKE
11
1.1 UVOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2 PRINCIPI PREBROJAVANJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3 PERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJA . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.3.1
PERMUTACIJE S PONAVLJANJEM . . . . . . . . . . . . . .
19
1.4 VARIJACIJE BEZ PONAVLJANJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.4.1
VARIJACIJE S PONAVLJANJEM . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.5 KOMBINACIJE BEZ PONAVLJANJA . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.5.1
KOMBINACIJE S PONAVLJANJEM
tko ˇzeli znati viˇse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.6 Ponovimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2 KLASI ˇ
CNA DEFINICIJA VJEROJATNOSTI
37
2.1 PROSTOR ELEMNTARNIH DOGADAJA . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2 KLASI ˇCNA DEFINICIJA
VJEROJATNOSTI (A PRIORI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.3 KLASI ˇCNA DEFINICIJA
VJEROJATNOSTI A POSTERIORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.4 GEOMETRIJSKA VJEROJATNOST . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.5 Ponovimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3 AKSIOMATSKA DEFINICIJA
VJEROJATNOSTI
51
3.1 Ponovimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
5
10 ZVB i CGT
tko ˇzeli znati viˇse
155
10.1 ˇCEBIˇSEVLJEVA NEJEDNAKOST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.2 ZAKON VELIKIH BROJEVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.3 CENTRALNI GRANI ˇCNI TEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.4 Ponovimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
III Matematiˇcka statistika
175
11 MATEMATI ˇ
CKA STATISTIKA
177
11.1 DESKRIPTIVNA STATISTIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.2 Ponovimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
12 TEORIJA PROCJENA
193
12.1 TO ˇCKASTE PROCJENE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.2 REGRESIJSKA ANALIZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
12.3 ML-PROCJENITELJI
tko ˇzeli znati viˇse
. . . . . . . . . . . . . . . . . 205
12.4 Ponovimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
13 INTERVAL POVJERENJA ZA O ˇ
CEKIVANJE
211
13.1
n
→ ∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
13.2 NORMALNA
σ
2
POZNATO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
13.3 NORMALNA
σ
2
NEPOZNATO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
13.4 VJEROJATNOST BINOMNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
13.5 Ponovimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
14 INTERVAL POVJERENJA ZA VARIJANCU
229
14.1
µ
POZNATO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
14.2
µ
NEPOZNATO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
14.3 Ponovimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
15 TESTIRANJE HIPOTEZA
239
15.1 ZA VJEROJATNOST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
15.2 ZA O ˇCEKIVANJE
n
>
30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
15.3 ZA O ˇCEKIVANJE normalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
15.4 ZA VARIJANCU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
15.5 Ponovimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
7
Radni materijal
