ZADACI ZA VEˇ
ZBANJE II
1.
Izraˇcunati slede´ce graniˇcne vrednosti:
1) lim
x
→
2
2
x
2
−
12
x
+ 16
3
x
2
−
3
x
−
6
2) lim
x
→−
3
x
2
+ 4
x
+ 3
2
x
2
−
2
x
−
12
3) lim
x
→
5
x
2
−
x
−
20
x
2
+ 2
x
−
35
4) lim
x
→
11
2
x
−
22
x
2
−
4
x
−
77
5) lim
x
→−
10
3
x
2
+ 27
x
−
30
x
+ 10
Koriste´ci jednakosti lim
x
→
0
sin
x
x
= 1 i lim
x
→
0
e
x
−
1
x
= 1 izraˇcunati slede´ce graniˇcne vrednosti:
6) lim
x
→
0
sin
x
3
x
7) lim
x
→
0
e
−
11
x
−
1
x
8) lim
x
→
0
sin 7
x
sin 3
x
9) lim
x
→
0
e
5
x
−
1
e
4
x
−
1
10) lim
x
→
0
sin 5
x
e
3
x
−
1
2.
Na´ci izvode slede´cih funkcija:
1) (
x
2
+ 5)
e
x
2) (2
x
3
+ 3)(
x
7
−
1)
3)
x
2
ln
x
4)
x
2
−
1
x
2
+1
5)
x
2
6
x
3
+7
6) sin(
x
3
−
2)
7) ln(
x
2
+ 1)
8) (7
x
2
+ 5
x
+ 3)
2008
9)
√
5
x
2
+ 4
10)
e
4
x
3
+5
x
3.
Na´ci ekstremne vrednosti, intervale monotonosti i prevojne taˇcke funkcija:
1)
f
(
x
) = 3
x
3
+ 9
x
2
+ 2
2)
f
(
x
) =
x
3
−
3
x
2
−
9
x
+ 1
4.
Izraˇcunati slede´ce neodred¯ene integrale:
1)
R
xe
−
4
x
2
−
3
dx
2)
R
x
6
sin(3
x
7
+ 11)
dx
3)
R
x
7
(
x
8
−
1
3
)
99
dx
4)
R
x
3
3
x
4
+5
dx
5)
R
x
2
5
√
2
x
3
+ 4
dx
REˇ
SENJA:
1.
1) lim
x
→
2
2
x
2
−
12
x
+ 16
3
x
2
−
3
x
−
6
= lim
x
→
2
2(
x
−
2)(
x
−
4)
3(
x
+ 1)(
x
−
2)
= lim
x
→
2
2(
x
−
4)
3(
x
+ 1)
=
−
4
9
2) lim
x
→−
3
x
2
+ 4
x
+ 3
2
x
2
+ 2
x
−
12
= lim
x
→−
3
(
x
+ 3)(
x
+ 1)
2(
x
+ 3)(
x
−
2)
= lim
x
→−
3
x
+ 1
2(
x
−
2)
=
1
5
3) lim
x
→
5
x
2
−
x
−
20
x
2
+ 2
x
−
35
= lim
x
→
5
(
x
+ 4)(
x
−
5)
(
x
+ 7)(
x
−
5)
= lim
x
→
5
x
+ 4
x
+ 7
=
3
4
4) lim
x
→
11
2
x
−
22
x
2
−
4
x
−
77
= lim
x
→
11
2(
x
−
11)
(
x
+ 7)(
x
−
11)
= lim
x
→
11
2
x
+ 7
=
1
9
5) lim
x
→−
10
3
x
2
+ 27
x
−
30
x
+ 10
= lim
x
→−
10
3(
x
+ 10)(
x
−
1)
x
+ 10
= lim
x
→−
10
3(
x
−
1) =
−
33
6) lim
x
→
0
sin
x
3
x
= lim
x
→
0
sin
x
3
x
1
3
1
3
= lim
x
→
0
sin
x
3
x
3
·
1
3
= 1
·
1
3
=
1
3
7) lim
x
→
0
e
−
11
x
−
1
x
= lim
x
→
0
e
−
11
x
−
1
x
·
−
11
−
11
= lim
x
→
0
e
−
11
x
−
1
−
11
x
·
(
−
11) = 1
·
(
−
11) =
−
11
8) lim
x
→
0
sin 7
x
sin 3
x
= lim
x
→
0
sin 7
x
sin 3
x
1
x
1
x
= lim
x
→
0
sin 7
x
x
sin 3
x
x
= lim
x
→
0
sin 7
x
x
7
7
sin 3
x
x
3
3
= lim
x
→
0
sin 7
x
7
x
·
7
sin 3
x
3
x
·
3
=
1
·
7
1
·
3
=
7
3
9) lim
x
→
0
e
5
x
−
1
e
4
x
−
1
= lim
x
→
0
e
5
x
−
1
e
4
x
−
1
1
x
1
x
= lim
x
→
0
e
5
x
−
1
x
e
4
x
−
1
x
= lim
x
→
0
e
5
x
−
1
x
5
5
e
4
x
−
1
x
4
4
= lim
x
→
0
e
5
x
−
1
5
x
·
5
e
4
x
−
1
4
x
·
4
=
1
·
5
1
·
4
=
5
4
10) lim
x
→
0
sin 5
x
e
3
x
−
1
= lim
x
→
0
sin 5
x
e
3
x
−
1
1
x
1
x
= lim
x
→
0
sin 5
x
x
e
3
x
−
1
x
= lim
x
→
0
sin 5
x
x
5
5
e
3
x
−
1
x
3
3
= lim
x
→
0
sin 5
x
5
x
·
5
e
3
x
−
1
3
x
·
3
=
1
·
5
1
·
3
=
5
3
1
2.
U primerima 1),2) i 3) koristi se pravilo izvoda proizvoda, u 4) i 5) pravilo izvoda koliˇcnika, a u
primerima 6)–10) koristi se pravilo za odred¯ivanje izvoda sloˇzene funkcije
1)
³
(
x
2
+ 5)
e
x
´
0
= (
x
2
+ 5)
0
e
x
+ (
x
2
+ 5)(
e
x
)
0
= 2
xe
x
+ (
x
2
+ 5)
e
x
= (
x
2
+ 2
x
+ 5)
e
x
2)
³
(2
x
3
+ 3)(
x
7
−
1)
´
0
= (2
x
3
+ 3)
0
(
x
7
−
1) + (2
x
3
+ 3)(
x
7
−
1)
0
= 6
x
2
(
x
7
−
1) + (2
x
3
+ 3)7
x
6
= 20
x
9
−
6
x
2
+ 21
x
6
3)
³
x
2
ln
x
´
0
= (
x
2
)
0
ln
x
+
x
2
(ln
x
)
0
= 2
x
ln
x
+
x
2 1
x
= 2
x
ln
x
+
x
=
x
·
(2 ln
x
+ 1)
4)
³
x
2
−
1
x
2
+1
´
0
=
(
x
2
−
1)
0
(
x
2
+1)
−
(
x
2
−
1)(
x
2
+1)
0
(
x
2
+1)
2
=
2
x
(
x
2
+1)
−
(
x
2
−
1)2
x
(
x
2
+1)
2
=
4
x
(
x
2
+1)
2
5)
³
x
2
6
x
3
+7
´
0
=
(
x
2
)
0
(6
x
3
+7)
−
(
x
2
)(6
x
3
+7)
0
(6
x
3
+7)
2
=
2
x
(6
x
3
+7)
−
(
x
2
)18
x
2
(6
x
3
+7)
2
=
14
x
−
6
x
4
(6
x
3
+7)
2
6)
³
sin(
x
3
−
2)
´
0
= cos(
x
3
−
2)
·
(
x
3
−
2)
0
= cos(
x
3
−
2)
·
3
x
2
= 3
x
2
cos(
x
3
−
2)
7)
³
ln(
x
2
+ 1)
´
0
=
1
x
2
+1
(
x
2
+ 1)
0
=
1
x
2
+1
2
x
=
2
x
x
2
+1
8)
³
(7
x
2
+ 5
x
+ 3)
2008
´
0
= 2008(7
x
2
+ 5
x
+ 3)
2007
(7
x
2
+ 5
x
+ 3)
0
= 2008(7
x
2
+ 5
x
+ 3)
2007
(14
x
+ 5)
9)
³
√
5
x
2
+ 4
´
0
=
1
2
√
5
x
2
+4
(5
x
2
+ 4)
0
=
1
2
√
5
x
2
+4
10
x
=
5
x
√
5
x
2
+4
10)
³
e
4
x
3
+5
x
´
0
=
e
4
x
3
+5
x
(4
x
3
+ 5
x
)
0
=
e
4
x
3
+5
x
(12
x
2
+ 5) = (12
x
2
+ 5)
e
4
x
3
+5
x
3.
1) Prvi izvod funkcije:
f
0
(
x
) = (3
x
3
+ 9
x
2
+ 2)
0
= 9
x
2
+ 18
x
Ekstremne vrednosti:
f
0
(
x
) = 0
⇔
9
x
2
+ 18
x
= 0
⇔
9
x
(
x
+ 2) = 0
⇔
x
1
=
−
2
∨
x
2
= 0
Sa slike 1 vidimo da funkcija ima maksimum u
A
max
(
−
2
, f
(
−
2))
⇔
A
max
(
−
2
,
14), a da je minimum u
B
min
(0
, f
(0))
⇔
B
min
(0
,
2)
Intervali monotonosti:
f
% ⇔
f
0
(
x
)
>
0
⇔
x
∈
(
−∞
,
−
2)
∪
(0
,
∞
) i
f
& ⇔
f
0
(
x
)
<
0
⇔
x
∈
(
−
2
,
0)
Prevojne taˇcke:
f
00
(
x
) = 0
⇔
(
f
0
(
x
))
0
= 0
⇔
(9
x
2
+ 18
x
)
0
= 0
⇔
18
x
+ 18 = 0
⇔
x
=
−
1, pa je
prevojna taˇcka
C
(
−
1
, f
(
−
1))
⇔
C
(
−
1
,
8)
−2
0
f ’(x)
+ +
− −
f (x)
f (x)
f (x)
+ +
Slika 1:
f
0
(
x
) = 9
x
2
+ 18
x
−1
3
f ’(x)
+ +
− −
f (x)
f (x)
f (x)
+ +
Slika 2:
f
0
(
x
) = 3
x
2
−
6
x
−
9
2) Prvi izvod funkcije:
f
0
(
x
) = (
x
3
−
3
x
2
−
9
x
+ 1)
0
= 3
x
2
−
6
x
−
9
Ekstremne vrednosti:
f
0
(
x
) = 0
⇔
3
x
2
−
6
x
−
9 = 0
⇔
x
2
−
2
x
−
3 = 0
⇔
x
1
=
−
1
∨
x
2
= 3
Sa slike 2 vidimo da funkcija ima maksimum u
A
max
(
−
1
, f
(
−
1))
⇔
A
max
(
−
1
,
6), a da je minimum u
B
min
(3
, f
(3))
⇔
B
min
(3
,
−
26)
2
