Odba
č
eni desni deo tela 2, na posmatrani levi
1, na svakoj elementarnoj površini preseka
∆
A, dejstvuje elementarnom unutrašnjom
silom
Totalni napon u ta
č
ki preseka. Normalni i tangencijalni napon.
Zamislimo da je optere
ć
eno elasti
č
no telo ne-
kom proizvoljnom ravni prese
č
eno na dva dela.
Srednji napon na toj elementarnoj
površini je koli
č
nik i
∆
A:
Kada elementarna površina teži nuli srednji na-
pon teži totalnom naponu
u ta
č
ki M preseka:
.
u
F
r
∆
u
F
r
∆
.
A
F
p
u
sr
∆
∆
=
r
r
p
r
Komponenta totalnog napona u pravcu normale na
presek
predstavlja normalni napon
, dok
komponenta koja leži u ravni preseka predstavlja
tangencijalni napon
.
σ
r
n
r
τ
r
.
lim
lim
0
0
dA
F
d
A
F
p
p
u
u
A
sr
A
r
r
r
r
=
∆
∆
=
=
→
∆
→
∆
Kroz svaku ta
č
ku može se povu
ć
i beskona
č
no mnogo ravni. Za svaku ravan
totalni napon, a time i normalni i tangencijalni, ima
ć
e druga
č
ije vrednosti. Skup
napona za sve preseke koji prolaze kroz ta
č
ku karakteriše stanje napona u ta
č
ki.
Naponi u kosom preseku aksijalno optere
ć
enog štapa. Morov krug napona
za ovaj slu
č
aj.
.
A
F
=
σ
,
cos
α
=
α
A
A
.
cos
cos
0
α
σ
=
α
=
=
⇒
=
⋅
+
−
=
α
α
∑
A
F
A
F
p
A
p
F
Z
i
Presecanjem zategnutog štapa ravni koja je upravna na
osu štapa, površina popre
č
nog preseka je A a napon je
Presecanjem istog štapa kosom ravni, odre
đ
e-
noj uglom
α
, površina popre
č
nog preseka je
a totalni napon (dobijen iz uslova ravnote):
(
)
,
2
cos
2
2
2
cos
1
2
cos
cos
2
α
σ
+
σ
=
α
+
σ
=
α
σ
=
α
=
σ
α
p
Projekcije totalnog napona daju normalni i tangencijalni
napon u kosom preseku u zavisnosti od ugla
α
:
Dobijeni izrazi lako daju:
0
,
=
τ
σ
=
σ
α
α
.
0
=
α
0
,
0
=
τ
=
σ
α
α
.
2
π
=
α
max
τ
=
τ
α
.
4
2
2
1
2
sin
π
=
α
⇒
π
=
α
⇒
=
α
.
2
sin
2
sin
cos
sin
α
σ
=
α
α
σ
=
α
=
τ
α
p
za
za
za
za
Pojam o glavnim naponima
Površine u kojima tangencijalnih napona nema su glavne površine a normalni
naponi koji dejstvuju u tim površinama su glavni naponi.
U teoriji elasti
č
nosti se dokazuje da kroz svaku ta
č
ku napregnutog tela mogu da se
postave tri me
đ
usobno upravne glavne površine. U jednoj od njih dejstvova
ć
e
maksimalni glavni napon
σ
1
, u drugoj
σ
2
, a u tre
ć
oj minimalni glavni napon
σ
3
.
U zavisnosti od toga da li se u ta
č
ki napregnutog tela pojavljuje
jedan, dva ili sva tri glavna napona razlikujemo tri vrste
naponskog stanja tela:
-prostorno stanje napona (Sl.1), gde je
-ravno stanje napona (Sl.2), gde je
-linearno stanje napona (Sl.3), gde je
.
3
,
2
,
1
,
0
=
≠
σ
i
i
.
0
,
0
,
0
3
2
1
=
σ
≠
σ
≠
σ
.
0
,
0
,
0
3
2
1
=
σ
=
σ
≠
σ
Prikazani pravougaoni elementarni deo je debljine b i
sile koje na njega dejstvuju dobijaju se množenjem
napona i odgovaraju
ć
ih površina.
Ravno stanje napona.
Teorema o uzajamnosti tangencijalnih napona.
Naponi u proizvoljnoj ta
č
ki za ravan odre
đ
enu
proizvoljnim uglom
αααα
(
σσσσ
αααα
,
ττττ
αααα
).
⇒
=
∑
0
Di
M
.
τ
=
τ
=
τ
⇒
τ
−
=
τ
⇒
y
x
y
x
0
cos
sin
sin
cos
sin
cos
0
2
2
1
=
α
⋅
α
⋅
⋅
τ
−
α
⋅
α
⋅
⋅
τ
−
−
α
⋅
⋅
σ
+
α
⋅
⋅
σ
+
⋅
σ
−
⇒
=
α
∑
dA
dA
dA
dA
dA
X
y
x
i
,
2
sin
sin
cos
2
2
α
⋅
τ
−
α
⋅
σ
+
α
⋅
σ
=
σ
⇒
α
y
x
U ravnom stanju napona se nalazi tanka ravna plo
č
a opte-
re
ć
ena po konturi optere
ć
enjem koje koje leži u istoj ravni.
0
=
⋅
⋅
⋅
τ
+
⋅
⋅
⋅
τ
−
dy
b
dx
dx
b
dy
x
y
Uslovi ravnože za prikazan elementarni deo daju:
Momentni uslov ravnože za prikazan elementarni deo daje:
Tangencijalni naponi u dvema, me
đ
usobno upravnim ravnima,
imaju iste vrednosti ali suprotne smerove.
,
2
arctan
2
1
σ
−
σ
τ
−
=
α
⇒
y
x
y
x
σ
−
σ
τ
−
=
α
2
2
tan
2
/
1
,
2
2
2
2
tan
2
tan
1
2
1
2
1
2
π
+
α
=
α
⇒
π
+
α
=
α
⇒
α
=
α
Za oadre
đ
ivanje sinusa i kosinusa od 2
α
1/2
iskoristimo i zamišljeni pravougli
trougao sa slike:
(
)
(
)
(
)
(
)
.
4
2
2
sin
,
4
2
cos
,
4
2
2
sin
,
4
2
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
τ
+
σ
−
σ
τ
=
α
τ
+
σ
−
σ
σ
−
σ
−
=
α
τ
+
σ
−
σ
τ
−
=
α
τ
+
σ
−
σ
σ
−
σ
=
α
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
(
)
(
)
,
4
1
2
1
2
cos
1
2
1
sin
2
2
1
1
2
τ
+
σ
−
σ
σ
−
σ
−
=
α
−
=
α
y
x
y
x
Dobijeni izrazi definišu ravni u kojima se javljaju
glavni naponi.
(
)
(
)
,
4
1
2
1
2
cos
1
2
1
sin
2
2
2
2
2
τ
+
σ
−
σ
σ
−
σ
+
=
α
−
=
α
y
x
y
x
Za odre
đ
ivanje kvadrata sinusa i kosinusa preko kosinusa dvostrukog ugla isko-
ristimo matemati
č
ke formule:
