AKUSTIKA - TEMA 2: Zvu
č
ni talas u vazduhu
20
2. ZVU
Č
NI TALAS U VAZDUHU
2.1 Uvod
Zvu
č
ni talas kao fizi
č
ka pojava postoji u koordinatama prostora i vremena.
Osnova svakog talasnog kretanja kakav je i zvuk jeste
č
injenica da prostorne i
vremenske promene nisu nezavisne, ve
ć
su na neki na
č
in me
đ
usobno povezane. Kad
se posmatra zvuk u vazduhu te su veze definisane preko zakona termodinamike,
kinematike i raznih dinami
č
kih uslovljenosti. Zadatak kojim se bavi akustika je nalaženje
modela kojim bi se u razli
č
itim zadatim okolnostima mogao odrediti zvu
č
ni pritisak kao
funkcija prostornih koordinata i funkcija vremena. U praksi se odre
đ
ivanje te funkcije
može vršiti i merenjem.
Najopštiji
matemati
č
ki izraz koji opisuje povezanost prostornih i vremenskih
promena zvu
č
nog polja naziva se talasna jedna
č
ina. To je po svojoj prirodi
diferencijalna jedna
č
ina u kojoj figurišu prostorne i vremenske promene fizi
č
ke veli
č
ine
kojom se opisuje zvu
č
no polje. U vazduhu se pojava zvuka definiše zvu
č
nim pritiskom,
pa je u osnovnom obliku akusti
č
ke talasne jedna
č
ine promenljiva zvu
č
ni pritisak.
Teoretski gledano, uvid u stanje zvu
č
nog polja u nekim zadatim konkretnim
okolnostima može se dobiti rešavanjem talasne jedna
č
ine koja bi bila postavljena za
posmatrani slu
č
aj. Me
đ
utim, za rešavanje talasne jedna
č
ine, kao i svake druge
diferencijalne jedna
č
ine, potrebno je utvrditi grani
č
ne uslove. Nažalost, u mnogim
realnim okolnostima odre
đ
ivanje tih grani
č
ni uslova nije jednostavno, ili
č
ak uopšte nije
mogu
ć
e. Zbog toga primena talasne jedna
č
ine u rešavanju prakti
č
nih problema u
zvu
č
nom polju uglavnom nije mogu
ć
a. Postoje numeri
č
ke metode, zasnovane na
diskretizaciji prostora, koje u nekim jednostavnijim slu
č
ajevima omogu
ć
avaju numeri
č
ko
rešavanje talasne jedna
č
ine i predikciju zvu
č
nog polja (takozvana „metoda kona
č
nih
elemenata“ i „metoda grani
č
nih elemenata“). Nažalost, postoje ozbiljna prakti
č
na
ograni
č
enja zbog kojih se takav pristup ne može koristiti, na primer, pri rešavanju
zvu
č
nog polja u realnim prostorijama i sli
č
nim problemima iz inženjerske prakse.
I pored toga, analiti
č
ka rešenja talasne jedna
č
ine u nekim karakteristi
č
nim,
dovoljno jednostavnim okolnostima imaju fundamentalni zna
č
aj za razumevanje
ponašanja zvu
č
nog talasa. Iz nje se dobijaju osnovni zakoni po kojima se odvija širenje
zvuka u vazdušnom prostoru, i koji su u svojoj osnovi ipak relativno jednostavni.
2.2 Procesi u vazduhu pri pojavi zvuka
Najjednostavniji
slu
č
aj zvu
č
nog talasa je ravanski talas sa slike 1.10. On se
može generisati oscilatornim kretanjem krutog klipa. Talasni front u takvom slu
č
aju je
AKUSTIKA - TEMA 2: Zvu
č
ni talas u vazduhu
21
ravan, pa se sve prostorne promene svode na jednodimenzionalni problem sa
promenama duž samo jedne ose. Realna okolnost u kojoj se ravanski talas može
generisati klipom u opisu prikazanom u prethodnom poglavlju tada su bile zanemarene.
U realnosti talas sa slike 1.10 može se napraviti u cevi kao što je prikazano na slici 2.1.
Klip se postavlja na jednom njenom kraju. Ovakva cev u kojoj nastaje zvu
č
ni talas, koji
se zatim prostire duž nje, naziva se zvukovod.
x
p
dx
Slika 2.1 - Kruti klip u
beskona
č
noj cevi
Da bi se primer sa zvukovodom u
č
ino dovoljno jednostavnom i sveo na
elementarne fizi
č
ke pojave, u njega se uvode razna zanemarivanja. Prvo, zanemaruju
se sve pojave koje doprinose gubicima energije duž cevi. Smatra se da je cev
napravljena od dovoljno masivnog materijala da bi se mogao zanemariti eventualni
prolazak zvu
č
ne energije kroz zid u spoljašnju sredinu. Takva
″
curenje
″
energije unosilo
bi gubitke sa aspekta zvu
č
nog polja u cevi, što bi zvu
č
no polje
č
inilo složenijim. Iz istih
razloga se smatra da su zidovi idealno glatki i da na njima nema trenja molekula
vazduha, što bi tako
đ
e unelo gubitke energije. Dalje, pretpostavlja se da je fluid u cevi
homogen i izotropan (prostiranje deformacije u svim pravcima je jednako). Tako
đ
e se
smatra da je u pitanju idealan gas. Ovo su sve pretpostavke koje su u svim realnim
prakti
č
nim inženjerskim problemima sa zvukom u cevima zadovoljene (videti tekst u
okviru). Najzad, pretpostavlja se da je cev zvukovoda beskona
č
na, jer u realnosti
završetak zvukovoda predstavlja mesto na kome se javlja refleksija talasa. Tada je
zvu
č
no polje u njemu rezultat superponiranja direktnog i reflektovanog talasa, što bi
usložnjavalo stanje u polju i onemogu
ć
ilo objašnjenje njegovih elementranih osobina.
Kao i u primeru sa slike 1.10, i ovde se zbog jednostavnosti ne razmatra gde se nalazi
sila koja pokre
ć
e klip i odakle dolazi ta energija.
Brojne su okolnosti gde se zvukovod javlja u prakti
č
nim aplikacijama. Može se
smatrati njegovom paradigmom ona cev na starim brodovima kroz koju su se slale
govorne komande sa kapetanskog mosta u mašinsku prostoriju. Zvukovodi su tako
đ
e i
creva stetoskopa koja vezuju senzorski deo naslonjen na pacijenta i deo koji se stavlja
u uši. U tehnici merenja
č
esto se koriste zvukovodi kao dodaci mikrofonima da bi se
registrovalo zvu
č
no polje u nekoj zadatoj ta
č
ki kojoj mikrofon iz nekih razloga ne može
da pri
đ
e. U novije vreme za neke postupke procesiranja audio signala potrebno je dobiti
signale zvu
č
nog pritiska na bubnim opnama slušaoca. Za takve namene postoji
komercijalno dostupan mikrofonski sistem kod koga se dva mala zvukovoda
AKUSTIKA - TEMA 2: Zvu
č
ni talas u vazduhu
23
vremenu. U segmentu vazduha sa slike mogu
ć
e je uspostaviti relaciju izme
đ
u vrednosti
pritiska u njemu i veli
č
ine deformacije. Za fiksnu masu gasa
m
koja u mirovanju
zauzima zapreminu
V
0
važi relacija:
m
=
ρ
0
V
0
(2.1)
Slika 2.2 - Šematski prikaz promene
jednog elementa zapremine vazduha u
cevi sa slike 2.1 pri pojavi zvuka (u
jednodimenzionalnom ravnom talasu).
Kada se u vazduhu javi zvuk, pri malim promenama elementarne zapremine
d
V
u njoj
se menja gustina za d
ρ
, pa relacija (2.1) postaje:
m
= (
ρ
0
+
d
ρ
)(
V
0
+
d
V
)
(2.2)
Izjedna
č
avaju
ć
i desne strane izraza (2.1) i (2.2) dobija se da je relativna promena
gustine:
0
0
V
dV
d
−
=
ρ
ρ
(2.3)
ili u obliku:
0
0
V
dV
d
ρ
ρ
−
=
(2.4)
Odnos
dV
/
V
0
definiše lokalne promenu zapremine pri pojavi zvuka. Znak minus u izrazu (2.3) i
(2.4) pokazuje da je smer promena zapremine i gustine suprotan, odnosno da pove
ć
avanje
zapremine zna
č
i smanjenje gustine.
Ranije je pokazano da je u fluidima
p
=
f
(
ρ
), što je odre
đ
eno jedna
č
inom stanja.
Odatle proizilazi da promena gustine usled kompresije ili ekspanzije elementarne
zapremine proizvodi i promenu lokalnog pritiska u njoj. Relacije (2.3) i (2.4) definišu
elasti
č
na svojstva vazduha koja su osnov za pojavu zvuka. Veli
č
ina promene odnosa
dV
/
V
0
, u
slu
č
aju sa slike 2.2 to je rastezanje, direktno odre
đ
uje i promenu gustine, a time i pritiska.
Prema jedna
č
ini stanja zavisnost sa negativnim predznakom postoji i izme
đ
u promene
zapremine i promene pritiska.
ξ+
d
ξ
ξ
dx
V
o
AKUSTIKA - TEMA 2: Zvu
č
ni talas u vazduhu
24
Brzina
oscilovanja
Druga
veli
č
ina osim pritiska kojom se može opisivati stanje u zvu
č
nom polju u
vazduhu je brzina oscilovanja
č
estica. Primena Njutnovog zakona (
F
=
ma
) na procese
u fluidima omogu
ć
ava da se definiše odnos brzine oscilovanja
č
estica prema ostalim
veli
č
inama u zvu
č
nom polju. Sila koja deluje na
č
esticu i
č
ini da se ona kre
ć
e posledica
je postojanja gradijenta pritiska duž prostorne koordinate. Ubrzanje te
č
estice je izvod
brzine po vremenu, pa Njutnov zakon primenjen na deformacije u vazduhu ima oblik:
t
v
x
p
∂
∂
ρ
∂
∂
−
=
(2.5)
Ova relacija se naziva Ojlerova jedna
č
ina i poznata je iz fizike fluida. Uvedeni su
parcijalni izvodi jer su pritisak i brzina funkcije i prostorne koordinate i vremena.
Upore
đ
uju
ć
i formu ove jedna
č
ine sa osnovnim izrazom Njutnovog zakona vidi se da
postoji jasna analogija. Predznak minus zna
č
i da
ć
e pri pozitivnom gradijentu pritiska
ubrzanje biti negativno, što zna
č
i da lokalno zgušnjavanje vazduha i pove
ć
anje pritiska
povla
č
i za sobom ko
č
enje
č
estica u oscilovanju, to jest smanjenje brzine.
Osnovni
zna
č
aj Ojlerove jedna
č
ine za akustiku je da se iz nje može odrediti
brzina oscilovanja
č
estica koja prati postoje
ć
i zvu
č
ni pritisak:
∫
−
=
dt
x
p
v
∂
∂
ρ
1
(2.6)
To zna
č
i da se stanje u zvu
č
nom polju može kvantifikovati pritiskom ili brzinom. Pritisak
je veli
č
ina koja se može meriti, a i matemati
č
ka modelovanja koja se primenjuju u praksi
imaju za cilj odre
đ
ivanje veli
č
ine pritiska. Ojlerova jedna
č
ina omogu
ć
ava da se u tim
okolnostima izra
č
una i brzina oscilovanja molekula vazduha.
Izraz
(2.5)
je Ojlerova jedna
č
ina u jednodimenzionalnom prostoru. Ako se ona
proširi na trodimenzionalni prostor, postaje:
t
v
p
grad
∂
∂
ρ
−
=
(2.7)
Ovakva jedna
č
ina predstavlja opšti slu
č
aj odnosa pritiska i brzine. U nekim
jednostavnim formama zvu
č
nog polja, koji
ć
e biti prikazani u nastavku, relacija izme
đ
u
njih se pojednostavljuje.
Brzina prostiranja zvu
č
nog talasa
Pitanje brzine prostiranja zvu
č
ne pojave, odnosno zvu
č
nog talasa, kroz prostor
predstavlja poseban aspekt inženjerske akustike zbog njene relativno male vrednosti.
Kona
č
nost brzine kretanja zvu
č
nih talasa dostupna je ljudskim
č
ulima (u tom smislu,
poznata je de
č
ija zabava utvr
đ
ivanja vremenske razlike izme
đ
u trenutka stizanja bljeska
groma i stizanja zvuka grmljavine).
U idealnim gasovima pri adijabatskim procesima brzina prostiranja zvuka je:
