LAPLASOVA TRANSFORMACIJA
Ova transformacija je nazvan po francuskom matematičaru Pjeru Laplasu (Pierre-Simon
Laplace, 1749-1827). Uvođenjem ovakvih transformacija, moguće je probleme iz jedne oblasti
matematike prevesti u drugu u kojoj se lakše rešavaju. Na primer, rešavanje diferencijalnih
jednačina svodi se na rešavanje algebarskih jednačina.
1.
UVOD
Definicija 1.
Neka je
f(t)
kompleksna funkcija realne promenljive, koja zadovoljava sledeće uslove:
1.
Funkcija
f (t)
zajedno sa svojim izvodima do
n
-tog reda je deo po deo neprekidna;
2.
f(t)
= 0 za
t
< 0;
3.
Postoje pozitivni brojevi
M
i
s
takvi da je
st
Me
t
f
(
t
> 0).
Takva funkcija predstavlja
original
.
Definicija 2.
Laplaceova transformacija
ili
slika
originala
f (t)
definisana je sa
L
0
)
(
)
(
))
(
(
t
f
p
F
t
f
e
-pt
dt (p
C).
(1)
Ovaj integral nosi naziv
Laplaceov
integral.
Teorema 1.
(Konvergencija Laplaceovog integrala)
Ako je f (t) original tada Laplaceov integral
(1) konvergira u svakoj oblasti
},
)
Re(
:
{
a
p
p
gde je
.
s
a
Dokaz.
Neka su ispunjei uslovi iz Definicije 2 i neka je
.
)
Re(
s
a
p
Tada je
.
|
|
|
||
)
(
|
|
)
(
|
|
)
(
|
0
0
0
dt
e
M
dt
e
t
f
dt
e
t
f
p
F
pt
pt
pt
Kako je
,
|
||
|
|
|
|
|
)
Re(
)
Im(
)
Re(
))
Im(
)
(Re(
at
t
p
t
p
i
t
p
t
p
i
p
pt
e
e
e
e
e
e
to je
.
|
)
(
|
0
0
)
(
)
(
s
a
M
a
s
e
M
dt
e
M
p
F
t
t
t
a
s
t
a
s
2.
OSNOVNA SVOJSTVA
Teorema 1.
(Teorema o linearnosti)
Važi formula
L
(c
1
f
1
(t) + c
2
f
2
(t)) = c
1
L
(f
1
(t)) + c
2
L
(f
2
(t)),
Gde su c
1
, c
2
proizvoljne konstante.
Dokaz.
Po definiciji je:
L
(c
1
f
1
(t) + c
2
f
2
(t))
))
t
(
f
c
)
t
(
f
c
(
2
2
1
0
1
e
-pt
dt
Na osnovu osobina određenog integrala, dobija se:
))
t
(
f
c
)
t
(
f
c
(
2
2
1
0
1
e
-pt
dt = c
1
0
1
)
t
(
f
e
-pt
dt + c
2
0
2
)
t
(
f
e
-pt
dt = c
1
L
(f
1
(t)) + c
2
L
(f
2
(t)),
što ustvari predstavlja dokaz predhodne teoreme.
Teorema 2.
Ako je a proizvoljan kompleksan broj i ako je
L
(f(t)) = F(p), imamo:
L
(e
at
f(t)) = F(p-a).
Dokaz.
Primenjujući Definiciju 2, dobijamo:
L
(e
at
f(t)) =
0
e
at
f(t)e
-pt
dt =
0
f(t)e
-(p-a)t
dt = F(p-a).
Teorema 3.(Teorema o sličnosti)
Ako je k > 0 i
L
(f(t)) = F(p) tada je
L
( f(kt)) =
.
1
k
p
F
k
Dokaz.
Kako je
L
0
)
(
))
(
(
kt
f
kt
f
e
-pt
dt,
stavljajući
kt
=
u
, dobija se
L
( f(kt)) =
k
1
0
)
(
u
f
e
-(pu/k)
dt =
k
p
F
k
1
,
čime je teorema dokazana.
Teorema 4.
Ako je
L
(f(t)) = F(p), tada za svaku pozitivnu konstantu a važi
L
( f(t-a)) = e
-ap
F(p).
Zadatak 1.1.
Odrediti Laplasovu transformaciju funkcije date grafički.
Rešenje.
Funkcija je periodična sa osnovnim delom
Stoga je
dt
e
t
f
e
pt
p
2
0
2
)
(
1
1
dt
e
dt
e
e
pt
pt
p
2
1
1
0
2
1
1
1
1
2
2
p
p
e
p
e
Teorema 7.
Ako su funkcija f(t) i njeni izvodi do n-tog reda originalni, tada važi formula
L
n
n
p
t
f
))
(
(
)
(
L
)
0
(
))
(
(
)
(
1
0
1
k
n
k
k
n
f
p
t
f
.
Dokaz.
Primenićemo princip matematičke indukcije. Za
n
= 1, imamo:
.
)
(
'
))
(
'
(
0
dt
e
t
f
t
f
L
pt
Primenom parcijalne integracije birajući
dt
e
t
u
pt
)
(
1
i
,
)
(
'
)
(
1
dt
t
f
t
dv
dobijamo
))
(
'
(
t
f
L
=
t
t
pt
t
f
e
0
)
(
+ p
dt
e
t
f
pt
0
)
(
= p
L
(f(t)) – f(0),
što znači da je formula u ovom slučaju tačna. Pretpostavimo da formula važi za neko
n
. Sličnom
primenom parcijalne integracije, dobija se:
L
dt
e
t
f
t
f
pt
n
n
0
)
1
(
)
1
(
)
(
))
(
(
=
t
t
n
pt
t
f
e
0
)
(
)
(
+ p
dt
e
t
f
pt
n
0
)
(
)
(
= p
L
(f
(n)
(t)) – f
(n)
(0)
=p (p
n
L
(f(t)) -
)
0
(
)
(
1
0
1
k
n
k
k
n
f
p
) - f
(n)
(0) = p
n+1
L
(f(t)) -
).
0
(
)
(
0
k
n
k
k
n
f
p
Prema tome, pošto formula i za
n
+1, zaključujemo da je formula važi za bilo koji prirodan broj
n
.
1
2
3
4
5
6
t
1.0
0.5
0.5
1.0
f t
