Binomna,Poissonova i normalna raspodela

1

Binomna

Binomna

, Poissonova i 

, Poissonova i 

normalna raspodela

normalna raspodela

Goran Trajkovi

ć

februar, 2009. godine

Binomna

Binomna

r

r

a

a

spodela

spodela

Bernoullijev ogled – ogled sa binomnim (dihotomnim) 

me

đ

usobno isklju

č

ivim ishodima:

1. ishod od interesa, povoljan ishod, “uspeh” (sa 

verovatno

ć

om p)

2. nepovoljan ishod, “neuspeh” (sa verovatno

ć

om q=1- p)

Bernoullijev proces:
1. Ponavljanje jednog ogleda sa dva ishoda
2. Ogledi su nezavisni
3. Verovatno

ć

a ishoda u pojedina

č

nim ogledima je jednaka

Raspodela verovatno

ć

a diskretne slu

č

ajne promenljive za 

broj ostvarenih doga

đ

aja od interesa u ogledu koji se sastoji 

od fiksnog broja Bernoullijevih ogleda. Slu

č

ajna promenljiva 

mo

ž

e imati celobrojne nenegativne vrednosti    x=0, 1, 2, ..., 

n  koje predstavljaju:

(1) broja “povoljnih” ishoda posle n pokušaja, ili (2) broja 

jedinica sa datom karakteristikom u uzorku veli

č

ine n.

Binomna

Binomna

r

r

a

a

spodela

spodela

Binomni keoficijent – broj kombinacija 

x

povoljnih ishoda 

u

n

ogleda:

Npr. broj kombinacija za dva ostvarena povoljna ishoda 
(x=2) u sekvenci od 4 nezavisnih ogleda (n=4) iznosi 6:

(

)

!

!

!

x

n

x

n

−

(

)

6

!

2

4

!

2

!

4

=

−

Ako je A povoljan, a B nepovoljan ishod, specifi

č

ne 

kombinacije za dva “povoljna” ishoda u 4 ogleda ima

ć

e 

izgled:

AABB     ABAB     ABBA     BAAB     BABA     BBAA

Binomna verovatno

ć

a – verovatno

ć

a da 

ć

e se ostvariti 

x

povoljnih ishoda u sekvenci od 

n

nezavisnih ogleda 

x –

broj “uspeha”

n

– broj dihotomnih ogleda (veli

č

ina uzorka)

p –

verovatno

ć

a “uspeha”

q

– verovatno

ć

a “neuspeha”

n  

i 

p

– parametri binomne raspodele

( )

(

)

x

n

x

q

p

x

n

x

n

x

P

−

⋅

−

=

!

!

!

O

č

ekivanje

Standardna devijacija

p

n

⋅

=

μ

q

p

n

⋅

⋅

=

σ

Primer:
Ako je u

č

estalost krvne grupe 

A

u datoj populaciji 42% 

(p=0.42), verovatno

ć

a da 

ć

e slu

č

ajan uzorak veli

č

ine 7 

osoba (

n

=7), izabran iz te iste populacije, sadržati 2 osobe 

sa krvnom grupom A (

x

=2) iznosi:

( )

(

)

(

)

243

.

0

58

.

0

42

.

0

!

2

7

!

2

!

7

2

7

2

=

⋅

⋅

−

=

−

x

P

2

U istom primeru, verovatno

ć

e za svih 8 mogu

ć

ih rezultata, 

da u uzorku ne

ć

e biti nijedne, pa sve do toga 

ć

e svih 7 

osoba imati krvnu grupu A (

x

= 0, ... 7) iznose (tabelarno i 

grafi

č

ki):

1.000

Σ

0.002

7

0.022

6

0.092

5

0.213

4

0.294

3

0.243

2

0.112

1

0.022

0

p

Broj osoba sa 
krvnom grupom A

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0

1

2

3

4

5

6

7

Broj osoba sa krvnom grupom A

Ve

ro

va

tn

o

ć

a

P

P

oissonova

oissonova

raspodela

raspodela

Poissonova raspodela definiše verovatno

ć

e broja

retkih slu

č

ajnih doga

đ

aja u konstatnoj jednici 

prostora ili  vremena.

Za ove doga

đ

aje va

ž

i:

1.

Doga

đ

aji su nezavisni. Pojava jednog doga

đ

aja ne 

uti

č

e na verovatno

ć

u drugog doga

đ

aja (slu

č

ajnost 

doga

đ

aja)

2.

U teorijskom smilsu, mogu

ć

je beskona

č

an broj 

doga

đ

aja u konstantnoj jedinici prostora ili vremena

3.

U bilo kom malom intervalu ili prostoru verovatno

ć

a 

pojave doga

đ

aja proporcionalna je veli

č

ini intervala

P

P

oissonova

oissonova

raspodela

raspodela

Primeri mogu

ć

e primene u analizi:

•Slu

č

ajne raspodele retkih bolesti u razli

č

itim delovima 

zemlje
•Broja zahteva za hitnu medicinsku intervenciju
•Broja mutacija u lancu DNA za dati nivo radijacije
•Broj bakterijskih kolonija, ili broja bakterija u 
preparatu
•Broja krvnih 

ć

elija u komori za prebrojavanje

•Broja nesre

ć

a

Funkcija verovatno

Funkcija verovatno

ć

ć

a 

a 

P

P

oissonov

oissonov

e

e

raspodel

raspodel

e

e

Funkcija verovatno

ć

a Poissonove raspodele definisana je 

formulom:

x

- broj ostvarenih doga

đ

aja u konstatnoj jednici prostora 

ili vremena,

λ

- parametar Puasonove raspodele i predstavlja 

prose

č

an broj doga

đ

aja u jednici prostora ili vremena,

e 

≈

2.72 (osnova prirodnih logaritama)

O

č

ekivana vrednost, varijansa i standardna devijacija:

λ

σ

μ

=

=

2

λ

σ

=

( )

!

x

e

x

P

x

λ

λ

−

=

Verovatno

ć

a za nula doga

đ

aja (

x=

0) dobija se iz tablice ili 

pomo

ć

u formule:

Verovatno

ć

e za jedan, dva ili više (x=1, 2, ...) doga

đ

aja

mogu se dobiti rekurzivnim formulama:

( )

!

0

0

0

λ

λ

−

=

e

P

( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )

3

2

3

2

1

2

0

1

λ

λ

λ

P

P

P

P

P

P

=

=

=

Primer:
Broj poro

đ

aja po danima u jednoj opštini u vremesnkom 

periodu od 110 dana iznosio je:

broj poro

đ

aja 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u jednom danu

broj dana

2

10 18 23 22 16 10

5

3

0

1

Kolika je verovatno

ć

a da u jednom danu budu dva poro

đ

aja? 

Kolika je verovatno

ć

a da u jednom danu bude manje od 3 

poro

đ

aja? Kolika je verovatno

ć

a da u jednom danu bude više 

od 2 poro

đ

aj?

4

Provera normalnosti raspodele

1. CV>50% ukazuje na odstupanje od normalne 

raspodele

2. Vrednosti skjunisa i kurtosisa od -1 do 1 ukazuju na 

normalnu raspodelu. Vrednosti skjunisa i kurtosisa 

ve

ć

e od 3 i manje od -3 ukazuju na odstupanje od 

normalne raspodele. Kod pozitivno iskošene 

raspodele aritmeti

č

ka sredina je ve

ć

a od medijane. 

Kod negativno iskošene raspodele aritmeti

č

ka 

sredina je manja od medijane

3. Statisti

č

ko testiranje normalnosti: Kolmogorov-

Smirnov test i Shapiro-Wilk test. Ako je p<0.05 u 

ovim testovima, empirijska raspodela statisti

č

ki 

zna

č

ajno odstupa od normalne.

Provera normalnosti raspodele

Grafi

č

ke metode:

4. Histogram – vizuelna procena da li je empirijska 

raspodela sli

č

na zvonastoj simetri

č

noj raspodeli

5. Normalni Q–Q grafikon. Ako je raspodela normalna 

ta

č

ke 

ć

e biti na pravoj liniji. Odstupanje ta

č

aka od 

prave linije ukazuje na odstupanje raspodele od 
normalne.

6. Detrendovani normalni Q–Q grafikon.  Ako je 

raspodela normalna ta

č

ke 

ć

e biti ravnomerno 

raspore

đ

ene iznad i ispod horizontalne linije. Ako 

raspodela nije normalna raspored ta

č

aka 

ć

e imati 

neki oblik kao npr. slovo J

Provera normalnosti raspodele

8. Grafikon kutije (“boxplot”). Ako postoji nekoliko 

ekstremnih vrednosti ili neobi

č

nih vrednosti na bilo 

kom kraju raspodele  to ukazuje na odstupanje od 
normalne raspodele. Ako medijana nije u centru 
grafikona kutije ve

ć

je znatno bliža jednom od 

krajeva kutije, to ukazuje na odstupanje od 
normalne raspodele

Binomna

Binomna

, Poissonova i 

, Poissonova i 

normalna raspodela

normalna raspodela

Goran Trajkovi

ć

februar, 2009. godine

Raspodela verovatno

ć

a diskretne slu

č

ajne promenljive za 

broj ostvarenih doga

đ

aja od interesa u ogledu koji se sastoji 

od fiksnog broja Bernoullijevih ogleda. Slu

č

ajna promenljiva 

mo

ž

e imati celobrojne nenegativne vrednosti    x=0, 1, 2, ..., 

n  koje predstavljaju:

(1) broja “povoljnih” ishoda posle n pokušaja, ili (2) broja 

jedinica sa datom karakteristikom u uzorku veli

č

ine n.

Binomna

Binomna

r

r

a

a

spodela

spodela