UNIVERZITET U BEOGRADU
GRA EVINSKI FAKULTET
- ODSEK ZA GEODEZIJU I GEOINFORMATIKU -
Boži S. Branko
OBRADA I ANALIZA
PODATAKA GEODETSKIH
MERENJA 2
Skripta
Beograd, 2007
Ra un izravnanja 2 2
GRF- Odsek za GiG Doc. dr Branko Boži , dipl.geod.inž.
SADRŽAJ
Strana
PREDGOVOR
5
1.
PRINCIP NAJMANjIH KVADRATA
7
1.1.
Uvod
7
1.2.
Fundamentalni princip najmanjih kvadrata – merenja iste preciznosti
8
1.3.
Fundamentalni princip najmanjih kvadrata – merenja razli ite
preciznosti
1.4.
Matemati ki model
12
1.4.1.
Funkcionalni model
13
1.4.2.
Stohasti ki model
14
1.5.
Osobine grešaka opažanja
14
1.5.1.
Slu ajne greške
14
1.5.2.
Grube greške
16
1.5.3.
Sistematske greške
16
1.6.
Jedna ine opažanja
17
1.6.1.
Izravnanje jedna ina opažanja
17
1.6.2.
Sistemski pristup formulisanja normalnih jedna ina
19
1.7.
Tabelarni prikaz normalnih jedna ina
19
1.8.
Matri ni oblik normalnih jedna ina
23
1.8.1.
Merenja iste preciznosti
23
1.8.2.
Merenja razli ite preciznosti
25
1.9.
Rešavanje nelinearnih sistema po metodi najmanjih kvadrata
26
1.10
Ocena najverovatnijih vrednosti parametara modela zadate funkcije u
odnosu na dati skup ta aka po metodi najmanjih kvadrata
28
1.10.1. Modelovanje skupa datih ta aka jedna inom prave linije – linearna
regresija
28
1.10.2. Modelovanje skupa datih ta aka jedna inom parabole
32
1.10.3. Modelovanje parametara kalibracije elektronskog daljinomera
33
1.11.
MNK rešenje uslovnih jedna ina
35
2.
IZRAVNANjE NIVELMANSKE MREŽE
39
2.1.
Uvod
39
2.2.
Jedna ine opažanja
39
2.3.
Izravnanje merenja iste preciznosti
39
2.4.
Izravnanje merenja tazli ite preciznosti
42
2.5.
Referento standardno odstupanje
44
2.5.1.
Referento standardno odstupanje merenja iste preciznosti
45
2.5.2.
Referento standardno odstupanje merenja razli ite preciznosti
45
3.
PRECIZNOST INDIREKTNO ODRE ENIH VELI INA
49
3.1.
Uvod
49
Ra un izravnanja 2 4
GRF- Odsek za GiG Doc. dr Branko Boži , dipl.geod.inž.
9.
ELIPSE GREŠAKA
114
9.1.
Uvod
114
9.2.
Ra unanje ugla orijentacije poluosa
116
9.3.
Nivo poverenja elipse grešaka – elipse poverenja
119
9.4.
Zna aj elipse grešaka
120
10.
IZRAVNANJE SA USLOVIMA ME U NEPOZNATIM
122
10.1.
Uvod
122
10.2.
Izravnanje sa uslovima definisanim koordinatama datih ta aka
122
10.3.
Izravnanje trilateracije sa uslovima definisanim koordinatama datih
ta aka i datim pravcima strana
127
10.3.1. Fiksiranje pravca date strane eliminacijom uslova
128
10.4.
Helmertova metoda rešavanja problema
130
10.5.
Suvišna merenja u parametarskom izravnanju sa uslovima
134
10.6.
Definisanje uslova preko težina merenja
134
DODATAK
140
Friedrich Robert Helmert
140
Carl Friedrich Gauss
141
William Sealy Gosset
148
Ronald A. Fisher
150
Karl Pearson
155
LITERATURA
158
Ra un izravnanja 2 5
GRF- Odsek za GiG Doc. dr Branko Boži , dipl.geod.inž.
PREDGOVOR
Ovo izdanje udžbenika napisano je s ciljem da obezbedi neophodnu literaturu za
realizaciju nastave po novom programu studija na Odseku za geodeziju i
geoinformatiku, Gra evinskog fakulteta u Beogradu iz predmeta Ra un izravnanja
2. Materijal je pripremljen u kratkom roku i namenjen je onima koji se prvi put
susre u sa metodom najmanjih kvadrata i imaju odre ena predznanja iz teorije
grešaka i rasporeda slu ajnih promenljivih. Osim po etnicima, materijal može
poslužiti i svim drugim geodetskim stru njacima koji se ovim problemima
svakodnevno bave.
Udžbenik sadrži deset poglavlja. U svakom poglavlju, pored teorijskih osnova dati
su primeri kojima se ilustruje pre eni sadržaj. Na kraju, u prilozima, prikazane su
kratke biografije nekoliko zna ajnih li nosti koji su u velikoj meri doprineli
razvoju statisti ke analize. U ovoj verziji knjige, njihove biografije su date na
engleskom jeziku.
Prvo poglavlje nosi naziv -
Princip najmanjih kvadrata. U okviri tog poglavlja
razmatra se fundamentalni princip najmanjih kvadrata prilikom obrade i analize
merenja jednake i nejednake ta nosti. Definišu se stohasti ki i matemati ki modeli
i prikazuju jedna ine opažanja u klasi nom i matri nom obliku. Na kraju poglavlja
prikazana je ocena parametara u modelima koji se esto susre u u inženjerskoj
geodeziji. Opisan je model linearne regresije nad primerima koji koriste model
prave i model parabole kao i model kojim se ocenjuju parametri modela merenja
dužina elektroopti kim daljinomerima prilikom njihove kalibracije.
Drugo poglavlje nosi naziv –
Izravnanje nivelmanske mreže. Poglavlje sadrži
jedna ine opažanja i njihovo rešavanje u slu aju merenja jednake i razli ite
ta nosti. Na kraju je opisan pojam referentnog standardnog odstupanja prilikom
izvo enja merenja iste i razli ite ta nosti.
U tre em poglavlju opisani su pojmovi koji se odnose na
preciznost indirektno
odre enih veli ina. Obra en je pojam i zna aj kovarijacionih matrica kao i
standardna odstupanja ocena nepoznatih veli ina.
etvrto poglavlje nosi naziv –
Izravnanje trilateracije. Obra ene su jedna ine
opažanja merenja dužina, ocene nepoznatih parametara i broj iteracija koji se
primenjuje prilikom izvo enja ocena.
U petom poglavlju obra eno je
izravnanje triangulacije. Izvedene su jedna ine
opažanja pravaca i uglova. Posebno su obra eni primeri izravnanja u postupku
ocena koordinata ta aka presecanjem napred i presecanjem nazad.
Ra un izravnanja 2 7
GRF- Odsek za GiG Doc. dr Branko Boži , dipl.geod.inž.
1.
PRINCIP NAJMANJIH KVADRATA
1.1. UVOD
Izravnanje geodetskih opažanja ima smisla samo u onim slu ajevima kada je broj
opažanja ve i od minimalno neophodnog broja kojim se obezbe uje jednozna nost
rešenja. S obzirom da se do traženih podataka (koordinate, visine, …) dolazi
opažanjima (merenjem) koja su izložena razli itim uticajima (vremenskim
fluktuacijama i sl., poznatim u klasi nom smislu kao greške) redudantni podaci su
naj eš e nekonzistentni u tom smislu, da e svaki podskup opažanja dati razli ite
ocene nepoznatih parametara. Da bi se u takvoj situaciji dobila jedinstvena rešenja,
moraju se uvesti dopinski kriterijumi. U premeru, opažanja esto moraju
zadovoljiti odre ene numeri ki definisane uslove koji su naj eš e geometrijskog
karaktera. Primer takve vrste jeste zatvoreni poligonski vlak gde horizontalni
uglovi i merene dužine moraju zadovovoljiti uslove datog ugla i datih koordinatnih
razlika. Sli no je i sa zbirom uglova u trouglu ili visinskom razlikom u zatvorenom
ili umetnutom nivelmanskom vlaku.
Kao što je ve pomenuto više puta u okviru prethodnog kursa, greške merenja se
pokoravaju zakonima verovatno a i slede teoriju
normalnog rasporeda. U skladu
sa time, merenja se i izravnavaju slede i odgovaraju e matemati ke zakone. Po eci
primene principa najmanjih kvadrata datiraju iz perioda osamdesetih godina
osamnaestog veka. U po etku, najviše je primenjivan u oblasti astronomije.
Laplace je još 1774. godine prvi dao matemati ku osnovu teorije, da bi Legendre
1805. godine prvi publikovao rad pod nazivom
Methode des Moindres Quarres
(Method of Least Squares). Opšte je poznato da je Gaus, iako je tek 1809. godine
javno objavio svoje radove, koristio metod najmanjih kvadrata još kao student
Univerziteta u Gottingenu 1794. godine, kada je i dobio poseban kredit za nastavak
radova u toj oblasti.
U teoriji najmanjih kvadrata izrazi merenja i opažanja se koriste esto kao sinonimi
(Mikhail and Ackerman, 1976). Izraz opažanje (ili merenje) u praksi se esto
koristi u opisu operacije ili samog procesa odnosno, ishoda takve jedne operacije.
Kada je re o izravnanju, pod
opažanjem se smatra ishod, posebno, numeri ki
ishod procesa. Tako definisani podaci numeri kog karaktera od fundamentalne su
važnosti u geodeziji jer se do njih dolazi pomo u geodetskih instrumenata.
Kada je re o konceptu
merenja, pogotovu kada pri tome uopšteno posmatramo
merenje dužina, pravaca, visinskih razlika i sl., stvari su jasne. Ali, ako se operacija
merenja posmatra u užem smislu, onda je problem donekle složeniji. Naime, i
najprostija merenja nisu jednostavna. Tako je ak i merenje dužina pantljikom
