studenti.rs home page

др

 

Маша

 

Букуров

, 

Богољуб

 

Тодоровић

 

и

 

мр

 

Синиша

 

Бикић

 

 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

МЕХАНИКА

 

ФЛУИДА

 1 

- 

скрипта

 

задатака

 - 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ФТН

 

Нови

 

Сад

 2008.

г

. 

 

 

2

Садржај

 

 
 

1.   

Потенцијално

 

струјање

.............................................................................3 

2.

 

Једначина

 

о

 

промени

 

количине

 

кретања

.................................................15 

3.

 

Компресибилно

 

струјање

..........................................................................37 

4.

 

Навије

-

Стоксова

 

једначина

.......................................................................45 

5.

 

Отпори

.........................................................................................................56 

 
       

Литература

........................................................................................................65 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

background image

 

4

 

( )

(

)

W z

W x iy

i

ϕ ψ

=

−

= −

, 

коњуговано

 

комплексна

 

функција

 

од

 

комплексне

 

функције

 

( )

W z

. 

Ако

 

се

 

стави

 

да

 

је

 

1
2

x

z

=

 , 

2

i

y

z

= −

, 

горње

 

једнакости

 

дају

 

 

( )

( )

1

2

,

0

2

2

i

W z

z

z

W

ϕ

⎛

⎞

=

−

−

⎜

⎟

⎝

⎠

, 

 

( )

( )

1

2

,

0

2

2

i

W z

i

z

z

W

ψ ⎛

⎞

=

−

+

⎜

⎟

⎝

⎠

. 

Нека

 

су

 

( )

0

W

i

α β

= +

 

и

 

( )

0

W

i

α β

= −

, 

тада

 

је

 

 

( )

( )

( )

2

0

0

2 0,0

W

W

α

ϕ

=

+

=

, 

( )

( )

( )

2

0

0

2

0,0

i

W

W

i

β

ψ

=

−

=

. 

Према

 

томе

, 

ако

 

је

 

позната

 

функција

 

( )

,

x y

ϕ

 

или

 

( )

,

x y

ψ

, 

може

 

да

 

се

 

одреди

 

( )

W z

 

из

 

једнакости

 

( )

( )

1

2

,

0,0

2

2

i

W z

z

z

i

ϕ

ϕ

β

⎛

⎞

=

−

−

+

⎜

⎟

⎝

⎠

, (1) 

( )

( )

1

2

,

0,0

2

2

i

W z

i

z

z

i

ψ

ψ

α

⎛

⎞

=

−

−

+

⎜

⎟

⎝

⎠

, (2) 

где

 

су

 

β

 

и

 

α

 

произвољне

 

реалне

 

константе

 

које

 

се

 

одређују

 

из

 

граничних

 

услова

. 

Сада

 

се

 

за

 

задати

 

потенцијал

 

брзине

 

ϕ

 

из

 

једнакости

 (1) 

налази

 

комплексни

 

потенцијал

 

 

( )

2

2

1

2

3

0

2

2

2

i

i

W z

a

z

z

z

i

β

⎡

⎤

⎛

⎞ ⎛

⎞

⎛

⎞

= ⋅

−

−

−

− +

⎢

⎥

⎜

⎟ ⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠ ⎝

⎠

⎝

⎠

⎢

⎥

⎣

⎦

, 

односно

, 

након

 

сређивања

 

 

( )

3

W z

iaz

i

β

=

+

. 

Из

 

услова

 

( )

0

0

W

=

 

следи

 

да

 

је

 

0

β =

, 

те

 

је

 

 

( )

3

W z

iaz

=

. 

 

3. 

Комплексним

 

потенцијалом

 

( )

( )

1

ln

i

i

W z

z

+

=

 

дефинисано

 

је

 

раванско

 

струјање

 

нестишљивог

 

флуида

. 

Одредити

 

 

а

) 

из

 

којих

 

основних

 

струјања

 

се

 

састоји

 

збирно

 

струјање

 

и

 

 

б

) 

интезитет

 

брзине

 

у

 

тачки

 

( )

A 7,7 . 

 

Решење

 

задатка

 3 

 

а

) 

Комплексни

 

потенцијал

 

којим

 

се

 

приказује

 

раванско

 

струјање

 

нестишљивог

 

флуида

    

( )

( )

1

ln

i

i

W z

z

+

=

, 

може

 

да

 

се

 

разложи

 

на

 

 

( )

1

1

1

1

ln

ln

ln

ln

i

i

W z

z

z z

z

z

i

+

⎛

⎞

=

=

⋅

=

+

⎜

⎟

⎝

⎠

. 

Како

 

су

 

математичке

 

формулације

 

вртлога

 

и

 

извора

 

 

5

 

(

)

0

ln

2

Г

z z

i

π

−

, 

 

(

)

0

ln

2

z z

ε

π

−

, 

може

 

да

 

се

 

закључи

 

да

 

се

 

струјање

 

састоји

 

од

 

вртлога

 

циркулације

 

2

Г

π

=

 

смештеним

 

у

 

тачки

 

0

0

z

=

 

и

 

извором

 

издашности

 

2

ε

π

=

 

смештеним

 

у

 

тачки

 

0

0

z

=

. 

б

) 

Коњуговано

 

комплексна

 

брзина

 

дефинише

 

се

 

као

 

 

( )

1

1

1

2

2

2

2

d

1 1

d

i

i

x

y

i

i

W z

i

x y

x y

v v

iv

z

i

z

i

x

y

x

y

z

+

−

+

+

−

+

= −

=

=

⋅

⋅

=

−

+

+

. 

У

 

предходној

 

једначини

 

могу

 

да

 

се

 

уоче

 

брзине

 

у

 

правцу

 

x

 

и

 

y

 

осе

 

 

2

2

x

x y

v

x

y

−

=

+

, 

 

2

2

y

x y

v

x

y

+

=

+

. 

Интезитет

 

брзине

 

у

 

тачки

 

( )

A 7,7  

износи

 

 

2

2

2

2

2

x

y

v

v

v

x

y

=

+

=

+

, 

 

( )

1

7,7

7

v

=

. 

 
4. 

Стационарна

 

и

 

потенцијална

 

струја

, 

густине

 

ρ

 

и

 

брзине

 

v

∞

, 

опструјава

 

вертикални

 

кружни

 

цилиндар

 

као

 

што

 

је

 

показано

 

на

 

слици

. 

Испред

 

цилиндра

, 

на

 

дужини

 

L

 

од

 

координатног

 

почетка

, 

налази

 

се

 

тачка

  A  

у

 

којој

 

је

 

притисак

 

за

 20% 

мањи

 

од

 

притиска

 

који

 

влада

 

у

 

тачки

  B  

на

 

цилиндру

. 

Ако

 

је

 

у

 

тачки

  B  

измерен

 

притисак

 

t

p

, 

написати

 

израз

 

који

 

у

 

функцији

 

датих

 

величина

 

(

)

, , ,

t

v L p

ρ

∞

, 

експлицитно

 

дефинише

 

пречник

 

опструјавања

 

цилиндра

 

D

. 

 

 

 

Решење

 

задатка

 4 

 

Комплексни

 

потенцијал

 

струјања

 

гласи

 

 

( )

2

R

W z

v

z

z

∞

⎛

⎞

=

+

⎜

⎟

⎝

⎠

. 

Коњуговано

 

комплексна

 

брзина

 

дефинише

 

се

 

као

 

 

(

)

2

2

2

2

d

d

W

v R

R

v

v

v

v

z

z

x iy

∞

∞

∞

∞

=

=

−

=

−

+

. 

background image

 

7

С

 

обзиром

 

да

 

је

 

a b

>

 

следи

 

да

 

је

 

0

a b

− >

, 

тако

 

да

 

знак

 

дискриминанте

 

зависи

 

само

 

од

 

односа

 

a b

−

 

и

 

2

v

ε

π

, 

тј

.  

а

) 

0

D

>

 

за

 

2

a b

v

ε

π

− >

 

⇒

   

(

)

2

v

a b

ε

π

>

−

   

⇒

   

1

z

 

и

 

2

z

 

су

 

реални

 

бројеви

 

и

 

налазе

 

се

 

на

 

линији

  AB ; 

б

) 0

D

=

 

за

 

2

a b

v

ε

π

− =

 

⇒

  

(

)

2

v

a b

ε

π

=

−

  

⇒

  

1

2

2

a b

z

z

+

=

=

; 

в

) 0

D

<

 

за

 

2

a b

v

ε

π

− <

 

⇒

   

(

)

2

v

a b

ε

π

<

−

   

⇒

   

1,2

.

2

a b

z

i const

+

=

± ⋅

 

где

 

решења

 

леже

 

на

 

симетрали

 

дужи

  BA . 

 

 

 

6. 

За

 

раванско

 

струјање

 

нестишљивог

 

флуида

, 

одређено

 

потенцијалом

 

брзине

 

( )

2

2

,

ax by

x y

x

y

ϕ

+

=

+

, 

одредити

: 

а

) 

струјну

 

функцију

, 

комплексни

 

потенцијал

 

и

 

коњуговано

 

комплексну

 

брзину

 

за

 

гранични

 

услов

 

(

)

1

W a ib

+

=

; 

б

) 

скицирати

 

струјну

 

слику

; 

в

) 

проток

 

кроз

 

контуру

 

омеђену

 

тачкама

 

( )

A ,

a b

 

и

 

( )

B ,

b a

. 

 

Решење

 

задатка

 6 

 

а

) 

Из

 

израза

 

за

 

потенцијал

 

брзине

 

написан

 

у

 

поларним

 

координатама

 

r

 

и

 

θ

 

и

 

посредством

 

познатих

 

веза

 

1

r

r

ϕ

ψ

θ

∂

∂

=

∂

∂

, 

1

r

r

ϕ

ψ

θ

∂

∂

= −

∂

∂

, 

добија

 

се

 

систем

 

парцијалних

 

диференцијалних

 

једначина

 

cos

sin

a

b

r

r

ψ

θ

θ

θ

∂

= −

−

∂

, 

Želiš da pročitaš svih 65 strana?

Prijavi se i preuzmi ceo dokument.

Prijavi se Napravi nalog

Ovaj materijal je namenjen za učenje i pripremu, ne za predaju.

Slični dokumenti