1
MATRICE (TEORIJA)
Za pravougaonu ( kvadratnu ) šemu brojeva
ij
a
(
i=1,2,…,m
a
j= 1,2,…,n
):
11
12
1
21
22
2
1
2
. . .
. . .
.
.
.
. . .
n
n
m
m
mn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
kažemo da je
matrica tipa
m n
. Brojevi
ij
a
su elementi matrice.
Tip matrice je vrlo bitna stvar : kad kažemo da je matrica tipa
m n
, to zna
č
i da ona ima
m
vrsta i
n
kolona
.
Primer:
Matrica
2 3 -5
1 2 3
A
je tipa 2 3
jer ima dve vrste a tri kolone.
Matrica
7 8
1 2
7 6
1 -2
B
je tipa
4 2
jer ima 4 vrste i 2 kolone.
Matrice se naj
č
eš
ć
e obeležavaju ovim srednjim zagradama
, ali da vas ne zbuni, neki profesori ih obeležavaju i
malim zagradama
a koriste se još i
. Vi radite onako kako kaže vaš profesor...
Ako matrica ima
isti broj vrsta i kolona (
n n
), za nju kažemo da je
kvadratna matrica reda n
.
Matrica
č
iji su
svi elementi jednaki nuli
naziva se
nula- matrica.
0 0
0 ,
,
0 0
itd
Matrica
- A
definisana sa
( 1)
def
A
A
je
suprotna matrica
za matricu
A.
Kvadtarna matrica reda n za koju je
1
ii
a
( po glavnoj dijagonali su jedinice a sve ostalo nule) naziva se
jedini
č
na
matrica reda n
i ozna
č
ava se sa
n
I
1
2
3
1 0 0
1 0
1 ,
,
0 1 0 ...
0 1
0 0 1
I
I
I
itd
Neki profesori jedini
č
nu matricu obeležavaju sa
E.
Vi radite onako kako kaže vaš profesor...
www.matematiranje.com
2
Ako su svi elementi kvadratne matrice reda n
ispod glavne dijagonale jednaki nuli
, takva se matrica naziva
gornja
trougaona matrica.
Na primer :
1 8 -2
0 1 6
0 0 7
je gornja trougaona matrica reda 3.
Ako su svi elementi kvadratne matrice reda n
iznad glavne dijagonale jednaki nuli
, takva se matrica naziva
donja
trougaona matrica.
Na primer :
2 0 0
2 3 0
7 3 8
je donja trougaona matrica reda 3.
Dve matrice
A
i
B
su
jednake
ako i samo ako su
istog tipa
i imaju
jednake odgovaraju
ć
e elemente
.
Sabiranje i oduzimanje matrica
Važno: Mogu se sabirati ( oduzimati ) samo matrice
istog tipa
!
Primer
Neka su date matrice
2 7 -5
4 2 3
A
i
3 3 -5
1 4 0
B
. Nadji matricu
A+B
i
A-B.
Najpre primetimo da su matrice A i B istog tipa 2 3
, to jest obe imaju 2 vrste i 3 kolone. To nam govori i da
ć
e
matrica koja je njihov zbir takodje biti tipa 2 3
.
Sabiraju se tako što sabiramo “ mesto s mestom”…krenemo od mesta na prvoj vrsti i koloni 2+ 3=5 itd…
2 7 -5
3 3 -5
2+3 7+3 -5+(-5)
5 10 -10
4 2 3
1 4 0
4 ( 1) 2+4 3+0
3 6 3
A
B
Analogno radimo i oduzimanje:
2 7 -5
3 3 -5
2-3 7-3 -5-(-5)
1 4 0
4 2 3
1 4 0
4 ( 1) 2-4 3-0
5 -2 3
A B
www.matematiranje.com
4
Najpre da vidimo koji tip
ć
e imati matrica koja se dobija njihovim proizvodom:
A
je tipa 2 3
, dok je
B
tipa 3 2
pa
ć
e matrica njihovog proizvoda biti tipa (2 3
) ( 3
2) 2 2
.
Dakle ima
ć
e dve vrste i dve kolone.
2 0
1 2 -1
1 3
0 2 3
1 -1
A B
. Kako sada ra
č
unati? Imamo dakle 4 “mesta”.
2 0
1 2 -1
prva vrsta prva kolona
prva vrsta druga kolona
1 3
0 2 3
druga vrsta prva kolona druga vrsta druga kolona
1 -1
prva vrsta prva kolona
dobijamo :
2 0
1 2 -1
1 3
0 2 3
1 -1
=1 2+2 1+(-1) 1=
.
.
.
2+2-1=3
prva vrsta druga kolona
dobijamo:
2 0
1 2 -1
1 3
0 2 3
1 -1
=1 0+2 3+(-1) (-1)=0+6+1=7
.
.
.
druga vrsta prva kolona
:
2 0
1 2 -1
1 3
0 2 3
1 -1
.
.
.
=0 2+2 1+3 1=0+2+3=5
druga vrsta druga kolona
:
2 0
1 2 -1
1 3
0 2 3
1 -1
.
.
.
=0 0+2 3+3 (-1)=0+6-3=3
www.matematiranje.com
5
Sad ovo ubacimo gore:
2 0
1 2 -1
3 7
1 3
0 2 3
5 3
1 -1
Naravno, vi ne morate da radite ovoliko postupno, kad se izvežbate, sve
ć
e i
ć
i mnogo brže...
Za proizvod matrica važe zakoni:
1) (
)
(
)
2) (
)
i (
)
3) (
) (
)
(
) je skalar ( broj)
4)
gde je I jedini
č
na matrica
A B C
A B C
A B C
A B
A C
B C
A
B A C A
A B
A B
A
B
I A
A I
Važno: Za matrice u opštem slu
č
aju ne važi komutativnost množenja
A B
B A
Ako je
A
matrica tipa
m n
, onda se njena
transponovana matrica
T
A
dobija kada u matrici
A
kolone i vrste
zamene mesta
. Tip matrice
T
A
je onda naravno
n m
.
Primer
Ako je recimo
1 4 5
0 0 3
A
, onda je
1 0
4 0
5 3
T
A
Ako je recimo
1 2 3
1 0 4
0 5 0
2 5 5
4 5 6
3 0 6
T
B
B
Matrica
A
za koju je
T
A
A
naziva se simetri
č
na matrica.
( naravno, matrica
A
mora biti kvadratna)
Primer
Ako je
1 2
3
2 0
5
3 5
1
A
, kad zamenimo mesta kolone u vrste, dobijamo
1 2
3
2 0
5
3 5
1
T
A
Dakle, ova matrica je simetri
č
na!
www.matematiranje.com
7
TRE
Ć
EG REDA
Determinante tre
ć
eg reda možemo razviti po bilo kojoj vrsti ili koloni. Najpre svakom
elementu dodelimo predznak + ili -, i to radimo neizmeni
č
no:
Samo da vas podsetimo: vrste su
, a kolone
3
3
3
2
2
2
1
1
1
c
b
a
c
b
a
c
b
a
= Ako recimo ho
ć
emo da razvijemo po prvoj vrsti=
=
3
3
2
2
1
c
b
c
b
a
3
3
2
2
1
3
3
2
2
1
b
a
b
a
c
c
a
c
a
b
, ili ako recimo razvijamo po drugoj koloni:
=
2
2
1
1
3
3
3
1
1
2
3
3
2
2
1
c
a
c
a
b
c
a
c
a
b
c
a
c
a
b
Najbolje je ,naravno, da razvijamo po onoj koloni ili vrsti gde ima najviše nula !
Primer: Izra
č
unaj vrednost determinante
2
3
2
0
7
1
1
3
5
2
3
2
0
7
1
1
3
5
= Najpre iznad svakog broja napišite predznake:
, ili ako vam je
lakše samo iznad brojeva u vrsti ili koloni po kojoj ste rešili da razvijete determinantu. Mi
smo rešili po drugoj vrsti jer ima jedna nula (moglo je i po tre
ć
oj koloni, sve jedno).
Dakle:
2
3
2
0
7
1
1
3
5
=
2
3
2
0
7
1
1
3
5
=
3
2
3
5
0
2
2
1
5
7
2
3
1
3
1
=-1(3
2 - 1
3)+7(5
2-2
1)= -3 +56=53
www.matematiranje.com
