Rajna Raji´
c
MATEMATIKA I
Preddiplomski studij rudarstva, naftnog rudarstva i geoloˇskog
inˇ
zenjerstva
SADRˇ
ZAJ
2
Sadrˇ
zaj
1 Skupovi
4
1.1 Pojam skupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2 Operacije sa skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2 Brojevi
8
2.1 Prirodni, cijeli i racionalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2 Realni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3 Kompleksni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3 Matrice
20
3.1 Pojam matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.2 Operacije s matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.3 Determinanta matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.4 Inverz matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.5 Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.6 Sustavi linearnih jednadˇzbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.7 Gaussova metoda eliminacije . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4 Funkcije
66
4.1 Pojam funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.2 Svojstva realnih funkcija realne varijable . . . . . . . . . . . .
72
4.3 Popis elementarnih funkcija i njihovi grafovi . . . . . . . . . .
78
5 Limes funkcije
95
5.1 Pojam limesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
5.2 Neprekidne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
6 Derivacija funkcije
119
6.1 Pojam derivacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
6.2 Derivacija i neprekidnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
6.3 Pravila deriviranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
6.4 Derivacija sloˇzene funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
6.5 Derivacija inverzne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
6.6 Logaritamsko deriviranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
6.7 Derivacije viˇseg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
6.8 Derivacija implicitno zadane funkcije . . . . . . . . . . . . . .
132
6.9 Derivacija parametarski zadane funkcije . . . . . . . . . . . .
136
6.10 Fizikalno znaˇcenje prve derivacije u toˇcki . . . . . . . . . . .
139
6.11 Geometrijsko znaˇcenje prve derivacije u toˇcki . . . . . . . . .
140
2
1. Skupovi
4
1
Skupovi
1.1
Pojam skupa
Skup je jedan od osnovnih pojmova matematike, ˇsto znaˇci da pojam skupa
ne moˇzemo objasniti pomo´cu nekih ve´c poznatih i jednostavnijih pojmova.
Skup je sastavljen od objekata koje nazivamo
elementima
ili
ˇclanovima
skupa.
Skupove obiˇcno oznaˇcavamo velikim slovima:
A, B, C, X, . . .
a njihove
elemente malim slovima
a, b, c, x, . . . .
Ako element
a
pripada skupu
A,
piˇsemo
a
∈
A.
U protivnom kaˇzemo da
a
nije element, odnosno ne pripada skupu
A
i piˇsemo
a /
∈
A.
Skup moˇzemo zadati ili nabrajanjem svih njegovih elemenata koje onda
stavljamo u vitiˇcaste zagrade, npr.
A
=
{
a, b, c
}
,
ili navodenjem karakteristiˇcnog svojstva koje njegovi elementi moraju zado-
voljiti, npr.
B
=
{
x
|
sin
x
= 0
}
.
Skup koji nema niti jedan element zove se
prazan skup
i oznaˇcava sim-
bolom
∅
.
Kaˇzemo da je skup
A
podskup
skupa
B
ako je svaki element skupa
A
ujedno i element skupa
B.
Tu ˇcinjenicu kra´ce zapisujemo
A
⊆
B.
Ako pak
A
nije podskup od
B,
tj. ako postoji barem jedan element skupa
A
koji ne
pripada skupu
B,
piˇsemo
A
6⊆
B.
Napomenimo da prazan skup smatramo podskupom svakog skupa.
Za skupove
A
i
B
kaˇzemo da su
jednaki
, i piˇsemo
A
=
B,
ako je
A
⊆
B
i
B
⊆
A.
U sluˇcaju da vrijedi
A
⊆
B
i
A
6
=
B
koristimo oznaku
A
⊂
B.
1.2
Operacije sa skupovima
Neka je
U
univerzalni skup. Neka su
A
i
B
podskupovi skupa
U.
Na
skupovima
A
i
B
definiramo sljede´ce operacije:
(a)
presjek
skupova
A
i
B
A
∩
B
=
{
x
|
x
∈
A
i
x
∈
B
}
,
(b)
unija
skupova
A
i
B
4
1. Skupovi
5
A
∪
B
=
{
x
|
x
∈
A
ili
x
∈
B
}
,
(c)
razlika
skupova
A
i
B
A
B
=
{
x
|
x
∈
A
i
x /
∈
B
}
,
(d)
komplement
skupa
A
A
=
{
x
|
x /
∈
A
}
.
Uoˇcimo
A
B
=
A
∩
B.
Sliˇcno, za
n
podskupova
A
1
, . . . , A
n
skupa
U
definiramo njihov presjek i
uniju na sljede´ci naˇcin:
(i)
presjek
skupova
A
1
, . . . , A
n
∩
n
i
=1
A
i
:=
A
1
∩
A
2
∩ · · · ∩
A
n
=
{
x
|
x
∈
A
1
i
x
∈
A
2
i
. . .
i
x
∈
A
n
}
,
(ii)
unija
skupova
A
1
, . . . , A
n
∪
n
i
=1
A
i
:=
A
1
∪
A
2
∪ · · · ∪
A
n
=
{
x
|
x
∈
A
1
ili
x
∈
A
2
ili
. . .
ili
x
∈
A
n
}
.
Za skupove
A
i
B
kaˇzemo da su
disjunktni
ako je
A
∩
B
=
∅
.
Operacije sa skupovima imaju sljede´ca svojstva:
(1) komutativnost
A
∩
B
=
B
∩
A,
A
∪
B
=
B
∪
A,
(2) asocijativnost
(
A
∩
B
)
∩
C
=
A
∩
(
B
∩
C
)
,
(
A
∪
B
)
∪
C
=
A
∪
(
B
∪
C
)
,
(3) distributivnost
A
∩
(
B
∪
C
) = (
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C
)
,
A
∪
(
B
∩
C
) = (
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C
)
,
(4) zakoni jedinice
A
∩ ∅
=
∅
,
A
∩
U
=
A,
A
∪ ∅
=
A,
A
∪
U
=
U,
(5) idempotentnost
A
∩
A
=
A,
A
∪
A
=
A,
(6) De Morganovi zakoni
5
1. Skupovi
7
Primjer 3.
Dani su skupovi
A
=
{
x
∈
R
|
sin
x
= 0
}
i
B
=
{
x
∈
R
|
sin 2
x
= 0
}
(pri
ˇcemu smo s
R
oznaˇcili skup svih realnih brojeva). Na´ci
A
∩
B, A
∪
B, A
B
i
B
A.
Rjeˇsenje
Uoˇcimo da je
A
=
{
. . . ,
−
3
π,
−
2
π,
−
π,
0
, π,
2
π,
3
π, . . .
}
,
B
=
{
. . . ,
−
3
π,
−
5
π
2
,
−
2
π,
−
3
π
2
,
−
π,
−
π
2
,
0
,
π
2
, π,
3
π
2
,
2
π,
5
π
2
,
3
π, . . .
}
.
Jasno je da je
A
⊂
B,
pa je stoga
A
∩
B
=
A, A
∪
B
=
B
i
A
B
=
∅
.
Nadalje,
B
A
=
{
. . . ,
−
5
π
2
,
−
3
π
2
,
−
π
2
,
π
2
,
3
π
2
,
5
π
2
, . . .
}
.
7
