22. Skalarni proizvod vektora
Skalarni proizvod i njegova svojstva.
Skalarni proizvod nenultih vektora
a
i
b
naziva
se broj jednak proizvodu duina tih vektora i kosinusu ugla
ϕ
= (
a, b
)
izmeu njih. Skalarni
proizvod oznaqavamo sa
(1)
(
a, b
) =
|
a
||
b
|
cos(
a, b
) =
|
a
||
b
|
cos
ϕ.
Ako je jedan od vektora nulti vektor to je skalarni proizvod jednak nuli.
Pojasnimo fiziqki smisao skalarnog proizvoda. Neka na pravolinijskom delu puta
s
na
materijalnu taqku
M
deluje sila
F
, u pravcu pod uglom
ϕ
u odnosu na vektor
s
. Rad na putu
s
koji se ostvaruje
F
s
sile
F
, usmeren je paralelno vektoru
s
. Tada je
F
s
=
|
F
|
cos
ϕ s
0
, gde je
s
0
ort vektora
s
. Veliqina koja se tada ostvaruje je
|
F
s
|
=
|
F
|
cos
ϕ
. Tada rad sile
F
je
A
=
|
F
s
||
s
|
=
|
F
|
cos
ϕ
|
s
|
= (
F, s
)
.
Prema tome, skalarni proizvod vektora sile
F
i pomeranja
s
jednaka je radu sile.
Saglasno formuli (1.1)
|
b
|
cos
ϕ
=
pr
a
b
,
|
a
|
cos
ϕ
=
pr
b
a
, te stoga skalani proizvod dva vektora
a
i
b
moemo definisati na sledei naqin:
(2)
(
a, b
) =
|
a
|
pr
a
b
=
b
p
r
b
a.
Za skalarni proizvod vektora vae sledea svojstva:
1. Komutativnost:
(3)
(
a, b
) = (
b, a
)
,
tj. skalarni proizvod vektora ne zavisi od poredka qinilaca.
2. Asocijativnost:
(4)
(
λa, b
) =
λ
(
a, b
)
,
λ
∈
R,
tj. pri mnoenju vektora
λ
a
vektorom
b
brojni mnoilac
λ
moe se izneti ispred znaka
skalarnog proizvoda.
Imamo:
za
λ >
0 (
λa, b
) =
|
λa
||
b
|
cos
ϕ
=
λ
|
a
||
b
|
cos
ϕ
=
λ
(
a, b
)
;
za
λ <
0 (
λa, b
) =
|
λa
||
b
|
cos(
π
−
ϕ
) =
−|
λ
||
a
||
b
|
cos
ϕ
=
λ
(
a, b
)
.
1
2
3. Skalarni proizvod je distrubutivan u odnosu na sabiranje vektora:
(5)
(
a, b
+
c
) = (
a, b
) + (
a, c
)
.
Zaista, iz formule (2) i linearnim svojstvima projekcijevektora, dobijamo
(
a, b
+
c
) =
|
a
|
(
pr
a
b
+
pr
a
c
)
=
|
a
|
pr
a
b
+
|
a
|
pr
a
c
) = (
a, b
) + (
a, c
)
.
Koristei svojstva 2. i 3. dobijamo jednakost
(6)
(
λ
1
a
1
+
λ
2
a
2
+
· · ·
+
λ
k
a
k
, b
) =
λ
1
(
a
1
, b
) +
λ
2
(
a
2
, b
) +
· · ·
+
λ
k
(
a
k
, b
)
.
4. Nenulti vektori
a
i
b
su ortogonalni (normalni) tada i samo tada kada je njihov skalarni
proizvod jednak nuli, tj.
(7)
a
⊥
b
⇔
(
a, b
) = 0
.
Taqnost relacije (7) proizilazi neposredno is definicije skalarnog proizvoda. Ta relacija
je uslov ortogonalnosti ili normalnosti dva vektora.
5.
a
·
b
⇔
(
a, b
) =
|
a
||
b
|
,
a
↑↓
b
⇔
(
a, b
) =
−|
a
||
b
|
.
Svojstvo 5. je oqigledno jer je
cos 0
0
= 1
, a
cos
π
=
−
1
.
6.
(
a, a
) =
|
a
|
2
.
Skalarni proizvod
(
a, a
)
naziva se skalarnim kvadratom vektora
a
i oznaqva se sa
a
2
.
7.
(
a, b
)
>
0
⇔
0
< ϕ < π/
2
;
(
a, b
)
<
0
⇔
π/
2
< ϕ < π
.
Iz jednakosti (1) i (2)dobija se formula za izraqunavanje kosinusa ugla izmeu vektora
a
i
b
i projekcije vektora
b
na vektor
b
:
cos(
a, b
) =
(
a, b
)
|
a
||
b
|
;
pr
a
b
=
(
a, b
)
|
a
|
.
(8)
Primer 1.
Znajui da je
|
a
|
= 4
,
|
b
|
= 5
,
∠
(
a, b
) =
π
3
, nai
(3
a
+
b,
5
a
−
2
b
)
Saglasno formuli (35) imamo
(3
a
+
b,
5
a
−
2
b
) =15
a
2
+ 5(
b, a
)
−
6(
a, b
)
−
2
b
2
=15
|
a
|
2
−
(
a, b
)
−
2
|
b
|
2
=16
·
16
− |
a
||
b
|
cos(
π/
3)
−
2
·
25
=180
.
Primer 2.
Dokazati da je vektor
p
= (
a, c
)
b
−
(
a, b
)
c
ortonalan na vektor
a
.
Saglasno uslovu ortogonalnosti (36), treba proveriti relaciju
(
p, a
) = 0
. Imamo
(
p, a
) =((
a, c
)
b
−
(
a, b
)
c, a
)
=(
a, c
)(
b, a
)
−
((
a, b
)(
c, a
)
=(
a, c
)(
a, b
)
−
(
a, b
)(
a, c
)
=0
.
Primer 3.
Kakav ugao
ϕ
grade (obrazuju) nenulti vektori
a
i
b
, ako je poznato da
(
a
+
3
b
)
⊥
(7
a
−
5
b
)
,
(
a
−
4
b
)
⊥
(7
a
−
2
b
)
i
|
a
|
=
|
b
|
?
