UNIVERZITET U KRAGUJEVCU
PRIRODNOMATEMATI^KI FAKULTET
M. Stani}
•
S. Dimitrijevi}
•
S. Simi}
•
D. Bojovi}
FUNKCIONALNA ANALIZA
Zbirka zadataka
KRAGUJEVAC
2007
Glava 1
Metri~ki i normirani
prostori
1.1 Pregled teorije
Metri~ki prostori
D
EFINICIJA
1.1.
Preslikavawe
d
:
X
×
X
→
[0
,
+
∞
)
je
metrika
na
skupu
X
6
=
∅
, ako za svako
x, y, z
∈
X
va`i:
(M1)
d
(
x, y
) = 0
⇔
x
=
y
,
(M2)
d
(
x, y
) =
d
(
y, x
)
,
(M3)
d
(
x, y
)
⩽
d
(
x, z
) +
d
(
z, y
) (
nejednakost trougla
)
.
Prostor
X
na kome je definisana metrika
d
zove se
metri~ki pros-
tor
i ozna~ava sa
(
X, d
)
, ili kra}e samo sa
X
kada podrazumevamo o kojoj
se metrici
d
radi. Ako prvi uslov zamenimo slabijim uslovom
(M1')
x
=
y
⇒
d
(
x, y
) = 0
,
tada se preslikavawe
d
zove
pseudometrika
.
Iz definicije jednostavno slede osobine metrike:
(1)
d
(
x
1
, x
n
)
⩽
n
−
1
P
i
=1
d
(
x
i
, x
i
+1
)
,
x
i
∈
X
(nejednakost mnogougla);
(2)
|
d
(
x, y
)
−
d
(
y, z
)
|
⩽
d
(
z, x
)
;
(3)
|
d
(
x, y
)
−
d
(
u, v
)
|
⩽
d
(
x, u
) +
d
(
y, v
)
(nejednakost ~etvorougla).
5
GLAVA 1. METRI^KI I NORMIRANI PROSTORI
7
Navedimonekolikokarakteristi~nihprimerametri~kihprostora
koje }emo koristiti u daqem radu. ^itaocu ostavqamo za samostalni
rad da poka`e da su sve metrike dobro definisane.
P
RIMER
1.1.
X
=
K
n
,
K
∈ {
R
,
C
}
, sa elementima
x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
,
x
i
∈
K
,
i
= 1
, . . . , n
. U ovom prostoru defini{emo metrike:
d
p
(
x, y
) =
Ã
n
X
i
=1
|
x
i
−
y
i
|
p
!
1
/p
,
1
⩽
p <
∞
,
d
∞
(
x, y
) = max
1
⩽
i
⩽
n
|
x
i
−
y
i
|
.
Neposredno se proverava da va`i:
d
∞
(
x, y
)
⩽
d
p
(
x, y
)
⩽
n
1
/p
d
∞
(
x, y
)
,
lim
p
→
+
∞
d
p
(
x, y
) =
d
∞
(
x, y
)
.
U slu~aju
p
= 2
dobijamo standardnu Euklidsku metriku.
P
RIMER
1.2.
X
=
ℓ
p
,
1
⩽
p <
+
∞
, prostor svih beskona~nih real-
nih ili kompleksnih nizova
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . .
)
, takvih da
+
∞
P
i
=1
|
x
i
|
p
konvergira. Metriku defini{emo sa
d
(
x, y
) =
Ã
+
∞
X
i
=1
|
x
i
−
y
i
|
p
!
1
/p
.
P
RIMER
1.3.
X
=
m
prostorsvihograni~enihnizova, tj.prostorsvih
nizova
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . .
)
, takvih da je
sup
i
∈
N
|
x
i
|
<
+
∞
. Metrika
je data sa
d
(
x, y
) = sup
i
∈
N
|
x
i
−
y
i
|
.
Na isti na~in defini{emo metriku u prosoru
X
=
c
, prostoru konver-
gentnih nizova i u
X
=
c
0
, prostoru nizova koji konvergiraju ka nuli.
Va`i
c
0
⊂
c
⊂
m
.
P
RIMER
1.4.
X
=
s
prostor svih beskona~nih realnih ili kompleksnih
nizova. Metriku defini{emo sa
d
(
x, y
) =
+
∞
X
i
=1
1
2
i
|
x
i
−
y
i
|
1 +
|
x
i
−
y
i
|
.
