NUMERI ˇ
CKE METODE
Univerzitetski udˇ
zbenik
Autori:
dr Miodrag Spalevi´c
, vanredni profesor PMF-a u Kragujevcu
dr Miroslav Prani´c
, viˇsi asistent PMF-a u Banjaluci
Recenzenti:
dr Boˇsko Jovanovi´c
,
redovni profesor Matematiˇckog fakulteta u Beogradu
dr Gradimir Milovanovi´c
,
redovni profesor Elektronskog fakulteta u Niˇsu,
dopisni ˇclan SANU
Izdavaˇ
c:
Prirodno–matematiˇcki fakultet u Kragujevcu
www.pmf.kg.ac.yu
Za izdavaˇ
ca:
Prof. dr Radoslav ˇ
Ziki´c
, dekan
Slog:
autori
ˇ
Stampa:
“SKVER”, Kragujevac
Tiraˇ
z:
200 primeraka
ISBN
978–86–81829–84-4
mo´cu nekog savremenog programskog sistema. Deo rezultata koji se navode
u primerima u ovoj knjizi, dobili smo koriˇs´cenjem programskog jezika
For-
tran
i/ili programskog sistema
Matlab
. Autorima je od posebne pomo´ci
u pisanju ovog udˇzbenika bila literatura koja se navodi na kraju.
Prva glava je uvodnog karaktera, daje kratak pregled razvoja numeriˇcke
matematike, kao i osnovnih pojmova vezanih za ovu oblast matematike.
Posebno su obradene osnove teorije greˇsaka. Izloˇzene su u kratkim crtama
osnove o uslovljenosi kako algoritma, tako i samog problema koji se reˇsava,
a sve u svetlu reˇsavanja datog numeriˇckog problema na raˇcunaru.
Druga glava se bavi problemima u linearnoj algebri, kako direktnim tako i
indirektnim iterativnim metodama za reˇsavanje sistema linearnih jednaˇcina.
Osnovni problemi interpolacije funkcije pomo´cu Lagrangeovog, Newto-
novih i Hermiteovog interpolacionog polinoma razmatraju se u tre´coj glavi.
Dodate su i osnove numeriˇckog diferenciranja.
U ˇcetvrtoj glavi se razmatraju nelinearne jednaˇcine i sistemi nelinearnih
jednaˇcina i poznate iterativne metode za njihovo pribliˇzno reˇsavanje.
U petoj glavi je opisana veoma poznata i ˇcesto upotrebljavana metoda
najmanjih kvadrata.
ˇSesta glava je posve´cena pribliˇznom izraˇcunavanju odredenog integrala,
ili kako se ˇcesto kaˇze numeriˇckoj integraciji.
Konaˇcno, sedma glava je posve´cena problemima pribliˇznog reˇsavanja obi-
ˇcnih diferencijalnih jednaˇcina. Posebno su tretirane numeriˇcke metode Runge-
Kutta i linearni viˇsekoraˇcni metodi.
Autori se nadaju da ´ce knjiga biti od koristi studentima kojima je name-
njena, ali i svima onima koji koriste numeriˇcke metode u svojim istraˇzivanjima.
Autori se zahvaljuju recenzentima dr Boˇsku Jovanovi´cu (redovni profesor
Matematiˇckog fakulteta u Beogradu) i dr Gradimiru Milovanovi´cu (redovni
ii
profesor Elektronskog fakulteta u Niˇsu, dopisni ˇclan SANU) na korisnim
sugestijama. Njihove primedbe su doprinele poboljˇsanju prve verzije ovog
rukopisa.
Unapred se zahvaljujemo svim ˇcitaocima koji nam ukaˇzu na eventualne
propuste u tekstu, kako bismo iste u narednom izdanju ove knjige korigovali.
Kragujevac/Banjaluka, 2007. godine
Autori
iii
Sadrˇ
zaj
Predgovor
i
1 Elementi teorije greˇsaka
1
1.1 Uvodni pojmovi o numeriˇckoj matematici . . . . . . . . . . .
1
1.2 Pojam i vrste greˇsaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3 Pribliˇzni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.1
Reprezentacija realnih brojeva u raˇcunaru . . . . . . . 12
1.4 Greˇske pribliˇznih vrednosti funkcija . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Obratan (inverzan) problem greˇske . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Uslovljenost problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Sistemi linearnih jednaˇ
cina
40
2.1 Gaussove eliminacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 LU faktorizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Numeriˇcka svojstva Gaussovih eliminacija . . . . . . . . . . . 53
2.4 Teorija perturbacije linearnog sistema . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5 Faktorizacija Choleskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6 QR faktorizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6.1
Householderova refleksija . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6.2
Givensova rotacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7 Iterativne metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
v
