Čučković M. Miroslav Milinković M. Vukomir
Lazić D. Katarina, urednica Nikolić D. Slobodan, recenzent
FIZIKA
Osnovi teorije i rešeni zadaci
Beograd, 2011.
µ
Cuµckovi´c M.Miroslav,
Milinkovi´c M.Vukomir
Fizika Rešeni zadaci
Knjiga za samostalno pripremanje ispita
1
Vektorska algebra
Odre†enu
duµzinu
, odre†eno
vreme
, odre†enu
temperaturu
ili odre†eni
rad
nazivamo
skalarnim
veliµcinama
i moµzemo ih prikazati
brojem
na mernoj
skali.
Na primer,
7
m
3
h
(µcasa)
37
C
27
J
(dµzula). Me†utim,
za odre†ivanje veliµcina kao što su
sila
ili
brzina nije
dovoljan samo
broj ve´c je potrebno
de…nisati i njihov
pravac
ili ostale karakteristike. To postiµzemo primenom
vektora
koji su naziv dobili od
latinskih
reµci
veho
,
vectum
, odnosno
nositi
ili
pomerati
.
Vektorske
i
skalarne
veliµcine
ne mogu
se
me†usobno sabirati
ili
izjednaµcavati
jer su po svojoj
prirodi
razliµcite
. U
izuzetnom
sluµcaju kada su vrednosti
vektora
i
skalara jednaki nuli
, tada se ove veliµcine mogu
izjednaµcavati
.
Vektor
obeleµzavamo tako što
iznad
slovnih oznaka stavimo
strelicu
. Za obeleµzavanje
poµcetka
ili
kraja
duµzi koristimo
dva velika
slova ili
jedno malo
slovo. Na primer
!
A B
=
!
a
!
C D
=
!
c
!
O M
=
!
m
Brojnu vrednost vektora
nazivamo
intenzitet
.
Ort
je
vektor
kome je
intenzitet
jednak
jedinici
pa
k
→
j
→
i
→
y
z
x
0
zato
ort
nazivamo i
jediniµcnim vektorom
. U
pravouglom
koordinatnom
sistemu
jediniµcne vektore
ili
ortove
obeleµzavamo sa
!
i
u pravcu
x
ose
!
j
u pravcu
y
ose
!
k
u
pravcu
z
ose.
Ort
µcesto obeleµzavamo sa
indeksom
0
ili
!
a
0
!
n
0
Vektori
mogu biti
vezani
za
taµcku
ili za
pravu
duµz koje se mogu
pomerati
.
Vektore
koji se mogu
pomerati
paralelno
svom
prvobitnom
pravcu
su
slobodni vek-
tori.
Skup svih slobodnih vektora
oznaµcavamo sa
!
V
Vektor je odre†en pravcem, smerom i intenzitetom
A
B
a
→
A
B
a
→
2
a
→
3
A
B
B
A
a
→
2
−
B
A
a
→
−
Ako
vektor
!
a
ima
poµcetnu
taµcku
A
i
krajnju
taµcku
B
tada
prava
na
kojoj se nalazi duµz
!
AB
odre†uje
pravac
vektora
!
a
koji ima
smer
od
taµcke
A
ka taµcki
B
Merni broj
ili
duµzina
duµzi
!
AB
je
intenzitet
vekt-
ora
!
a
Intenzitet vektora
!
a
oznaµcavamo sa
j
!
a
j
Slobodni vektor
koji
ima
intenzitet jednak nuli
nazivamo
nula vektor
koji oznaµcavamo sa
!
0
Nula vektor nema odre†en pravac
i
smer
jer su oni
proizvoljni
Slobodni vektor
koji ima
intenzitet
jednak
jedinici
nazivamo
jedini
-
µcni vektor
ili
ort
.
Jediniµcni vektor
ima
pravac
i
smer vektora
!
a
i
oznaµcavamo ga sa
!
a
0
Slobodni vektor
koji ima
pravac
i
intenzitet jednak pravcu
i
intenzitetu vektora
!
a
i
suprotan smer,
nazivamo
suprotni
vektor
vektora
!
a
koji se oznaµcava sa
!
a
a
→
a
→
−
Ako imaju
isti
pravac, smer
i
intenzitet,
tada za
dva
ili više
vektora
kaµzemo da su
jednaki
a
→
a
→
a
→
b
→
a
→
b
→
c
→
=
+
a
→
b
→
a
→
b
→
c
→
=
+
Ako se
kraj
vektora
!
a
poklapa
sa
poµcetkom
vektora
!
b
tada
zbir
vektora
!
a
i
vektora
!
b
iznosi
!
c
=
!
a
+
!
b
gde je
!
c
tre´ci vektor
.
Vektori
!
a
!
b
!
c
grade
trougao
pa zato prethodnu de…niciju nazi-
vamo i
pravilo trougla
.
a
→
b
→
c
→
a
→
b
→
+
a
→
b
→
c
→
+
+
Ako
saberemo vektore
!
a
i
!
b
a zatim njihov
zbir
!
a
+
!
b
saberemo
sa
vektorom
!
c
tada dobijamo
ukupni zbir vektora
, odnosno
!
a
+
!
b
+
!
c
Rezultantni
ili
zbi
-
rni vektor
!
a
+
!
b
+
!
c
ima
zajedniµcki poµcetak
sa
vektorom
!
a
i
zajedniµcki za
-
vršetak
sa
vektorom
!
c
Ako se
kraj
jednog
vektora poklapa
sa
poµcetkom
dru-
gog
vektora
, tada za takve
vektore
kaµzemo da su
nadovezani vektori
.
µ
Cuµckovi´c M.Miroslav,
Milinkovi´c M.Vukomir
Fizika Rešeni zadaci
Knjiga za samostalno pripremanje ispita
3
a
→
b
→
→
→
b
a
−
→
b
−
→
→
b
a
−
Razliku
vektora
!
a
i
!
b
dobijamo
sabiranjem vektora
!
a
i
!
b
odnosno
!
a
!
b
=
!
a
+
!
b
Vektor
!
b
je
nadovezan
na
vektor
!
a
Vektor
!
a
!
b
poµcinje
u
istoj taµcki
gde
poµcinje
i
vektor
!
a
i
završava
u
istoj taµcki
gde
završava
i
vektor
!
b
koji je
nadovezan
na
vektor
!
a
Razliku
vektora
!
a
i
!
b
moµzemo dobiti ako oba
vektora
prikaµzemo tako da imaju
poµcetak
u
istoj
taµcki kada
spajanjem
njihovih
vrhova
dobijamo njihovu
razliku
, odnosno
vektor
!
a
!
b
što je prikazano
isprekidanim
linijama.
Koordinatni sistemi
Dekartov
koordinatni sistem
obrazuje
ure†en
skup
tri
ose koje imaju poµcetak u
de…nisanoj
ili utvr†enoj
taµcki
0
i koje su
me†usobno
normalne. Ose
Dekartovog
koordinatnog sistema obeleµzavamo redom
x y z
Jednaµcine
vektora
ili
ortove
osa
x y z
obeleµzavamo redom
!
i
!
j
!
k
k
→
j
→
i
→
y
z
x
0
x
z
y
0
j
→
i
→
k
→
U upotrebi su:
desni
i
levi
koordinatni sistem
Koordinatni sistem
x; y; z
je
desni
ako
pogledom sa vrha
vektora
!
k
rotacija vektora
!
i
najkra´cim putem ka vektoru
!
j
ima suprotan smer
od smera kretanja kazaljke na satu.
Koordinatni sistem
x; y; z
je
levi
ako
pogledom
sa vrha
vektora
!
k
rotacija vektora
!
i
najkra´cim
pu-
tem ka
vektoru
!
j
ima isti smer kao smer kretanja
kazaljke na satu.
Uzajamno
normalne
ravni
x
0
y y
0
z z
0
x
koje sadrµze odgovaraju´ce koordinatne ose nazivamo
koordinatnim
ravnima.
Taµcku
0
nazivamo koordinatnim poµcetkom.
Koordinatne ravni dele prostor
na
osam delova
koje
y
z
x
0
j
→
i
→
k
→
a
x
a
z
a
y
A
a
→
nazivamo
oktantima
.
Projekcije
vektora
!
a
µcije su
koordi
-
nate
a
x
a
y
a
z
na koordinatne ose
x y z
nazivamo
pravou
-
gle koordinate vektora
!
a
koji obeleµzavamo sa
!
a
=
a
x
!
i
+
a
y
!
j
+
a
z
!
k
ili
(
!
a
)
f
a
x
a
y
a
z
g
gde su
vektori
a
x
!
i a
y
!
j a
z
!
k
komponente
vektora
!
a
po osama
x y z
Vektor
sa
poµcetkom
u koordinatnom poµcetku
0
i
krajem
u taµcki
A
ili
!
a
=
!
0
A
nazivamo
vektor poloµzaja
taµcke
A
Koordinate taµcke
A
odnosno
A
(
x; y; z
)
su koordinate
vektora poloµzaja
!
0
A
= (
x; y; z
)
Poloµzaj
taµcke
A
u
prostoru
odre†en je njenim
vektorom poloµzaja
A
(
!
a
)
ili
koordinatama
A
(
x; y; z
)
Prvu koordinatu
taµcke
A
nazivamo
apscisa
taµcke
A
Drugu koordinatu
taµcke
A
nazivamo
ordinata
taµcke
A
Tre´cu koordinatu
taµcke
A
nazivamo
aplikata
taµcke
A
Uglove
koje gradi
vektor
!
a
sa
pozitivnim smerovima
koordinatnih osa
0
x
0
y
0
z
obeleµzavamo sa
Jediniµcni vektori
!
i
!
j
!
k
imaju
koordinate
!
i
= (1
;
0
;
0)
!
j
= (0
;
1
;
0)
!
k
= (0
;
0
;
1)
••
Ako znamo
koordinate vektora
!
a
=
a
x
!
i
+
a
y
!
j
+
a
z
!
k
tada moµzemo odrediti
intenzitet
j
!
a
j
vektora
!
a
odnosno
duµzinu dijagonale
0
A
pravouglog paralelopipeda.
Primenom formula za
skalarni proizvod
jediniµcnih vektora
dobijamo
j
!
a
j
=
p
!
a
!
a
=
q
a
x
!
i
+
a
y
!
j
+
a
z
!
k
a
x
!
i
+
a
y
!
j
+
a
z
!
k
=
=
q
a
x
a
x
!
i
!
i
+
a
x
a
y
!
i
!
j
+
a
x
a
z
!
i
!
k
+
a
y
a
x
!
j
!
i
+
a
y
a
y
!
j
!
j
+
a
y
a
z
!
j
!
k
+
a
z
a
x
!
k
!
i
+
a
z
a
y
!
k
!
j
+
a
z
a
z
!
k
!
k
µ
Cuµckovi´c M.Miroslav,
Milinkovi´c M.Vukomir
Fizika Rešeni zadaci
Knjiga za samostalno pripremanje ispita
4
=
p
a
x
a
x
1 + 0 + 0 + 0 +
a
y
a
y
1 + 0 + 0 + 0 +
a
z
a
z
1 =
q
a
2
x
+
a
2
y
+
a
2
z
ili
j
!
a
j
=
q
a
2
x
+
a
2
y
+
a
2
z
Intenzizet vektora
!
a
moµzemo odrediti i slede´cim postupkom
Odseµcak
ili
poteg
0
A
koji povezuje
poµcetak pravouglog
koordinatnog sistema
0
x y z
sa taµckom
A
(
x; y; z
)
y
z
x
0
a
x
a
z
a
y
A
a
→
γ
β
α
A
′
posmatra se uvek kao
pozitivna
i
orijentisana
veliµcina.
(0
A
0
)
2
=
a
2
x
+
a
2
y
A A
0
=
a
z
pa je
(
!
a
)
2
= (0
A
)
2
= (0
A
0
)
2
+ (
A A
0
)
2
=
a
2
x
+
a
2
y
+
a
2
z
odnosno
j
!
a
j
=
q
a
2
x
+
a
2
y
+
a
2
z
Kako je
a
x
j
!
a
j
= cos
a
y
j
!
a
j
= cos
a
z
j
!
a
j
= cos
onda
kosinuse
uglova
odre†ujemo primenom formula
cos
=
a
x
j
!
a
j
=
a
x
q
a
2
x
+
a
2
y
+
a
2
z
cos
=
a
y
j
!
a
j
=
a
y
q
a
2
x
+
a
2
y
+
a
2
z
cos
=
a
z
j
!
a
j
=
a
z
q
a
2
x
+
a
2
y
+
a
2
z
Kvadriranjem i sabiranjem dobijamo
cos
2
+ cos
2
+ cos
2
=
a
2
x
j
!
a
j
2
+
a
2
y
j
!
a
j
2
+
a
2
z
j
!
a
j
2
=
a
2
x
+
a
2
y
+
a
2
z
j
!
a
j
2
=
a
2
x
+
a
2
y
+
a
2
z
a
2
x
+
a
2
y
+
a
2
z
= 1
Proizvod skalarne i vektorske veliµcine
Prema
drugom Njutnovom
zakonu vaµzi formula
!
F
=
m
!
a
gde je:
m
masa
, odnosno
uvek pozitivna skalarna …ziµcka
veliµcina
!
a
ubrzanje
, odnosno
vektorska
veliµcina
!
F
sila
, odnosno
vektorska
veliµcina
Proizvod skalarne
veliµcine
m
i
vektorske
veliµcine
!
a
je
vektorska
veliµcina
!
F
koja ima
pravac vektorske
veliµcine
!
a
i
smer
koji
zavisi
od
znaka skalarne
veliµcine
m
Sliµcno dobijamo i u drugim sluµcajevimna
Skalarni ili unutrašnji proizvod vektora
Vektor
moµzemo
mnoµziti skalarom
kada
vektor menja
samo
intenzitet
ali zadrµzava
isti pravac
, odnosno
s
→
α
F
→
1
F
→
2
F
→
pravac orta
ostaje
isti
. Na
elementarnom primeru
iz
…zike
pokaµzimo
jednostavnost
dobijanja
skalarnog proizvoda vek
-
tora
.
Rad sile
!
F
na
putu
!
s
iznosi
A
=
!
F
1
!
s
=
!
F
cos
!
s
=
!
F
!
s
cos
=
!
F
!
s
cos
!
F ;
!
s
gde je
ugao
koji grade
pravci
sile
!
F
i puta
!
s
Izvršeni
rad
A
je
skalarna
veliµcina.
Prema de…niciji
skalarnog proizvoda vektora
dobijamo
!
a
!
b
=
a b
cos
!
a ;
!
b
=
a b
cos
!
a ;
!
b
|
{z
}
pro jekcija
!
a
!
b
=
a
projekcija
!
a
!
b
!
a
!
b
=
a b
cos
!
a ;
!
b
=
b a
cos
!
a ;
!
b
|
{z
}
pro jekcija
!
b
!
a
=
b
projekcija
!
b
!
a
0
A
B
α
a
→
b
→
pa je skalarni proizvod vektora jednak proizvodu intenziteta jednog vektora
i projekcije drugog vektora na pravac prvog. Skalarni proizvod vektora
!
a
i
!
b
je skalarna veliµcina (skalar) ili realni broj, odnosno
!
a
!
b
=
j
!
a
j j
!
b
j
cos
=
j
!
a
j j
!
b
j
cos
!
a ;
!
b
gde je
ugao koji grade vektori
!
a
i
!
b
µ
Cuµckovi´c M.Miroslav,
Milinkovi´c M.Vukomir
Fizika Rešeni zadaci
Knjiga za samostalno pripremanje ispita
6
gde je
!
n
0
jediniµcni vektor
vektora
!
c
Pravac vektora
!
c
je
normalan
na
ravan
odre†enu
vektorima
!
a
i
!
b
Smer vektora
!
c
=
!
a
!
b
u odnosu na
vektore
!
a
i
!
b
odre†en je tako da
vektori
!
a
!
b
i
!
c
=
!
a
!
b
grade
trijedar desne
orijentacije, odnosno
vektori
!
a
!
b
i
!
c
µcine
desni
sistem
vektora
.
k
→
j
→
i
→
0
a
→
b
→
c
→
c
→
b
→
a
→
× =
Desni sistem vektora
j
→
i
→
k
→
0
c
→
−
b
→
a
→
× = −
b
→
a
→
×
=
(
)
c
→
−
Levi sistem vektora
a
→
b
→
Ako vektori
!
a
i
!
b
zamene
mesta, tada
po
-
vršina paralelograma
ostaje
ista
j
!
a
!
b
j
=
j
!
b
!
a
j
ali
triedar
postaje
levo
orijentisan
pa je
smer
vektora
!
b
!
a
su
-
protan
od
smera
vektora
!
a
!
b
odnosno
!
a
!
b
=
!
b
!
a
Ako su vektori
!
a
i
!
b
paralelni
i ako je
!
a
6
= 0
!
b
6
= 0
tada njihovi
pravci
grade
ugao
0
pa je
sin 0 = 0
!
a
!
b
= 0
!
a
6
= 0
!
b
6
= 0
!
a
jj
!
b
Za odre†ivanje
vektorskog proizvoda vektora
, zadatih njihovim koordinatama treba odrediti
vektorske pr
-
oizvode jediniµcnih vektora
!
i
!
j
!
k
Odredimo prvo
!
i
!
j
!
j
!
k
!
k
!
i
gde su
!
i
!
j
!
k
jediniµcni uzajamno normalni vektori
koji gra-
de
desni sistem vektora
. Primenom formule za
vektorski proizvod vektora
dobijamo
!
i
!
j
=
j
!
i
j j
!
j
j
sin
^
(
!
i ;
!
j
)
!
k
= 1 1 sin 90
!
k
=
!
k
!
j
!
k
=
j
!
j
j j
!
k
j
sin
^
(
!
j ;
!
k
)
!
i
= 1 1 sin 90
!
i
=
!
i
!
k
!
i
=
j
!
k
j j
!
i
j
sin
^
(
!
k ;
!
i
)
!
j
= 1 1 sin 90
!
j
=
!
j
Istim naµcinom formirajmo tabelu
vektorskih proizvoda jediniµcnih vektora
za
desni
i
levi sistem vektora
.
!
i
!
i
= 0
!
i
!
j
=
!
k
!
i
!
k
=
!
j
!
j
!
i
=
!
k
!
j
!
j
= 0
!
j
!
k
=
!
i
!
k
!
i
=
!
j
!
k
!
j
=
!
i
!
k
!
k
= 0
Ako su
vektori
!
a
i
!
b
zadati
koordinatama
!
a
=
a
x
!
i
+
a
y
!
j
+
a
z
!
k
!
b
=
b
x
!
i
+
b
y
!
j
+
b
z
!
k
tada primenom
tablice
vektorskog mnoµzenja jediniµcnih vektora
dobijamo
!
a
!
b
= (
a
x
!
i
+
a
y
!
j
+
a
z
!
k
)
(
b
x
!
i
+
b
y
!
j
+
b
z
!
k
)
=
a
x
b
x
!
i
!
i
| {z }
0
+
a
y
b
x
!
j
!
i
| {z }
!
k
+
a
z
b
x
!
k
!
i
| {z }
!
j
+
a
x
b
y
!
i
!
j
| {z }
!
k
+
a
y
b
y
!
j
!
j
| {z }
0
+
a
z
b
y
!
k
!
j
| {z }
!
i
+
+
a
x
b
z
!
i
!
k
| {z }
!
j
+
a
y
b
z
!
j
!
k
| {z }
!
i
+
a
z
b
z
!
k
!
k
| {z }
0
= (
a
y
b
z
a
z
b
y
)
!
i
+ (
a
z
b
x
a
x
b
z
)
!
j
+ (
a
x
b
y
a
y
b
x
)
!
k
= (
a
y
b
z
a
z
b
y
)
!
i
(
a
x
b
z
a
z
b
x
)
!
j
+ (
a
x
b
y
a
y
b
x
)
!
k
=
a
y
a
z
b
y
b
z
!
i
a
x
a
z
b
x
b
z
!
j
+
a
x
a
y
b
x
b
y
!
k
=
!
i
!
j
!
k
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
