1
VISOKA TEHNI^KA [KOLA
STRUKOVNIH STUDIJA
PO@AREVAC
MILORADOVI] MIROQUB
P R E D A V A W A
I Z
B I O S T A T I S T I K E
SA RE[ENIM ZADACIMA
AUTORIZOVANA SKRIPTA
PO@AREVAC
2
Umesto predgovora
Predmet Biostatistika predaje se na odsecima Za{tita `ivotne
sredine i poqoprivrednom od {kolske 2003/04 godine, a kao predmet
uvodi se i na Poqoprivrednom odseku. Ne postoji uxbenik pisan
prema planu i programu tog predmeta, pa ovaj materijal ima kao svoju
namenu pomo} stdentima da lak{e savladaju predvi|enu materiju.
Predavawa su pisana pomo}u raspolo`ivih uxbenika na na{em
jeziku. Strogost izlagawa je bila ograni~ena matemati~kim
predznawem slu{alaca. Naime, kao priprema za Biostatistiku
slu`i teskoban jednosemestralni kurs Matematike. No i pored toga,
brojni re{eni primeri u ovom materijalu pomo}i }e budu}im
in`ewerima Vi{e tehni~ke {kole da na osnovu podataka
prikupqenih posmatrawem ili merewem, sa uspehom prate, uo~avaju
pravilnosti i predla`u najracionalnija re{ewa za mnogobrojne
probleme u svom budu}em stru~nom radu
Autorizovanu skriptu Predavawa iz Biostatistike imali su na
uvid ~lanovi komisija koji su napisali pozitivne Referate za moje
izbore u zvawa profesora za predmete Biostatistika, Matemati~ko
modelirawe eko sistema i GIS i Matematika. Evo mi{qewa o
kvalitetu ovog materijala.
,,U skriptama Predavawa iz Biostatistike autor je obradio vrlo
slo`enu materiju vezanu za podru~je Verovatno}e i Statistike na
pregledan na~in {to omogu}uje studentima da koriste}i ovu skriptu
savladaju osnove statistike”.
,,Publikovawe ovih skripti zna~ajno doprinosi studentima da
lak{e savladaju predvi|enu materiju. Skripta su pisana jasnim i
preciznim jezikom i daju ve}i broj re{enih problema, koji }e
zna~ajno pomo}i budu}im in`ewerima Za{tite `ivotne sredine da
uo~avaju pravilnosti i predla`u najracionalnija re{ewa za
mnogobrojne probleme u oblasti za{tite `ivotne sredine”.
Gre{ke u ovom materijalu su samo moje, a zahvalnost dugujem pre
svega studentima koji se trude da pomo}u wega spreme i polo`e ispit
~ime se pripremaju za prakti~nu primenu znawa koje }e ste}i iz
stru~nih predmeta.
Po`arevac
Predmetni nastavnik
02.2013. godine
Miloradovi} Miroqub
4
SADR@AJ
1
KOMBINATORIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1
Permutacije
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Varijacije
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3
Kombinacije
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4
Binomni obrazac
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1`2
1.5
Zadaci
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2
BAZNI KONCEPT TEORIJE VEROVATNO]E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
7
2.1 Slu~ajni doga|aj. Algebra doga|aja
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
7
2.2 Poqe doga|aja. Verovatno}a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.3 Osobine verovatno}e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.4 Uslovna verovatno}a. Nezavisnost doga|aja . . . . . . . . . . . . . .
25
2.5 Formula potpune verovatno}e. Bajesova formula
. . . . . . . . . . 2
7
2.6 Zadaci
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
9
3
JEDNODIMENZIONALNA SLU^AJNA PROMENQIVA . . . . . . . . . . . . . .
30
3.0 Uvod
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.1 Slu~ajne promenwive diskretnog tipa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.2 Slu~ajne promenqive neprekidnog tipa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.3 Neki zakoni raspodela verovatno}a slu~ajnih promenqivih
diskretnog
tipa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6
3.4
Neki zakoni raspodela verovatno}a slu~ajnih promenqivih
neprekidnog tipa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.5 Matemati~ko o~ekivawe slu~ajnih promenqivih
. . . . . . . . . . .
43
3.6 Disperzija slu~ajne promenqive
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
8
3.7 Transformacija slu~ajne promenqive
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.8 Kori{}ewe tablica nekih raspodela
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.9 Zadaci
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
8
4
VI[EDIMENZIONALNE SLU^AJNE PROMENQIVE . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.1 Dvodimenzionalne slu~ajne promenqive diskretnog tipa
. .
60
4.2 Zakon raspodele verovatno}a dvodimenzionalne slu~ajne
promenqive diskretnog tipa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.3
Funkcija raspodele verovatno}a dvodimenzionalne slu~ajne
promenqive diskretnog tipa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2
4.4
Nezavisnost slu~ajnih promenqivih
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.5
Transformacija dvodimenzionalne slu~ajne promenqive
diskretnog tipa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.6
Brojne karakteristike dvodimenzionalne diskretne slu~ajne
promenqive
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6
4.7
Pojam linearne regresije
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
9
4.8
Pojam
n
-dimenzionalne slu~ajne promenqive
. . . . . . . . . . . . . . .
71
4.9
Zadaci
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
5
GRANI^NE TEOREME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3
5.1 Zakoni velikih brojeva
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
5.2 Centralna grani~na teorema . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6
5.3
Aproksimacija binomne raspodele normalnom raspodelom
7
8
5.4 Zadaci
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
5
6
OSNOVNI POJMOVI MATEMATI^KE STATISTIKE . . . . . . . . . . . . . . .
81
6.0
Uvod
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
6.1 Populacija. Obele`je. Uzorak
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
6.2 Raspodela obele`ja. Centralna teorema matemati~ke
statistike
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4
6.3 Predstavqawe obele`ja populacije na osnovu podataka
. . . .
85
6.4 Formirawe i grafi~ko predstavqawe distribucije
grekvencija
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
8
6.5 Neke statistike
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
6.6 Raspodele nekih statistika
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 9
9
7
STATISTI^KA OCENA NEPOZNATIH PARAMETARA
OSNOVNOG SKUPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
7.0 Pojam statisti~ke ocene. Vrste ocena
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
7.1 Kriterijumi izbora ta~kaste ocene parametara
. . . . . . . . . . . . . 10
6
7.2
Osnovne metode za dobijawe ta~kaste ocene
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1
11
7.3
Intervalne ocene parametara raspodele
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
15
7.4
Odre|ivawe obima uzorka
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
21
8
TESTIRAWE STATISTI^KIH HIPOTEZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
24
8.0 Statisti~ka hipoteza. Statisti~ki test
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
24
8.1
Testirawe parametarskih hipoteza
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6
Testirawe hipoteze o sredwoj vrednosti osnovnog skupa
pri poznatoj varijansi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6
Testirawe hipoteze o sredwoj vrednosti osnovnog skupa
kada varijansa nije poznata
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
30
Testirawe hipoteze
(
)
0
1
2
H
m
m
=
pri nepoznatim
disperzijama
2
1,2
σ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
32
Testirawe hipoteze o disperziji
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
35
Testirawe hipoteze o jednakosti disperzija
dva osnovna skupa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7
8.2
Testovi slobodni od raspodele
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13
9
Pirsonov
2
χ
test za proveru hipoteze o raspodeli
osnovnog skupa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
9
2
χ
test za testirawe hipoteze o nezavisnosti dva obele`ja
1
45
Test Kolmogorova i Smirnova
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7
9
LINEARNA REGRESIJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
52
9.0 Pojam linearne regresije
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
52
9.1
Jedna~ina proste linearne regresije
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
52
Intervali poverewa za parametre linearne regresije
. . . . . . 15
9
Interpolacija i ekstrapolacija
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2
9.2
Neki va`niji krivolinijski modeli
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
64
Logaritamski model
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
64
Dvostruko-logaritamski model
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6
Inverzni (hiperboli~ki) model
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7
Eksponencijalni model
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8
LITERATURA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
DODATAK
Statisti~ke tablice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
Ispitna pitawa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
9
7
b)
Nula }e na prvom mestu biti
4! 5!
⋅
puta. Zato je ukupan broj
nizova
5! 5! 4! 5! 5 4! 5! 4! 5! 4 4! 5! 11520
⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ =
.
Primer 3.
Koliko ima permutacija skupa
{
}
1, 2,...,
n
kod kojih izme|u
jedinice i dvojke stoji ta~no jedan elemenat?
Re{ewe
. Ako
1
2
⊗
, gde je simbol
⊗
zamena za ma koji broj razli~it
od 1 i 2, smatramo jednim elementom, onda tra`imo permutacije od
2
n
−
elementa ( jedan elemenat je
1
2
⊗
i jo{ preostala
3
n
−
). Wihov broj je
(
)
2 !
n
−
. Kako umesto
⊗
mo`e da stoji ma koji od
2
n
−
elementa, to
poredak
1
2
⊗
daje
(
) (
)
2
2 !
n
n
− ⋅ −
permutacija. Jo{ toliko permutacija
daje poredak
2
1
⊗
. Ukupan proj permutacija je
(
) (
)
2
2
2 !
n
n
⋅ − ⋅ −
.
▲
Ako se u nizu neki elementi javqaju vi{e od jednog puta onda su u
pitawu permutacije sa ponavqawem. Precizirajmo.
Definicija 5.
Neka je dat skup
{
}
1
2
,
,...,
m
A
a a
a
=
. Svaka ure|ena
n
-
torka elemenata skupa
A
u kojoj se elemenat
1
a
javqa
1
k
puta, elemenat
2
a
javqa
2
k
, itd. , elemenat
m
a
javqa
m
k
puta, gde je
1
2
...
m
k
k
k
n
+ + +
=
, zove se
permutacija sa ponavqawem od
n
elemenata klase
(
)
1
2
,
,...,
m
k k
k
.
Primer 4.
Napisati sve permutacije sa ponavqawem od pet
elemenata skupa
{ }
,
A
a b
=
u kojima se slovo
a
javqa 3 puta, a slovo
b
dva
puta.
Re{ewe.
To su slede}e petorke
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
aaabb aabab aabba abaab abbaa
ababa bbaaa babaa baaba baaab
▲
Ako sa
1
2
,
,...,
m
k k
k
n
P
obele`imo broj svih permutacija sa ponavqawem od
n
elemenata klase
(
)
1
2
,
,...,
m
k k
k
onda va`i slede}a teorema.
Teorema 2.
(
)
1
2
,
,...,
1
2
1
2
...
!
!
!
!
m
k k
k
m
n
m
k
k
k
P
k
k
k
+ + +
=
⋅
⋅⋅⋅
.
Dokaz
. Ukupan broj permutacija bez ponavqawa od
n
elemenata treba
umawiti
1
2
!
!
!
m
k
k
k
⋅
⋅⋅⋅
puta, jer se elementi
1
a
,
2
a
,…,
m
a
ne javqaju redom
1
!
k
,
2
!
k
, …,
!
m
k
puta, ve} samo po jednom.
Napomena 1.
U prethodnom primeru je bilo
3,2
5
5!
10
3! 2!
P
=
=
⋅
.
Primer 5.
Na koliko na~ina se mogu postaviti osam belih figura
(dva topa, dva lovca, dva skaka~a, kraq i dama) na prvom redu {ahovske
table?
Re{ewe
. Broj na~ina je
(
)
2 2 2 1 1 !
8!
7! 5040
2!2!2!1!1!
2!2!2!
+ + + +
=
= =
.
