ODRE
Đ
ENI INTEGRAL
Odre
đ
eni integral u Rimanovom smislu se obeležava sa :
I =
b
a
dx
x
f
)
(
Ovo se
č
ita:” integral od a do b ef od iks de iks”.
-
a je donja granica integrala
-
b je gornja granica integrala
-
f(x) je podintegralna funkcija ( integrand)
-
x je integraciona promenljiva
-
[a,b] je interval integracije
Ako je funkcija f(x) neprekidna na segmentu [a,b], tada ona ima primitivnu funkciju
c
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
i važi
jednakost :
b
a
b
a
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
Ova jednakost se zove
Njutn- Lajbnicova formula
i daje vezu izme
đ
u odre
đ
enog i neodre
đ
enog integrala.
Može se re
ć
i da je ovo osnovna formula integralnog ra
č
una.
Osnovna svojstva odre
đ
enog integrala
1)
Ako je f(x) integrabilna funkcija u intervalu [a,b] , onda je :
b
a
dx
x
kf
)
(
=
b
a
dx
x
f
k
)
(
2)
Ako su f(x) i g(x) integrabilne funkcije, onda je :
b
a
dx
x
g
x
f
)]
(
)
(
[
=
b
a
dx
x
f
)
(
b
a
dx
x
g
)
(
3)
Ako integrabilne funkcije f(x) i g(x) zadovoljavaju u intervalu [a,b], gde je a<b, uslov
)
(
)
(
x
g
x
f
,onda je:
b
a
dx
x
f
)
(
b
a
dx
x
g
)
(
4)
Ako je m donja a M gornja medja integrabilne funkcije f(x) u intervalu [a,b], gde je a
b, onda je:
m(b-a)
b
a
dx
x
f
)
(
M(b-a)
5)
Ako je funkcija neprekidna na intervalu [a,b], onda postoji ta
č
ka
iz intervala [a,b], tako da je :
b
a
dx
x
f
)
(
= (b – a) f(
)
Ovo je teorema o srednjoj vrednosti odredjenog integrala!
6)
Odredjeni integral menja znak kad mu se obrnu granice:
b
a
dx
x
f
)
(
=
a
b
dx
x
f
)
(
7)
Ako je funkcija f(x) integrabilna u intervalu [a,b] i ako je a<c<b onda je :
b
a
dx
x
f
)
(
=
c
a
dx
x
f
)
(
+
b
c
dx
x
f
)
(
Ne mora svaka funkcija da bude integrabilna na odredjenom intervalu. Neki od glavnih kriterijuma su:
-
Svaka ograni
č
ena funkcija f(x) u intervalu [a,b] sa kona
č
nim brojem prekidnih ta
č
aka izme
đ
u a i b je
integrabilna u tom intervalu.
-
Svaka monotona funkcija f(x) u intervalu [a,b] je integrabilna u tom intervalu.
-
Svaka neprekidna funkcija u datom intervalu [a,b] je integrabilna u tom intervalu.
Smena promenljive u odredjenom integralu
Kao i kod neodredjenog i kod odredjenog integrala se može izvršiti smena integracione promenljive. To možemo
uraditi na dva na
č
ina:
1.
Prvo rešimo dati integral kao neodredjeni , vratimo smenu pa tu zamenimo gornju i donju granicu.
2.
Izvršimo smenu direktno u datom integralu ali moramo menjati i granice integracije.
Neka je dat integral
b
a
dx
x
f
)
(
. Ovde naravno x
[a,b].
Uzmimo smenu x =
(t) . Tada je:
b
a
dx
x
f
)
(
dt
t
t
f
)
`(
)]
(
[
ali su nove granice :
]
,
[
t
gde je
b
a
)
(
)
(
