Analiza 1
Letnji semestar 2013/2014
dr Jelena Kati´c
Autor:
Nikola Ajzenhamer
10. jul 2014.
1
Zahvaljujem se kolegama Anji Bukurov i Pavlu Joksovi´
cu na ogromnoj pomo´
ci
koju su mi pruˇ
zili prilikom pisanja ove skripte.
Posebno se zahvaljujem profesorki Jeleni Kati´
c koja je uˇ
cestvovala u
poboljˇ
sanju ove skripte, ispravljaju´
ci greˇ
ske i davaju´
ci mi korisne savete.
2
7.4
Izvodi viˇ
seg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
7.4.1
Svojstva izvoda viˇ
seg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
8
Tejlorov polinom
81
8.1
Maklorenov polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
9
Kose asimptote
88
10 Dovoljni uslovi lokalnih ekstrema
90
11 Konveksnost
92
11.1 Konkavnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
12 Ispitivanje funkcija i skiciranje grafika
97
13 Nizovi
110
13.1 Monotoni nizovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
13.2 Podnizovi i taˇ
cke nagomilavanja
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
13.3 Koˇ
sijevi nizovi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
13.4 Veza limesa niza i limesa funkcije i neprekidnosti . . . . . . . . . 121
13.4.1 Dokazi pojedinih teorema (preko nizova) . . . . . . . . . . 122
4
PRVA NEDELJA
1
Aksiome realnih brojeva
Posmatramo strukturu realnih brojeva
R
= (
R,
+
,
·
,
≤
).
(A1)
x
+ (
y
+
z
) = (
x
+
y
) +
z
asocijativnost sabiranja (operacije +)
(A2)
x
+
y
=
y
+
x
komutativnost sabiranja
(A3)
∃
0 :
x
+ 0 =
x
postojanje neutralnog elementa za + kojeg nazivamo ,,nula”
(A4)
∀
x
∃
y
:
x
+
y
= 0 postojanje inverznog elementa za + i piˇ
semo
y
=
−
x
Svaka struktura koja ima jednu operaciju i zadovoljava (A1), (A3), (A4) je
GRUPA
, a ako vaˇ
zi i (A2), onda je
ABELOVA GRUPA
ili
KOMUTATIVNA
GRUPA
.
(A5)
x
·
(
y
·
z
) = (
x
·
y
)
·
z
asocijativnost mnoˇ
zenja (operacije
·
)
(A6)
x
·
y
=
y
·
x
komutativnost mnoˇ
zenja
(A7)
∃
1 :
x
·
1 =
x
postojanje neutralnog elementa za
·
kojeg nazivamo ,,jedi-
nica”
(A8)
x
·
(
y
+
z
) =
x
·
y
+
x
·
z
distributivnost
·
u odnosu na +
(A9)
∀
x, x
6
= 0
,
∃
y
:
x
·
y
= 1 postojanje inverznog elementa za
·
i piˇ
semo
y
=
1
x
(A10) 0
6
= 1
Struktura koja zadovoljava A1
−
A8 naziva se
KOMUTATIVNI PRSTEN sa 1
.
Struktura koja zadovoljava A1
−
A9 naziva se
POLJE
.
Primeri:
1)
R
je grupa (+), prsten i polje
2)
N
+
= (
N,
+) nije grupa zbog A4
3) (
Z,
+) jeste grupa (i to Abelova)
4) (
Z,
+
,
·
) jeste prsten, ali nije polje zbog A9
5) (
Q,
+
,
·
) jeste polje
(A11)
x
≤
x
refleksivnost
(A12)
x
≤
y
∧
y
≤
x
=
⇒
x
=
y
antisimetriˇ
cnost
(A13)
x
≤
y
∧
y
≤
z
=
⇒
x
≤
z
tranzitivnost
Relacija koja zadovoljava A11
−
A13 je
relacija PORETKA
.
(A14)
∀
x, y
∈
R
:
x
≤
y
ili
y
≤
x
Relacija poretka koja zadovoljava i A14 je
relacija TOTALNOG PORETKA
.
(A15)
x
≤
y
=
⇒
x
+
z
≤
y
+
z
uskladenost (saglasnost) poretka i +
(A16)
x
≥
0
y
≥
0
=
⇒
x
·
y
≥
0 uskladenost (saglasnost) poretka i
·
5
Zadatak 1
: Na´
ci
supA
i
inf A
:
i) A = (0, 1)
ii) A = [0, 1)
iii) A = [0, 1]
iv) A = [0,
√
2]
∩
Q
v) A =
{
1
m
|
m
∈
N
}
U kojim sluˇ
cajevima supA i infA jesu elementi skupa A?
i)
supA
= 1
/
∈
A, inf A
= 0
/
∈
A
ii)
supA
= 1
/
∈
A, inf A
= 0
∈
A
iii)
supA
= 1
∈
A, inf A
= 0
∈
A
iv)
supA
=
√
2
/
∈
A, inf A
= 0
∈
A
v)
supA
= 1
∈
A, inf A
= 0
/
∈
A
Definicija 5
.
Ako
supA
pripada skupu A, onda ga zovemo
maksimum
.
Definicija 6
.
Ako
infA
pripada skupu A, onda ga zovemo
minimum
.
Zaˇ
sto je
0
baˇ
s najve´
ca minoranta u sluˇ
caju
v)
?
ε >
0
∃
n
:
1
n
< ε
⇐⇒ ∃
n
:
n
·
ε >
1 (ovo je baˇ
s ARH)
7
