KVADRATNE FORME I KONIKE, KVADRIKE.
dodatak 13.predavanju
str. 1.
KVADRATNE FORME
Realna
kvadratna forma
u varijabli
pridružena
n
n
x
x
x
,
,
,
2
1
"
simetri
č
noj matrici
A
je izraz definiran s
ili
kra
ć
e
[
]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
n
n
x
x
x
A
x
x
x
#
"
2
1
2
1
Ax
x
T
uz oznaku
.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
x
x
x
x
#
2
1
Primjer 1
Kvadratna forma u
dvije varijable i je izraz
.
x
y
[
]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
+
+
y
x
c
b
b
a
y
x
cy
bxy
ax
2
2
2
To su npr.
a)
,
[
]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
−
+
y
x
y
x
y
xy
x
7
3
3
2
7
6
2
2
2
b)
[
]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
+
−
y
x
y
x
y
xy
x
7
2
5
2
5
3
7
5
3
2
2
,
c)
,
[
]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
−
y
x
y
x
y
x
5
0
0
4
5
4
2
2
d)
[
]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
y
x
y
x
xy
0
2
3
2
3
0
3
.
■
Primjer 2
Kvadratne forme u
tri varijable ,
x y
i su npr.
z
,
[
]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
−
+
+
z
y
x
z
y
x
z
yz
y
x
4
3
0
3
4
0
0
0
2
4
6
4
2
2
2
2
.
[
]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
+
−
+
−
+
z
y
x
z
y
x
yz
xz
xy
z
y
x
3
3
1
3
7
2
1
2
1
6
2
4
3
7
2
2
2
Kvadratna forma je
kanonska
ako je pripadna matrica dijagonalna.
Npr. kvadratna forma iz Primjera 1c) je kanonska.
Svaka se kvadratna forma može svesti na kanonsku.
Neka je
kvadratna forma u varijablama
gdje je
Ax
x
T
n
x
x
x
,
,
,
2
1
"
A
simetri
č
na matrica. Ako matrica
P
ortogonalno dijagonalizira matricu
A
i ako su nove varijable
definirane jednadžbom
n
y
y
y
,
,
,
2
1
"
Py
x
=
, onda njeno uvrštavanje u
daje
Ax
x
T
2
2
2
2
2
1
1
n
n
T
T
y
y
y
Dy
y
Ax
x
λ
λ
λ
+
+
+
=
=
"
gdje su
n
λ
λ
λ
,
,
,
2
1
"
svojstvene vrijednosti matrice
A
i
.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
n
T
D
AP
P
λ
λ
λ
"
#
#
#
"
"
0
0
0
0
0
0
2
1
Kaže se da matrica
P
ortogonalno dijagonalizira kvadratnu formu ili da reducira kvadratnu formu na
zbroj kvadrata.
KVADRATNE FORME I KONIKE, KVADRIKE.
dodatak 13.predavanju
str. 2.
Primjer 3
Neka je kvadratna forma u
dvije varijable i
x
y
definirana s
[
]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
+
+
y
x
y
x
y
xy
x
8
2
2
5
8
4
5
2
2
.
Zamijenimo varijable i novim varijablama
x
y
x
′
i
y
′
:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
′
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
y
x
P
y
x
tj.
,
Py
x
=
gdje je
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
5
1
5
2
5
2
5
1
P
ortogonalna matrica koja dijagonalizira matricu
A
, i nalazimo
( )
APy
P
y
APy
Py
Ax
x
T
T
T
T
=
=
ili
[
]
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
′
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
′
′
=
+
+
y
x
y
x
y
xy
x
T
5
1
5
2
5
2
5
1
8
2
2
5
5
1
5
2
5
2
5
1
8
4
5
2
2
[
]
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
′
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
′
=
y
x
y
x
4
0
0
9
( )
(
2
2
4
9
y
x
′
+
′
=
)
■
KVADRATNE FORME i KONIKE
Op
ć
a kvadratna jednadžba s dvije nepoznanice i
x
y
:
,
0
2
2
2
=
+
+
+
+
+
f
ey
dx
cy
bxy
ax
R
f
e
d
c
b
a
∈
,
,
,
,
,
(1)
se uz
,
i
može zapisati matri
č
no:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
c
b
b
a
A
[
]
e
d
B
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
y
x
x
0
=
+
+
f
Bx
Ax
x
T
gdje je
kvadratna forma
[
]
Ax
x
y
x
c
b
b
a
y
x
cy
bxy
ax
T
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
+
+
2
2
2
i
linearna
forma.
[
]
Bx
y
x
e
d
ey
dx
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
+
Graf jednadžbe (1) su konike. Najvažnije konike su elipse, kružnice, hiperbole i parabole. Zovu se
nedegenerirane konike. Ostale konike su degenerirane npr. to
č
ka, par pravaca.
Pogledajte 5. vježbe!
Za transformaciju jednadžbe u standarni oblik tj. u koordinatni sustav gdje osi simetrije konike
odgovaraju koordinatnim osima (kaže se i ''u sustav glavnih osi'') koriste se translacija i rotacija.
Kad se koordinatni sustav translatira ili rotira,
ne mijenjaju se
brojevi
f
e
d
e
c
b
d
b
a
2
2
2
2
=
∆
,
c
b
b
a
=
δ
i
c
a
+
pa se zovu
invarijante konika
.
Prema invarijantama i
∆
δ
može se odrediti o kojoj se koniki radi:
0
<
δ
hiperbola
0
=
δ
parabola
0
≠
∆
0
>
δ
elipsa, kružnica
0
<
δ
par pravaca koji se sijeku
0
=
δ
par usporednih pravaca
0
=
∆
0
>
δ
to
č
ka
