REALNA ANALIZA (Vjeˇzbe 2009/10)
Renata Turkeˇs
21. prosinca 2009.
Sadrˇ
zaj
1 Metriˇ
cki prostori
1
1.1 Metrika i metriˇcki prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Konvergencija u metriˇckim prostorima . . . . . . . . . . . . . 33
1.3 Kompletnost metriˇckih prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4 Banachov stav o fiksnoj taˇcki . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.5 Separabilnost metriˇckih prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.6 Kompaktnost metriˇckih prostora
. . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.6.1
Neprekidne funkcije na kompaktnim skupovima . . . . 108
2 Banachovi prostori
111
2.1 Linearni vektorski prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.2 Normirani prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3 Linearni operatori
112
3.1 Ograniˇcenost i neprekidnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.2 Inverzni operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.3 O joˇs dva principa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.4 Zatvoreni operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4 Linearni funkcionali
113
4.1 Geometrijski smisao linearnih funkcionala . . . . . . . . . . . . 113
4.2 Hahn-Banachov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.3 Reprezentacija ograniˇcenih linearnih funkcionala . . . . . . . . 113
4.4 Konjugovani prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.5 Slaba konvergencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5 Hilbertovi prostori
114
5.1 Skalarni produkt. Hilbertovi prostori. . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2 Ortogonalnost i ortogonalni komplement . . . . . . . . . . . . 114
5.3 Ortonormirani sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
1
Poglavlje 1
Metriˇ
cki prostori
Rjeˇsavanje zadataka iz ovog poglavlja studentima bi trebalo u potpunosti raz-
jasniti pojam metrike, te pojmove kompletnost, separabilnost i kompaktnost,
i njihov medjusobni odnos, te dati uvid u znaˇcaj Banachovog stava o fiksnoj
taˇcki, prvenstveno kroz kvalitetno razumijevanje uslova tog teorema, a za-
tim i kroz primjenu istog na dokazivanje egzistencije i jedinstvenosti rjeˇsenja
razliˇcitih tipova (sistema) jednaˇcina, te konvergencije nizova.
1.1
Metrika i metriˇ
cki prostori
Metrika je jedan od najvaˇznijih pojmova moderne matematike. Mnogi poj-
movi vezani za odredjeni skup ( medju njima najvaˇzniji je pojam konvergen-
cije niza taˇcaka ) zasnivaju se iskljuˇcivo na rastojanju izmedju dvije taˇcke, a
nezavisni su od drugih osobina tog skupa. Definicija rastojanja u odredjenom
prostoru omogu´cava nam razmatranje mnogih pojmova vezanih za taj skup,
poput npr. pojma kompletnosti, kompaktnosti ili neprekidnosti ( koji se svi
oslanjaju na pojam konvergencije ), koje smo ranije sretali u skupu realnih
brojeva.
Definicija 1.1.1 (METRIKA)
Neka je
X
6
=
∅
proizvoljan skup. Za funkciju
d
:
X
×
X
→
R
kaˇzemo da je metrika na
X
, ako zadovoljava sljede´ca ˇcetiri
uslova:
(M1)
(
∀
x, y
∈
X
) :
d
(
x, y
)
≥
0
(M2)
d
(
x, y
) = 0
⇔
x
=
y
(M3)
(
∀
x, y
∈
X
) :
d
(
x, y
) =
d
(
y, x
)
(M4)
(
∀
x, y, z
∈
X
) :
d
(
x, y
)
≤
d
(
x, z
) +
d
(
z, y
)
1
POGLAVLJE 1.
METRI ˇ
CKI PROSTORI
2
Tada uredjeni par
(
X, d
)
nazivamo metriˇcki prostor.
Primjedba 1.1.1
U literaturi se nekad osobina (M1) navodi kao
(
∀
x, y
∈
X
) :
0
≤
d
(
x, y
)
<
∞
.
Zaista, primjetimo da je u gornjoj definiciji metrike navedeno da je preslika-
vanje
d
:
X
×
X
→
R
,
odnosno da je
d
realna funkcija, tj. da nikada ne uzima
vrijednost
∞
.
Stoga trebamo biti oprezni, i uvijek prvobitno provjeriti da li
zadata funkcija uzima samo konaˇcne vrijednosti, ukoliko to nije unaprijed
navedeno.
Prvo ´cemo navesti neke konkretne primjere metriˇckih prostora. Da bi
dokazali da je odredjena funkcija metrika, uvijek ´cemo pristupiti na isti naˇcin:
provjeriti ´cemo da li je zadata funkcija realna, a zatim provjeravamo i ak-
siome (M1)-(M4) iz same definicije metrike. Najˇceˇs´ce je jednostavno pokazati
da su zadovoljene osobine (M1)-(M3), dok dokazivanje osobine (M4) moˇze
predstavljati neˇsto ozbiljniji zadatak. Tada su nam ˇcesto od velikog znaˇcaja
sljede´ce teoreme:
Teorem 1.1.1 (NEJEDNAKOST H ¨
OLDERA)
Neka su
a
i
, b
i
∈
R
(ili
C
)
(
i
= 1
,
2
, ..., n
)
, i neka je za realan broj
p >
1
,
broj
q
definiran sa
1
p
+
1
q
= 1
.
Tada za sve
n
∈
N
vrijedi
n
X
i
=1
|
a
i
b
i
| ≤
(
n
X
i
=1
|
a
i
|
p
)
1
p
(
n
X
i
=1
|
b
i
|
q
)
1
q
.
Teorem 1.1.2 (NEJEDNAKOST MINKOWSKOG)
Neka su
a
i
, b
i
∈
R
(ili
C
)
(
i
= 1
,
2
, ..., n
)
, i neka je
p
≥
1
.
Tada za sve
n
∈
N
vrijedi
(
n
X
i
=1
|
a
i
+
b
i
|
p
)
1
p
≤
(
n
X
i
=1
|
a
i
|
p
)
1
p
+ (
n
X
i
=1
|
b
i
|
p
)
1
p
.
Kao ˇsto je navedeno i u skripti, obje ove nejednakosti imaju i svoj integralni
oblik, tj. vrijede i sljede´ce nejednakosti
Z
b
a
|
f
(
t
)
g
(
t
)
|
dt
≤
(
Z
b
a
|
f
(
t
)
|
p
dt
)
1
p
(
Z
b
a
|
g
(
t
)
|
q
dt
)
1
q
,
(
Z
b
a
|
f
(
t
) +
g
(
t
)
|
p
dt
)
1
p
≤
(
Z
b
a
|
f
(
t
)
|
p
dt
)
1
p
+ (
Z
b
a
|
g
(
t
)
|
p
dt
)
1
p
.
POGLAVLJE 1.
METRI ˇ
CKI PROSTORI
4
ZADATAK 1.1.2
Neka je
d
:
R
×
R
→
R
funkcija definirana na sljede´ci
naˇcin:
d
(
x, y
) =
|
x
−
y
|
Dokazati da je
d
metrika.
Rjeˇsenje:
Ve´c je u samoj postavci zadatka navedeno da je
d
:
R
×
R
→
R
,
te odmah moˇzemo prije´ci na dokazivanje aksioma metrike.
(M1) Jasno slijedi iz definicije.
(M2) Druga aksioma jasno slijedi iz sljede´ceg niza ekvivalencija
d
(
x, y
) = 0
⇔ |
x
−
y
|
= 0
⇔
x
−
y
= 0
⇔
x
=
y
(M3)
d
(
x, y
) =
|
x
−
y
|
=
|
y
−
x
|
=
d
(
y, x
)
(M4) Nejednakost trougla je zadovoljena jer
|
x
−
y
|
=
|
x
−
z
+
z
−
y
| ≤ |
x
−
z
|
+
|
z
−
y
|
⇔
d
(
x, y
)
≤
d
(
x, z
) +
d
(
z, y
)
(
R
, d
) je dobro poznati Euklidov prostor realne prave.
N
ZADATAK 1.1.3
Dokazati da su sljede´ce funkcije metrike na
R
n
(
n
∈
N
) :
a.
d
2
(
x, y
) = (
n
X
i
=1
|
x
i
−
y
i
|
2
)
1
2
b.
d
p
(
x, y
) = (
n
X
i
=1
|
x
i
−
y
i
|
p
)
1
p
(1
≤
p <
∞
)
c.
d
∞
(
x, y
) = max
1
≤
i
≤
n
|
x
i
−
y
i
|
Rjeˇsenje:
Napomenimo prvobitno da su sve funkcije realne jer se radi o
konaˇcnim sumama, odnosno maksimumu konaˇcno mnogo vrijednosti.
