Rijeˇ
seni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne
realne varijable
Infimum i supremum skupa
Zadatak 1.
Neka je
S
= (
−
2
,
−
1)
∪
[1
,
7]
∪ {
10
}
. Odrediti: (a) inf
S
,
(b) sup
S
.
Rjeˇ
senje.
(a) inf
S
=
−
2, (b) sup
S
= 10.
Zadatak 2.
Neka je
S
=
{
1
n
+1
:
n
∈
N
}
. Odrediti: (a) inf
S
,
(b) sup
S
,
(c) Ima li skup
S
minimalni element?,
(d) Ima li skup
S
maksimalni element?
Rjeˇ
senje.
Uoˇcimo da je brojnik uvijek 1, a nazivnici rastu, zato je kvocijent sve manji.
(a) inf
S
= 0, (b) sup
S
=
1
2
, (c) Kako inf
S
= 0
∈
/S
skup
S
nema minimalni element,
(d) Kako je sup
S
=
1
2
∈
S
, to je max
S
=
1
2
.
Zadatak 3.
Zadan je skup
S
=
n
7
n
+ 2
n
+ 1
:
n
∈
N
o
.
Ispitati je li skup
S
omeden te ako je odrediti inf
S
i sup
S
.
Rjeˇ
senje.
Pogledajmo prvih nekoliko ˇclanova (
n
= 1
,
2
,
3
,
4): 9
/
2 = 4
.
5; 16
/
3 =
5
.
33333; 23
/
4 = 5
.
75; 6; 37
/
6 = 6
.
16667. Uoˇcimo da elementi rastu i da su svi ve´ci od
9
/
2.
Nadalje
7
n
+ 2
n
+ 1
=
7
n
+ 7
·
1
−
7 + 2
n
+ 1
=
7(
n
+ 1)
−
5
n
+ 1
= 7
−
5
n
+ 1
.
Za svaki
n
∈
N
vrijedi
9
2
≤
7
n
+ 2
n
+ 1
<
7
,
znaˇci
S
je omeden i
9
2
∈
S
stoga je inf
S
=
9
2
. Iz gornjih nejednakosti vidimo da je izraz
7
n
+2
n
+1
sve bliˇzi broju 7 stoga je sup
S
= 7.
Apsolutna vrijednost
Za svaki realan broj
x
∈
R
definira se
apsolutna vrijednost
formulom:
|
x
|
=
x, x
≥
0
−
x, x <
0
.
Iz definicije apsolutne vrijednosti vidi se da je
| −
x
|
=
|
x
|
i
x
≤ |
x
|
. Nadalje, uoˇcimo
da je
|
x
|
=
√
x
2
. Pomo´cu jednakosti
|
x
|
=
√
x
2
,
x
∈
R
, lako je provjeriti sljede´ca svojstva
apsolutne vrijednosti:
1)
|
xy
|
=
|
x
||
y
|
2)
x
y
=
|
x
|
|
y
|
3)
|
x
+
y
| ≤ |
x
|
+
|
y
|
4)
|
x
−
y
| ≤ |
x
|
+
|
y
|
5)
|
x
| ≤
a
⇔ −
a
≤
x
≤
a
,
a >
0
6)
||
x
| − |
y
|| ≤ |
x
−
y
|
.
1
Zadatak 1.
Izraˇcunajte
|
√
5
−
5
|
+
|
√
20
−
6
|
|
3
−
√
5
| − |
2 +
√
5
|
.
Rjeˇ
senje.
Koriste´ci definiciju apsolutne vrijednosti imamo:
|
√
5
−
5
|
+
|
√
20
−
6
|
|
3
−
√
5
| − |
2 +
√
5
|
=
−
√
5 + 5
−
√
20 + 6
3
−
√
5
−
2
−
√
5
=
−
√
5 + 5
−
2
√
5 + 6
3
−
√
5
−
2
−
√
5
=
11
−
3
√
5
1
−
2
√
5
.
Racionalizacijom dobivenog izraza imamo:
11
−
3
√
5
1
−
2
√
5
·
1 + 2
√
5
1 + 2
√
5
=
−
19 + 19
√
5
−
19
= 1
−
√
5
.
Zadatak 2.
Rijeˇsite jednadˇzbu
|
x
−
2
|
+ 6
x
= 0.
Rjeˇ
senje.
Promatramo dva sluˇcaja:
x
−
2
<
0
x <
2
tada imamo:
I
1
=
<
−∞
,
2)
−
x
+ 2 + 6
x
= 0
5
x
=
−
2
x
=
−
2
5
∈
I
1
x
−
2
≥
0
x
≥
2
tada imamo:
I
2
= [2
,
+
∞
>
x
−
2 + 6
x
= 0
7
x
= 2
x
=
2
7
∈
/ I
2
Rjeˇsenje jednadˇzbe je
x
=
−
2
5
.
Zadatak 3.
Rijeˇsite jednadˇzbu 6
− |
3
x
+ 2
|
= 2
|
x
−
2
|
.
Rjeˇ
senje.
Promatramo tri sluˇcaja:
x
∈ h−∞
,
−
2
3
i
=:
I
1
6 + 3
x
+ 2 =
−
2
x
+ 4
5
x
=
−
4
x
=
−
4
5
∈
I
1
x
∈
[
−
2
3
,
2
i
=:
I
2
6
−
3
x
−
2 =
−
2
x
+ 4
−
2
x
=
x
= 0
∈
I
2
x
∈
[2
,
∞i
=:
I
3
6
−
3
x
−
2 = 2
x
−
4
−
5
x
=
−
8
x
=
8
5
6∈
I
3
Konaˇcno rjeˇsenje
x
1
=
−
4
5
, x
2
= 0.
Zadatak 4.
Rijeˇsite nejednadˇzbu
|
2
x
−
3
| −
2
≤
0.
Rjeˇ
senje.
Promatramo dva sluˇcaja:
2
x
−
3
<
0
x <
3
2
tada imamo:
−
2
x
+ 3
−
2
≤
0
−
2
x
≤ −
1
x
≥
1
2
x
∈
[
1
2
,
3
2
i
2
x
−
3
≥
0
x
≥
3
2
tada imamo:
2
x
−
3
−
2
≤
0
2
x
≤
5
x
≤
5
2
x
∈
[
3
2
,
5
2
]
=
⇒
x
∈
[
1
2
,
3
2
i ∪
[
3
2
,
5
2
] = [
1
2
,
5
2
]
.
2
Zadatak 1.
Odredite realne nultoˇcke i tjeme parabole te skicirajte funkciju ako je
(a)
f
(
x
) =
x
2
−
4
x
−
5,
(b)
g
(
x
) = 2
x
2
−
4
x
+ 8.
Rjeˇ
senje.
a) Nultoˇcke i tjeme parabole raˇcunamo prema gore navedenim formulama:
x
1
,
2
=
4
±
√
4
2
+ 4
·
5
2
=
4
±
6
2
= 2
±
3
,
⇒
x
1
= 2 + 3 = 5
,
x
2
= 2
−
3 =
−
1
.
T
= (
−
b
2
a
,
−
b
2
−
4
ac
4
a
) = (
−
−
4
2
,
−
4
2
+ 4
·
5
4
) = (2
,
−
9)
.
Sada moˇzemo nacrtati funkciju (uoˇcite da je koeficijent uz
x
2
pozitivan).
Graf funkcije
f
(
x
)
b) Prvo raˇcunamo nultoˇcke i tjeme parabole:
x
1
,
2
=
4
±
√
4
2
−
4
·
2
·
8
2
·
2
=
4
±
√
−
48
4
=
4
±
4
√
−
3
4
= 1
±
√
−
3(= 1
±
√
3
i
)
,
znaˇci funkcija nema realnih nultoˇcki. Tjeme parabole je
T
= (
−
b
2
a
,
−
b
2
−
4
ac
4
a
) = (
−
−
4
2
·
2
,
−
4
2
−
4
·
2
·
8
4
·
2
) = (1
,
6)
.
Napomenimo da funkcija nema realnih nultoˇcki ˇsto znaˇci da graf funkcije ne sijeˇce
x
-os.
Nadalje, koeficijent uz
x
2
je pozitivan ˇsto znaˇci da je
g
(
x
)
>
0 za svaki
x
∈
R
. Sada
moˇzemo nacrtati kvadratnu funkciju
Graf funkcije
g
(
x
)
4
