Glava 1
Analitiˇ
cka dinamika sistema
materijalnih taˇ
caka
Iako se mehanika predaje kao konzistentna i na Njutnovim zakonima ak-
siomatski zasnovana fiziˇcka nauka, u njene je temelje ugrad¯en rad i mnogih
drugih velikih imena mehanike i matematike, a njena je danaˇsnja forma bila
dostignuta znatno posle Njutnovih radova. Moglo bi se re´ci da se zaˇceci mo-
derne mehanike mogu nazreti u Keplerovim zakonima
1
o kretanju planeta, kao
i zakonima inercije i slobodnog pada do kojih je doˇsao Galilej
2
. Oba rezul-
tata su bila posledica eksperimenata i u sebi nisu sadrˇzali bitnu odliku poto-
njih zakona mehanike - mogu´cnost
predvid¯anja
ponaˇsanja materijalnih objekata.
Ipak, radovi Keplera i Galileja su neobiˇcno znaˇcajni jer su njima u mehaniku
po prvi put uvedeni numeriˇcki zakoni. Tek je Njutn u svom ˇcuvenom delu
Philosophiae naturalis principia mathematica
(1686)
3
, formuliˇsu´ci zakone kre-
tanja dao, mehaniˇckim zakonima matematiˇcku formu i uˇcinio da i Keplerovi
zakoni, i zakon slobodnog pada postanu njihove posledice.
Paradoksalno je da je Njutn, iako tvorac infinitezimalnog raˇcuna, u svojim
radovima iz mehanike koristio iskljuˇcivo geometriju i algebru
4
. To je uˇcinilo da
svoju danaˇsnju matematiˇcku formu mehanika dobije tek u radovima Leonarda
Ojlera 1736. godine. On prvi uvodi infinitezimalni raˇcun u mehaniku. Takod¯e,
on med¯u prvima uoˇcava da se prvi Njutnov zakon moˇze tretirati kao zakon
konzervacije i paˇzljivo naglaˇsava vektorski karakter dinamiˇckih veliˇcina. Neˇsto
kasnije, 1765. godine, Ojler uvodi pojam momenta inercije i glavnih osa inercije
i formuliˇse jednaˇcine kretanja krutog tela.
1
Kepler je do svojih zakona doˇsao prouˇcavaju´ci rezulatate posmatranja kretanja planete
Mars. Prva dva zakona je formulisao 1609. godine, dok je tre´ci objavio deset godina kasnije.
2
Zakon slobodnog pada Galilej je otkrio 1604. godine.
3
Njutn je do ovih zakona, kao i do zakona univerzalne gravitacije, doˇsao tokom 1665. i
1666. godine kada je zbog epidemije kuge napustio Kembridˇz i boravio na porodiˇcnom imanju.
Tada je imao 24 godine.
4
Joˇs jedna bizarna ˇcinjenica: u Njutnovim Principima se nigde ne moˇze prona´ci jednaˇcina
m
a
=
F
. Sve je opisano reˇcima.
1
2
Glava 1. Analitiˇcka dinamika sistema materijalnih taˇcaka
U periodu posle objavljivanja i prihvatanja Njutnovih zakona doˇslo je do
intenzivnijeg razvoja mehanike. Med¯utim, mnoga su se razmatranja i dalje
prvenstveno oslanjala na aparat algebre i geometrije, ˇsto je dovelo i do niza
pogreˇsnih rezultata usled oslanjanja na argument geometrijske oˇciglednosti. Kao
jednu vrstu antiteze ovoj tendenciji Lagranˇz je 1788. godine objavio
Analitiˇcku
mehaniku
, knjigu u kojoj je doslednom primenom aparata matematiˇcke analize
5
doˇsao do opˇste forme diferencijalnih jednaˇcina kretanja materijalnog sistema,
danas poznatih kao
Lagranˇzeve jednaˇcine druge vrste
. Ideje koje je Lagranˇz
uveo u svom delu imale su snaˇzan odjek i burno su se razvijale sve do danaˇsnjih
dana. One su prevaziˇsle granice klasiˇcne mehanike i naiˇsle su na plodno tlo i u
drugim oblastima fizike i tehnike.
Osim specifiˇcnog matematiˇckog aparata analitiˇcku mehaniku odlikuju i fi-
ziˇcke osnove. Za razliku od Njutnovog vektorskog pristupa, koji se oslanja na
koliˇcinu kretanja
i
silu
kao vektorske veliˇcine, u osnovi analitiˇcke mehanike se
nalaze skalarne veliˇcine -
energija
i
rad
. Da bismo sagledali osnovne razlike
izmed¯u vektorskog i analitiˇckog pristupa najpre ´cemo se pozabaviti dinamikom
sistema materijalnih taˇcaka. Tu ´ce se videti suˇstina metoda analitiˇcke mehanike
i upozna´cemo se sa
Lagranˇz-Dalamberovim principom
- centralnim principom
na koji ´cemo se oslanjati prilikom formiranja matematiˇckih modela koji opisuju
ponaˇsanje mehaniˇckih sistema.
1.1
Materijalni sistemi i veze
Podsetimo se da se pod
sistemom materijalnih taˇcaka
podrazumeva skup
materijalnih taˇcaka ˇciji su poloˇzaji i kretanja u med¯usobnoj vezi, tj. kretanje
svake taˇcke materijalnog sistema zavisi od poloˇzaja i kretanja ostalih taˇcaka.
Kao ˇsto znamo, materijalni sistemi mogu biti
slobodni
, kada sve taˇcke sistema
u bilo kom trenutku vremena
t
mogu zauzimati proizvoljan poloˇzaj i mogu
imati proizvoljne brzine
6
, i
neslobodni
ili
vezani
, kada su poloˇzajima i brzinama
(pomeranjima) taˇcaka sistema nametnuta ograniˇcenja. Ova ograniˇcenja se fizi-
ˇcki ostvaruju pomo´cu materijalnih objekata -
veza
.
Posmatrajmo sistem koji ˇcini
N
materijalnih taˇcaka. U klasiˇcnom, vek-
torskom pristupu za opisivanje uticaja veza na ponaˇsanje sistema koristi se
princip oslobad¯anja od veza
. On se sastoji u uklanjanju veza i izraˇzavanju nji-
hovog uticaja posredstvom
reakcija veza
- sila kojima veze dejstvuju na taˇcke
materijalnog sistema, odraˇzavaju´ci pri tome nametnuta ograniˇcenja. Ako sa
R
ν
oznaˇcimo rezultantu reakcija veza, a sa
F
ν
rezulatantu aktivnih sila
7
koje dej-
stvuju na
ν
-tu materijalnu taˇcku,
ν
= 1
, . . . , N
, onda se diferencijalne jednaˇcine
5
Lagranˇz je insistirao na matematiˇckoj (logiˇckoj) strukturi u mehanici. Rezultat dosledne
primene matematiˇckog aparata je da na 890 strana njegove knjige nema ni jednog jedinog
crteˇza.
6
Proizvoljnost brzina ima za posledicu da svaka taˇcka sistema tokom beskonaˇcno malog
vremenskog intervala
dt
moˇze izvrˇsiti proizvoljno, beskonaˇcno malo pomeranje,
d
r
ν
=
v
ν
dt
.
7
U ovom tekstu svi vektori ´ce biti oznaˇcavani masnim slovima:
~a
≡
a
.
4
Glava 1. Analitiˇcka dinamika sistema materijalnih taˇcaka
posledicu uproˇs´cene analize problema, odnosno uvod¯enja aproksimacija. Sa
druge strane, aktivne sile ne mogu zavisiti od ubrzanja taˇcaka: ovo je posledica
Njutn-Laplasovog principa determinizma. Sa dokazima ovih tvrd¯enja ˇcitalac se
moˇze upoznati u knjigama [3] i [4].
Reakcije veza su veliˇcine koje nisu poznate unapred i odred¯uju se uporedo
sa odred¯ivanjem kretanja sistema. To znaˇci da za odred¯ivanje 6
N
nepoznatih
skalarnih veliˇcina
11
na raspolaganju imamo svega 3
N
skalarnih diferencijalnih
jednaˇcina (1.1). Da bi dinamiˇcki problem bio reˇsiv neophodno je prikupiti
dopunske informacije o vezama nametnutim sistemu.
Veze i njihova klasifikacija
Analitiˇcki pristup problemu tretiranja veza je specifiˇcan po tome ˇsto se kod
njega veze opisuju u matematiˇckoj formi kao
funkcije
koje povezuju parametre
stanja sistema (poloˇzaje i brzine taˇcaka) i vreme. Najopˇstiji oblik
jednaˇcine
veze
glasi:
f
(
t,
r
ν
,
v
ν
) = 0
.
(1.3)
U konkretnim problemima se ne javljaju uvek veze najopˇstijeg karaktera,
kakva je (1.3). Zato je pogodno izvrˇsiti klasifikaciju veza, odnosno uoˇciti speci-
fiˇcne klase veza, i to:
•
geometrijske (konaˇcne) i
•
kinematske (diferencijalne).
Jednaˇcine geometrijskih veza imaju slede´ci oblik:
f
(
t,
r
ν
) = 0
.
(1.4)
One name´cu ograniˇcenja materijalnim taˇckama u pogledu poloˇzaja koje mogu
zauzeti u trenutku
t
. Kinematske veze su opisane slede´com relacijom:
f
(
t,
r
ν
,
v
ν
) = 0
.
(1.5)
Ovaj tip veza prevashodno name´ce ograniˇcenja u pogledu brzina koje taˇcke
mogu imati u posmatranom poloˇzaju
12
. Treba napomenuti da se kinematske
veze u mehaniˇckim sistemima najˇceˇs´ce javljaju u vidu
linearnih
kinematskih
veza:
N
X
ν
=1
l
ν
(
t,
r
ν
)
·
v
ν
+
D
(
t,
r
ν
) = 0
.
(1.6)
11
Njih ˇcine 3
N
projekcija vektora poloˇzaja taˇcaka
x
ν
,
y
ν
i
z
ν
i 3
N
projekcija reakcija veza
R
νx
,
R
νy
i
R
νz
.
12
Dva su tipiˇcna primera kinematskih veza. Prvi se javlja kod klizaljki, odnosno rolera:
seˇciva klizaljki i toˇckovi na rolerima name´cu pravac koji brzine stopala mogu imati u posmat-
ranom poloˇzaju. Drugi se javlja kod kotrljanja bez klizanja jednog krutog tela po povrˇsini
drugog: brzine taˇcaka dodira ovih tela moraju biti jednake.
1.1. Materijalni sistemi i veze
5
U razvijenom obliku ova relacija se moˇze zapisati na slede´ci naˇcin:
N
X
ν
=1
(
A
ν
˙
x
ν
+
B
ν
˙
y
ν
+
C
ν
˙
z
ν
) +
D
= 0
,
gde je
l
ν
(
t,
r
ν
) =
A
ν
(
t,
r
ν
)
i
+
B
ν
(
t,
r
ν
)
j
+
C
ν
(
t,
r
ν
)
k
. Kada je
D
(
t,
r
ν
) = 0
kaˇzemo da je linearna kinematska veza
homogena
.
Opisane klase veza se mogu podeliti i na
stacionarne
ili
skleronomne
veze,
kod kojih vreme
t
ne figuriˇse eksplicitno u jednaˇcinama veza, i
nestacionarne
ili
reonomne
veze, koje eksplicitno zavise od vremena
t
. Celokupna klasifikacija
veza se moˇze prikazati u vidu tabele.
VEZE
Geometrijske
Kinematske
Skleronomne
f
(
r
ν
) = 0
f
(
r
ν
,
v
ν
) = 0
Reonomne
f
(
t,
r
ν
) = 0
f
(
t,
r
ν
,
v
ν
) = 0
S obzirom na klasifikaciju veza koja je ovde izvrˇsena, uobiˇcajena je i odgo-
varaju´ca podela materijalnih sistema na:
•
holonomne i
•
neholonomne sisteme.
Holonomni materijalni sistemi su podvrgnuti iskljuˇcivo ograniˇcenjima geometrij-
skog karaktera, dok je kretanje neholonomnih sistema ograniˇceno kinematskim
i geometrijskim vezama. Zbog toga se u literaturi geometrijske veze (1.4) ˇcesto
nazivaju i holonomnim vezama, a kinematske veze (1.6) neholonomnim vezama.
Napomena o geometrijskim vezama.
Ako geometrijsku vezu (1.4) zapi-
ˇsemo u slede´cem obliku:
f
(
t,
r
ν
) =
f
(
t, x
ν
, y
ν
, z
ν
) = 0
,
onda se diferenciranjem ove relacije po vremenu dobija slede´ci izraz:
df
dt
=
N
X
ν
=1
µ
∂f
∂x
ν
˙
x
ν
+
∂f
∂y
ν
˙
y
ν
+
∂f
∂z
ν
˙
z
ν
¶
+
∂f
∂t
= 0
.
Ovaj se rezultat moˇze i kra´ce zapisati:
N
X
ν
=1
grad
ν
f
·
v
ν
+
∂f
∂t
= 0
,
(1.7)
gde je sa grad
ν
f
oznaˇcen gradijent funkcije
f
(
t, x
ν
, y
ν
, z
ν
) s obzirom na koor-
dinate
ν
-te materijalne taˇcke. Odavde se vidi da geometrijske veze taˇckama
sistema
implicitno
name´cu ograniˇcenja i u pogledu brzina.
1.1. Materijalni sistemi i veze
7
Definicija 1.2 (Mogu´
ce brzine)
Pod mogu´cim brzinama materijalnog siste-
ma podrazumevaju se one brzine materijalnih taˇcaka koje su saglasne sa jedna-
ˇcinama (1.10) i (1.11). To su brzine
v
ν
= ˙
x
ν
i
+ ˙
y
ν
j
+ ˙
z
ν
k
koje veze nametnute
sistemu dopuˇstaju materijalnim taˇckama u datom poloˇzaju sistema i u datom
trenutku vremena.
Primetimo da ove jednaˇcine uspostavljaju
d
+
g
relacija izmed¯u 3
N
veli-
ˇcina (projekcija brzina na ose Dekartovog koordinatnog sistema). To znaˇci da
postoji
d
+
g
med¯usobno zavisnih projekcija brzina koje je, u principu, iz nave-
denih jednaˇcina mogu´ce izraziti u fukciji ostalih 3
N
−
(
d
+
g
) projekcija, koje su
med¯usobno nezavisne i mogu imati proizvoljne vrednosti. Drugim reˇcima, pos-
toji
beskonaˇcno mnogo
mogu´cih brzina sistema materijalnih taˇcaka. Primetimo
joˇs da je ovaj pojam potpuno nezavisan od diferencijalnih jednaˇcina kretanja
materijalnog sistema, odnosno sila koje dejstvuju na njega, ˇsto ´ce biti sluˇcaj i
sa pojmovima koji ´ce biti uvedeni u nastavku teksta.
Ako jednaˇcine (1.10) i (1.11) pomnoˇzimo sa
dt
, imaju´ci u vidu da je
v
ν
dt
=
d
r
ν
elementarno pomeranje, dobi´cemo slede´ce relacije:
N
X
ν
=1
grad
ν
f
α
·
d
r
ν
+
∂f
α
∂t
dt
= 0
,
(1.12)
N
X
ν
=1
l
βν
·
d
r
ν
+
D
β
dt
= 0
.
(1.13)
Definicija 1.3 (Mogu´
ca pomeranja)
Pod mogu´cim pomeranjima materijal-
nog sistema podrazumevaju se beskonaˇcno mala pomeranja taˇcaka sistema koja
su saglasna sa jednaˇcinama (1.12) i (1.13). To su beskonaˇcno mala pomeranja
d
r
ν
=
dx
ν
i
+
dy
ν
j
+
dz
ν
k
koja veze dopuˇstaju taˇckama sistema u odnosu na dati
poloˇzaj tokom beskonaˇcno malog vremenskog intervala
dt
.
Kao i u sluˇcaju mogu´cih brzina, i kod mogu´cih pomeranja imamo
d
+
g
zavisnih i 3
N
−
(
d
+
g
) nezavisnih projekcija vektora elementarnih pomeranja.
Pored toga, zbog relacije
d
r
ν
=
v
ν
dt
jasno je da postoji neposredna veza izmed¯u
mogu´cih brzina i mogu´cih pomeranja.
Vaˇzno je napomenuti da mogu´ca pomeranja predstavljaju ˇsiru klasu od
stvarnih pomeranja, odnosno da se med¯u mogu´cim pomeranjima nalaze i stvarna.
Med¯utim, ”ostvarivost” mogu´cih pomeranja zavisi i od aktivnih sila koje dej-
stvuju na sistem, a ne samo od strukture veza.
Da bi se definisala virtualna pomeranja potrebno je ignorisati zavisnost
jednaˇcina veza od vremena
t
. Drugim reˇcima, treba
zamisliti
da su veze u datom
trenutku vremena ”zamrznute”. U formalnom matematiˇckom smislu ovo se os-
tvaruje tako ˇsto se umesto operatora diferenciranja
d
uvodi novi operator
δ
-
operator
variranja
, koji ”ignoriˇse” promenu vremena:
δt
= 0
14
. Tada ograni-
ˇcenja koja veze name´cu virtualnim pomeranjima slede iz jednaˇcina (1.12)-(1.13)
14
To bi znaˇcilo da totalni diferencijal funkcije
φ
(
t, x, y, z
) glasi:
dφ
=
∂φ
∂x
dx
+
∂φ
∂y
dy
+
∂φ
∂z
dz
+
∂φ
∂t
dt
, dok varijacija iste funkcije ima oblik:
δφ
=
∂φ
∂x
δx
+
∂φ
∂y
δy
+
∂φ
∂z
δz
.
