1
BROJNI REDOVI – ZADACI ( I DEO)
Posmatrajmo brojni red
1
2
3
1
.......
.......
n
n
n
a
a
a
a
a
∞
=
+
+
+
+
+
=
∑
sa pozitivnim članovima.
Suma reda S
n
= a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
=
∑
=
n
k
k
a
1
je parcijalna suma.
Tražimo
n
n
S
∞
→
lim
.
Ako dobijemo
n
n
S
∞
→
lim
=S (broj) onda red
konvergira
, a ako je
n
n
S
∞
→
lim
=
∞
±
ili ne postoji, onda red
divergira.
Parcijalne sume su u stvari:
1
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
...
...
...
n
n
S
a
S
a
a
S
a
a
a
S
a
a
a
a
=
=
+
=
+
+
=
+
+
+
Primer 1.
Za dati red
1
1
1
...
.......
1 4
4 7
(3
2) (3
1)
n
n
+
+
+
+
⋅
⋅
−
⋅
+
odrediti
n
S
i naći
n
n
S
∞
→
lim
.
Rešenje:
1
1
1
...
1 4
4 7
(3
2) (3
1)
n
S
n
n
=
+
+
+
⋅
⋅
−
⋅
+
Da bi našli graničnu vrednost, podsetićemo se trika sa rastavljanjem racionalne funkcije koji smo koristili kod integrala.
1
....................................... / *(3
2) (3
1)
(3
2) (3
1)
3
2
3
1
1
(3
1)
(3
2)
1 3
3
2
1
(3
3 )
2 ...........................
A
B
n
n
n
n
n
n
A n
B n
An
A
Bn
B
A
B n
A
B
uporedjivanje
=
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
+
=
+
+
−
=
+
+
−
=
+
+
−
Podsetite se ovog trika u fajlu integrali zadaci IV deo.
www.matematiranje.com
2
3
3
0
2
1........................ / *( 3)
3
3
0
3
6
3
1
1
9
3
3
3
1
1
1
1
1
1
3
3
(
)
(3
2) (3
1)
3
2
3
1
3 3
2
3
1
A
B
A
B
A
B
A
B
B
B
A
n
n
n
n
n
n
+
=
−
=
−
+
=
−
+
= −
= − →
= −
→
=
−
=
+
=
−
−
⋅
+
−
+
−
+
Sad se vraćamo na zadatak i ovo primenjujemo na svaki sabirak datog reda:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
[(1
) (
) (
) .... (
) (
)]
3
4
4
7
7
10
3
5
3
2
3
2
3
1
1
1
[1
3
4
n
n
S
n
n
n
n
S
=
−
+
−
+
−
+
+
−
+
−
−
−
−
+
=
−
1
4
+
1
7
−
1
7
+
1
10
−
1
....
3
5
n
+
+
−
1
3
2
n
−
−
1
3
2
n
+
−
0
1
)]
3
1
1
1
[1
)]
3
3
1
1
1
1
1
1
lim
lim [1
)]
lim[1
)]
3
3
1
3
3
1
3
1
3
n
n
n
n
n
teži
n
S
n
S
n
n
S
→∞
→∞
→∞
−
+
=
−
+
=
−
=
−
=
+
+
=
Naravno, trebate obnoviti I granične vrednosti funkcija( nizova) jer nam je to znanje ovde neophodno!
Primer 2.
Ispitati konvergenciju reda:
1
2
1
3
2
n
n
n
∞
=
−
+
∑
Rešenje:
Ovde nam je posao lak! Važi teorema:
Ako red
∑
∞
=
1
n
n
a
konvergira, onda je
n
n
a
∞
→
lim
=0, to jest ako je
n
n
a
∞
→
lim
≠
0 onda red sigurno ne konvergira.
Dakle, tražimo
2
1
lim
3
2
n
n
n
→∞
−
+
a znamo da je
2
1
2
lim
0
3
2
3
n
n
n
→∞
−
=
≠
+
, pa smo sigurni da ovaj niz divergira.
www.matematiranje.com
