DT
LAA
2014
Glava 1
Algebarske strukture
1.1
Algebarske operacije i algebraske strukture
Defnicija 1.1
Neka su
I
i
A
6
=
∅
skupovi.
I
-familija elemenata skupa
A
, ili
familija elemenata iz
A
indeksirana skupom
I
, je funkcija
1
a
:
I
→
A
koju radije zapisujemo
a
= (
a
i
)
i
∈
I
∈
A
I
, gde je
a
i
:=
a
(
i
).
Ako je
I
=
∅
, onda je
A
I
=
{∅}
, pa je svaka
I
-familija prazna.
Pojam familije uopˇstava pojam ured¯ene
n
-torke (
n
je prirodan broj) i pojam niza.
Defnicija 1.2
Neka je
A
neprazan skup i
n
nenegativan ceo broj.
a)
Definiˇsemo
n
-ti stepen skupa
A
, u oznaci
A
n
:
A
0
:=
{∅}
i
A
n
:=
{
(
a
1
, . . . , a
n
)
|
a
1
, . . . , a
n
∈
A
}
, ako je
n >
0.
A
n
se formalizuje i kao skup svih funkcija iz skupa
{
1
,
2
, . . . , n
}
u skup
A
.
b)
Algebarska operacija skupa
A
, duˇ
zine
n
, ili
n
-arna operacija
skupa
A
, je ma koja funkcija
f
:
A
n
→
A
. Za
n
kaˇzemo da je
arnost
ili
duˇ
zina
operacije
f
, u oznaci ar(
f
).
1
Oznaka za skup svih funkcija iz skupa
A
u skup
B
je
B
A
,
A
∅
=
{∅}
.
1
DT
LAA
2014
2
GLAVA 1. ALGEBARSKE STRUKTURE
Ako je
f n
-arna operacija i ako su
a
1
, . . . , a
n
∈
A
, onda za sliku
f
(
a
1
, . . . , a
n
) iz
A
kaˇzemo i da je rezultat operacije
f
, primenjene na
(
a
1
, . . . , a
n
).
Operacije
f
duˇzine 0 su odred¯ene slikom
f
(
∅
) jedinog elementa
∅
iz
A
0
, to jest fiksiranim elementom
a
:=
f
(
∅
) iz
A
. Zato ´cemo
nularne
operacije poistove´civati sa izabranim elementima skupa
A
i tako ih zapi-
sivati. Zapravo,
konstante
iz
A
su naˇsom definicijom formalno uvedene
kao nularne operacije.
Ako je
f
operacija duˇzine 1, ili
unarna
operacija, i
a
∈
A
, rezultat
piˇsemo
f
(
a
); ali ne uvek, veoma retko. Neki znaci, na primer
−
,
−
1
,
0
,
,
c
,
T
, se ˇcesto koriste za oznaˇcavanje unarnih operacija. Tada rezultat
primene tih operacija na
a
piˇsemo (
−
a
), (
a
−
1
), (
a
0
),
a
, (
a
c
), (
a
T
).
Ako je
f
operacija duˇzine 2, ili
binarna
operacija, i
a, b
∈
A
, rezultat u
takozvanom prefiksnom zapisu piˇsemo
f
(
a, b
), ali se takav zapis retko
koristi. Neki znaci, na primer +,
·
,
∪
,
∩
,
∨
,
∧
,
4
, pa ˇcak i
◦
,
∗
, se
ˇcesto koriste za oznaˇcavanje binarnih operacija i rezultat primene tih
operacija na
a, b
∈
A
se piˇse u takozvanom infiksnom zapisu. Na primer
(
a
∗
b
).
Defnicija 1.3
Algebarska struktura
, ili kra´ce
algebra
, je ured¯eni par
A
:= (
A,
Ω), gde je
A
neprazan skup,
domen algebre
A
, i Ω neka
familija algebarskih operacija skupa
A
.
Tip
, ili
signatura
,
algebre
A
= (
A,
Ω) je Ω-familija (ar(
f
))
f
∈
Ω
.
Kada je Ω = (
f
i
)
i
∈
I
, za neki skup
I
, onda piˇsemo i
A
:= (
A, f
i
)
i
∈
I
.
Tada je
tip
, ili
signatura
,
algebre
A
I
-familija (ar(
f
i
))
i
∈
I
.
Algebre
A
i
B
su
istotipne
ako imaju jednake tipove.
