Др Инг. Јелена Ђоковић, ванр. проф.

ОТПОРНОСТ МАТЕРИЈАЛА

ТЕХНИЧКИ ФАКУЛТЕТ У БОРУ

Бор, 2012.

6.2. Трансверзална сила и момент савијања

6.3. Услови равнотеже (oдсеченог дела греде)

6.4. Нормални напон

6.5. Смицајни (тангентни) напон

6.6

Правци смицајних напона

6.7. Димензионисање штапова при савијању

6.8. Еластична линија савијене греде

6.9. Статички неодређени гредни носачи

7. КОСО САВИЈАЊЕ

7.1. Опште напомене

7.2. Нормални напони

7.3. Неутрална линија

7.4. Максимални напон. Услов чврстоће

7.5. Угиб при косом савијању

8. ЕКСЦЕНТРИЧНИ ПРТИСАК

8.1. Опште напомене

8.2. Нормални напони

8.3. Неутрална линија

8.4. Дискусија положаја неутралне линије и положаја нападне

тачке аксијалног оптерећења

8.5. Језгро попречног пресека

9. ИЗВИЈАЊЕ

9.1. Опште напомене

9.2. Извијање у еластичном подручју. Критична сила и критичан

напон

9.3. Извијање у нееластичном подручју

9.4. Коефицијент сигурности при извијању штапова

9.5. "Омега" поступак

10. ХИПОТЕЗЕ ГРАНИЧНОГ СТАЊА НАПОНА.

ТЕОРИЈЕ О

ЧВРСТОЋИ МАТЕРИЈАЛА.

10.1. Опште напомене

10.2. Дијаграм напон - деформација

10.3. Хипотезе о слому материјала. Теорије о чврстоћи материјала.

10.3.1.

I хипотеза: хипотеза највећих нормалних напона - Галилејева
хипотеза

10.3.2.

II хипотеза: хипотеза највеће деформације - Мариотова хипотеза

10.3.3.

III хипотеза: хипотеза највећег смицајног напона - Кулонова
хипотеза

10.3.4.

IV хипотеза: хипотеза граничне криве напона - Морова хипотеза

10.4. Деформацијски рад. V и VI xипотезa о слому материјала.

10.4.1.

Дефиниција. Клапејронова теорема

10.4.2.

Лагранжева и Кастиљанова теорема

10.4.3.

V хипотеза: хипотеза највећег укупног деформацијског рада -
Белтрамијева хипотеза

10.4.4.

VI хипотеза: хипотеза највећег деформацијског рада утрошеног на
промену облика - хипотеза Huber – Mises – Hencky

ОТПОРНОСТ МАТЕРИЈАЛА

1. УВОД

1.1. Објекат изучавања отпорности материјала

У Механици се проучава кретање и мировање апсолутно крутих тела. Под

апсолутно

крутим телом

подразумевамо такво тело које се не деформише, тј. растојања његових ма којих

двеју тачака остају увек непромењена. Таква недеформабилна тела у природи не постоје; она су
само замишљена (апстрактна) ради лакшег формулисања основних закона кретања и равнотеже.

Реална тела, међутим, могу да се деформишу, мењају свој облик и величину. Таква тела

називамо

чврстим телима

и она представљају објекат изучавања Отпорности материјала.

Елементи свих конструкција су чврста тела. У Отпорности материјала посебна пажња посвећује
се проучавању штапова – таквих чврстих тела у које се сврставају многи елементи конструкција.

Штап

, слика 1.1.(a) је такво чврсто тело чија је дужина знатно већа од његових

димензија у попречном пресеку. Линија која спаја тежишта свих попречних пресека је

оса

штапа

. Према облику осе, штап може бити прав или крив, а према облику попречних пресека –

пун (масиван) или танкозидни (са отвореним и затвореним профилом). Штап, по својој дужини,
може бити променљивог и непроменљивог попречног пресека.

(a)

(b)

(c)

(d)

Слика 1.1. Врсте чврстих тела: а) штап, b) плоча, c) љуска, d) масивно тело (масив)

Други облици чврстих тела у Отпорности материјала се мање изучавају или се уопште

не изучавају. Ту спадају плоче, љуске и масивна тела (масиви).

Плоча

, слика 1.1.(b) је такво равно тело код којег је једна димензија (дебљина

) много

мања од других димензија у равни плоче. С обзиром на облик своје контуре, плоче могу бити
правоугаоне, кружне, троугласте и др.

Љуске

, слика 1.1.(c) је такво просторно тело код којег је дебљина зида

много мања од

других димензија. Према томе, равна љуска је у ствари – плоча. У групу љуски спадају разни
резервоари за течности и гасове, танкозидне цеви, силоси и бункери за чврсте расипне
материјале (житарице, цемент), куполе зграда итд.

Масивно тело – масив

, слика 1.1.(d) одликује се тиме што су му све димензије -

величине истог реда. Ту спадају: фундаменти машина (паралелепипеди), куглице у кугличним
лежиштима, ваљци итд.

Плоче, љуске и масивна тела (масиви) најчешће се проучавају у науци која се зове

Теорија еластичности, или некој посебној научној дисциплини као што је Теорија плоча и
љуски, Механика чврстог тела и др.

УВОД

ОТПОРНОСТ МАТЕРИЈАЛА

оптерећењима и димензијама – проверити чврстоћу, крутост и стабилност; 3) при
задатим димензијама тела – одредити дозвољена оптерећења (носивост).

Поред статички одређених задатака, који се у потпуности могу решити

принципима  Статике,  постоји  и  једна  група  сложенијих  задатака  за  чије  потпуно
решавање нису довољне само једначине Статике. Такви задаци су статички неодређени
или  хиперстатички  и  у  Статици  се  не  разматрају.  Методе  за  њихово  решавање  даје
Отпорност  материјала,  користећи  чињеницу  да  се  тело  сматра  чврстим,  тј.
деформабилним.  Према  томе,  важан  задатак  Отпорности  материјала  је  и  решавање
статички неодређених задатака.

За проверавање теоријских закључака, Отпорност материјала користи и опитне

(експериметалне) податке. Дакле, то је теоријско – експериментална наука.

Отпорност материјала у потпуности користи сва физичка и математичка правила

и методе. Од нарочитог значаја је коришћење закона и правила Статике за апсолутно
крута тела: услови равнотеже система сила и друго.  Међутим, сва правила Статике не
могу  се  применити  у  Отпорности  материјала.  Тако,  на  пример,  замена  система  сила
другим,  статички  еквивалентним  системом  (померање  силе  по  линији  њеног  дејства,
замена  више  сила  њиховом  резултантом  и  др.),  битно  мења  карактер  деформација  и
напона  чврстог  тела,  па  је  у  Отпорности  материјала  обично  неприхватљива.  Дакле,
статичка  еквивалентност  система  спољашњих  сила,  не  обезбеђује  еквивалентност
деформација, унутрашњих сила и напона изазваних тим системом.

1.3. Основне претпоставке Отпорности материјала

Ради упрошћавања принципа решавања појединих проблема, у Отпорности

материјала  уводе  се  извесне  претпоставке  о  својствима  материјала,  карактеру
деформација и оптерећења, и др. Најважније су следеће претпоставке: да је материјал
непрекидан,  хомоген,  изотропан  и  апсолутно  еластичан,  да  су  померања  линеарно
зависна  од  оптерећења  и  да  су  мала  у  поређењу  са  димензијама  тела,  да  у
неоптерећеном  елементу  нема  напона,  да  важе  принцип  независности  дејства  сила  и
принцип Сен–Венана, и др.

a) Под

непрекидношћу

подразумевамо потпуну испуњеност материјалом сваке,

па  и  најмање  запремине  тела.  Другим  речима,  сматрамо  да    у  телу  не  постоје
материјалом  неиспуњени  простори  –  шупљине.  Ова  претпоставка,  строго  узевши,  у
супротности  је  са  стварношћу  јер  је  познато  да  се  реално  тело  састоји  из  мноштва
међусобно спојених честица (ситнозрнаста структура) између којих се налази слободан
простор.  Ипак,  оправдање  за  увођење  ове  хипотезе  налази  се  у  чињеници  што  се  у
једној  веома  малој  запремини  тела  налази  огроман  број  честица,  тако  да  се  и  таква,
бесконачно  мала  запремина  може  сматрати  непрекидном  средином  као  и  цело  тело.
Једноставније речено, димензије веома мале запремине тела много су веће не само од
међуатомских  растојања,  већ  и  од  димензија  кристала.  Чак  и  за  такве  материјале  као
што  су  дрво,  бетон  и  камен,  прорачуни  који  се  заснивају  на  претпоставци  о
непрекидности материјала, дају сасвим задовољавајуће резултате.

Хомогеним

сматрамо такав материјал који у свим тачкама има исте физичко-

механичке особине ( јачину, деформабилност, густину и др.). Такви материјали су, на
пример, сви метали, стакло, па чак и техничко дрво. Материјал који нема поменуте
особине је

нехомоген

(на пример, армирани бетон).

Особине непрекидности и хомогености су међусобно тесно повезане и

неодвојиве једна од друге.

Изотропан

је онај хомогени материјал који у свакој тачки има иста физичко-

механичка својства у свим правцима. Такви су сви ливени метали , стакло, пажљиво
направљени ситнозрнасти бетон, пластичне масе и др. Ако се из плоче лима исеку