Master rad
LAPLASOVA TRANSFORMACIJA
Snježana Maksimović
Mentor: Akademik dr Stevan Pilipović
Novi Sad, april 2011.
2.6. Teoreme jedinstvenosti, aproksimacije i
inverzije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.7. Riemann-Stieltjesov integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.8. Laplace-Stiltjes-ov integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.9. Riesz-Stieltjes-ov operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
2.10. Laplace-Stieltjes-ova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
A. Tablice
65
Biografija
72
Literatura
73
v
Predgovor
Laplace-ova transformacija predstavlja jako dobar "alat" za rješavanje običnih
i parcijalnih diferencijalnih jednaćina. Integralne transformacije pojavljuju se u
radu Leonarda Euler-a, koji ih je prilikom rješavanja običnih diferencijalnih jed-
načina drugog reda, predstavljao u obliku inverzne Laplace-ove transformacije.
Laplace u svom velikom djelu
Théorie analytique des probabilités (1812)
, pominje
Euler-a kao začetnika integralnih transformacija. Krajem devetnaestog vijeka,
Laplace-ova transformacija je proširena do njenog kompleksnog oblika zaslugama
Poincaré-a
and
Pincherle-a
, i proširena na dvije promjenjive zaslugom
Picard-
a
. Jedna od najljepših formula iz teorije Laplace-ove transformacije je svakako
formula kompleksne inverzije. Prva primjena savremene Laplace-ove transforma-
cije pojavljuje se u radu
Bateman-a (1910)
.
Berstein
je 1920-te u svom radu
o teta funkcijama izraz
f
(
s
) =
R
∞
0
e
−
st
φ
(
t
)
dt
nazvao Laplace-ovom transforma-
cijom. Određeni podsticaj i doprinos ovome dao je
Deutch
1920-ih i 1930-ih
godina koji primjenjuje Laplace-ovu transformaciju za rješavanje diferencijalnih,
integralnih i integrodiferencijalni jednačina. Rezultate toga rad je izložio u djelu
Theorie und Anwendungen der Laplace Transformation (1937)
. Važnu ulogu u
primjeni Laplace-ove transformacije u Elektrotehnici odigrao je
Oliver Heaviside
.
On je izumio
Heaviside-ovu
stepenastu funkciju i primjenio je na modelu stuje
u elektičnom kolu. Pronašao je i metodu za rješavanje linearnih diferencijalnih
jednačina, za koju je kasnije utvrđeno da odgovara Laplace-ovoj transformaciji.
Mnogi naučnici su pokušali da
Heaviside-ov
račun učine složenijim i povežu ga sa
Laplace-ovom transformacijom. Jedan od njih bio je i
Bromwich
, koji je otkrio
inverznu Laplace-ovu transformaciju. Laplace-ova transformacija primjenjuje se
u fizici (na primjer, provođenje toplote) kao i u analizi prenosa signala u različi-
tim sistemima (elektične mreže, komunikacioni sistemi, ...). Optički sistemi, kao
i kompjuterski programi za obradu digitalizovane slike i zvukova se takođe mogu
smatrati sistemima na koje se može primjeniti Laplace-ova transformacija.
U ovom master radu sam pokušala da na najbolji način približim čitaocu Laplace-
ovu transformaciju, njene osnovne osobine i primjene. Rad se sastoji od dve glava.
Prva glava predviđena je za čitaoce koji se prvi put upoznaju sa pojmom Laplace-
ove transformacije i koji nisu upoznati sa Banahovim prostorima, dok je druga
glava napredniji nivo i ona je namjenjena čitaocima koji su upoznati sa ovim
vi
1. Osnovna Laplace-ova
transformacija
1.1.
Egzistencija Laplace-ove transformacije
Definicija 1.1.1.
Pretpostavimo da je
t
7→
f
(
t
)
realna ili kompleksna funkcija
(
t >
0)
i
s
realan ili kompleksan parametar. Definišimo Laplace-ovu transforma-
ciju funkcije
f
sa
F
(
s
) =
L
(
f
(
t
)) =
Z
∞
0
e
−
st
f
(
t
)
dt
= lim
τ
→∞
Z
τ
0
e
−
st
f
(
t
)
dt
(1.1)
pod uslovom da ovaj limes postoji.
Ako ovaj limes postoji, onda kažemo da integral (1.1) konvergira. U suprot-
nom slučaju integral divergira i ne možemo definisati Laplace-ovu transformaciju
za
f
. U nastavku ćemo se baviti konvergencijom integrala (1.1).
Definicija 1.1.2.
Integral (1.1) je apsolutno konvergentan ako postoji
lim
τ
→∞
Z
τ
0
|
e
−
st
f
(
t
)
|
dt.
Ako
L
(
f
(
t
))
konvergira apsolutno, onda vrijedi
|
Z
τ
0
τ
e
−
st
f
(
t
)
dt
| ≤
Z
τ
0
τ
|
e
−
st
f
(
t
)
|
dt
→
0
, kad τ
→ ∞
za sve
τ
0
> τ
.
Definicija 1.1.3.
Funkcija
f
je dio po dio neprekidna na intervalu
[0
,
∞
)
ako:
i)
lim
t
→
0
+
f
(
t
) =
f
(0
+
)
postoji
ii)
f
je neprekidna na svakom konačnom intervalu
(
a, b
)
osim u eventualno ko-
načno mnogo tačaka
r
1
, r
2
, ..., r
n
∈
(
a, b
)
u kojima funkcija
f
ima prekide.
1
