2
UVOD
Zbirka sadrži 438 ispitnih zadataka koji su bili na ispitu prethodnih godina i to sa proverenim rešenjima. Rešenja nekih
zadataka su detaljna, dok su kod drugih dati samo rezultati.
Zadaci su podeljeni po oblastima i u okviru svake oblasti grupisani po tipu i po težini od lakših ka težim.
Na kraju zbirke nalazi se podsetnik (dodatak A) koji Vam preporučujem da prvo pročitate.
Ova zbirka je nastala kao pomoćno sredstvo studentima koji pohađaju kurs kod autora zbirke, mada može da posluži i ostalima
za lakše spremanje ispita.
Prednost ove zbirke je što prvi put na jednom mestu imate teoriju i zadatke i što su ispitni zadaci razvrstani po oblastima, tako
da paralelno predavanjima možete postepeno da testirate svoje znanje radeći ispitne zadatke iz oblasti koje ste prešli.
Nadam se da će vam ova zbirka biti od velike pomoći.
Želim Vam puno uspeha na ispitu.
Autor: dipl. ing. Časlav Pejdić
4
Definicija 12: (unija relacija)
Unija relacija
i
(
) se definiše kao:x
y
x
y
x
y.
Definicija 13: (presek relacija)
Presek relacija
i
(
) se definiše kao:x
y
x
y
x
y.
Definicija 14: (proizvod relacija)
Proizvod relacija
i
(
∘
) se definiše kao:x
∘
y
(
z) x
z
z
y.
Definicija 15: (definicija funkcije)
Binarna relacija f definisana u skupu A
B naziva se preslikavanje (funkcija) skupa A u skup B i piše se
f : A
B, ako su ispunjena dva uslova:
1. skup svih prvih komponenata skupa f jednak je skupu A,
2. važi implikacija (
x
A) (x,y
1
)
f
(x,y
2
)
f
y
1
= y
2
, tj. jednakost prvih komponenata implicira jednakost drugih
komponenata.
Definicija 16: (domen definisanosti funkcije)
Domen definisanosti funkcije (D) su sve vrednosti nezavisne promenljive (x) za koje funkcija postoji.
Definicija 17: (skup vrednosti funkcije)
Skup vrednosti funkcije (V) je skup svih vrednosti koje funkcija može da ima na domenu D.
Definicija 18: (sirjektivnost)
Ako je preslikavanje f : A
B takvo da je skup svih vrednosti funkcije V jednak skupu B, tada se kaže da je f sirjektivno
preslikavanje, ili se još kaže da f preslikava skup A na skup B.
Definicija 19: (injektivnost)
Preslikavanje f : A
B je injektivno ako i samo ako se različiti elementi skupa A preslikavaju u različite elemente skupa B, tj.
važi implikacija: (
x
1
,x
2
A) x
1
x
2
f(x
1
)
f(x
2
), odnosno
(
x
1
,x
2
A) f(x
1
) = f(x
2
)
x
1
= x
2
.
Definicija 20: (bijektivnost)
Preslikavanje f : A
B je bijektivno ako i samo ako je sirjektivno i injektivno, tj. važi implikacija:
(
x
1
,x
2
A) f(x
1
) = f(x
2
)
x
1
= x
2.
Definicija 21: (inverzna funkcija)
Ako je preslikavanje f : A
B bijektivno, tada se inverzno preslikavanje f
-1
preslikavanja f definiše na sledeći način: f
-1
: B
A,
f
-1
(f(x)) = x, tj. slika svakog elementa f(x) iz skupa B je elemenat x iz skupa A.
Definicija 22: (proizvod funkcija)
Pod proizvodom preslikavanja f : A
B i g : B
C podrazumeva se preslikavanje h : A
C određeno sa:
(
x
A) h(x) = g(f(x)). Ovo preslikavanje označavamo sa h = g
f.
Definicija 23: (ograničenost funkcije)
Funkcija y = f(x) je ograničena u oblasti definisanosti D ako postoji pozitivan broj K takav da je:
(
x
D) |f(x)| < K.
Definicija 24: (monotonost funkcije)
Funkcija y = f(x) je monotono rastuća u oblasti definisanosti D, ako važi implikacija:
(
x1,x2
D) (x2 > x1
f(x2) > f(x1)), a monotono opadajuća u oblasti definisanostiD, ako važi implikacija: (
x1,x2
D) (x2 >
x1
f(x2) < f(x1)).
Definicija 25: (parnost funkcije)
Funkcija y = f(x), definisana na segmentu [-a,a], je parna ako je:
(
x
[-a,a]) f(-x) = f(x), a neparna je ako je: (
x
[-a,a]) f(-x) = -f(x).
Definicija 26: (periodičnost funkcije)
Funkcija y = f(x), definisana u oblasti D, je periodična ako postoji realan broj a
0, takav da je:
(
x
D) f(x + a) = f(x).
1.
(jun 2011)
Ispitati da li je relacija
definisana kao x
y
x
n
- y
n
≥ 0 relacija poretka na skupu
ℝ
realnih brojeva:
Matematika za ekonomiste
Č
aslav Pejdić, (064) 123 09 10
5
a) za n = 3
b) za n = 4
2.
(jun 2013, februar 2013-usmeni, januar 2010-usmeni)
Ispitati da li je relacija
definisana kao x
y akko(def) (
k
∈ ?
) y = kx jedna relacija poretka na skupu prirodnih brojeva
3.
(januar 2005)
Ispitati da li je relacija
definisana kao x
y
xy ≤ y
2
relacija poretka na skupu:
a)
N
prirodnih brojeva
b)
Z
celih brojeva
4.
(oktobar-2 2011, februar 2011, januar 2010, jun 2009)
Data je binarna relacija
zadata kao:
? ? ?
?
?
2
+1
≤
?
?
2
+1
,
Ispitati da li je ovo relacija poretka na skupu: a)
ℝ
, b)
(1, ∞)
.
5.
(septembar 2008)
Data je binarna relacija
zadata kao:
? ? ?
?
?
2
+1
≤
?
?
2
+1
.
Ispitati koje od osobina linearnog uređenja ima ova relacija na skupu
ℝ
.
6.
(februar 2008, januar 2007, oktobar-2 2006)
Pokazati da je binarna relacija
zadata kao:
? ? ? ? ?
2
+ 1 ≤ ? ?
2
+ 1
,
jedno uređenje skupa
(1, ∞)
, ali ne i skupa
ℝ
.
7.
(oktobar 2013, oktobar 2012, februar 2012, januar 2010, jun 2009-usmeni)
Ispitati da li je relacija
definisana uslovom:
? ? ? ???? ??? ?
2
+
1
?
2
= ?
2
+
1
?
2
na skupu
−∞, 0 ∪ (0, ∞)
relacija
ekvivalencije. Ukoliko jeste, odrediti klasu ekvivalencije broja 3.
8.
(januar 2011-usmeni, januar 2010, januar 2009, januar 2006-usmeni)
Ispitati da li je relacija
definisana kao:
? ? ? ???? ??? ?
2
− ?
2
?
2
?
2
− 1 = 0
, jedna relacija ekvivalencije na skupu
realnih brojeva. Ukoliko jeste, odrediti klase ekvivalencije [0], [1] i [2].
9.
(januar 2013-usmeni, januar 2009, januar 2007)
Da li je sledeća relacija, relacija ekvivalencije: x
y
x
2
y+y = xy
2
+x.
Ako jeste, odrediti klasu ekvivalencije broja 7 i
1
7
.
10.
(jun 2013, januar 2013)
Ispitati da li je relacija
definisana na skupu beskonačno malih veličina u okolini neke tačke
a(
R
), kao
? ? ? ? ? ↔ ???
? → ?
?(?)
?(?)
= 1
, jedna relacija ekvivalencije.
11.
(jul 2011, septembar 2008, februar 2006-usmeni, januar 2006)
Odrediti sve moguće relacije ekvivalencije nad četvoročlanim skupom
? = 1,2,3,4
.
Koliko ih ukupno ima?
12.
(februar 2011, februar 2011-usmeni, septembar 2008)
Da li iz tranzitivnosti relacija
i
sledi tranzitivnost relacije
? (Pokazati)
13.
(septembar 2013)
Ispitati da li je
-1
A
2
, relacija ekvivalencije na skupu A, ako je relacija
A
2
refleksivna i tranzitivna na skupu A.
14.
(oktobar-2 2008-usmeni, septembar 2008-usmeni, januar 2007-usmeni, oktobar-2 2006-usmeni, januar 2006-usmeni)
Ispitati da li su funkcije
? ? = ?
2
i
? ? = ?
3
bijekcije.
15.
(oktobar 2010-usmeni, oktobar 2008-usmeni)
Ispitati da li su funkcije
? ? = ?
2
+ ? + 1
i
? ? = ?
3
+ 1
bijekcije.
16.
(jul 2013)
Date su funkcije
?, ?: ? → ?
, definisane kao
? ? = ?
2
+ 6? − 3
i
? ? = ?
3
+ 1
. Ispitati da li su to bijekcije. Ukoliko nisu
odrediti domen i kodomen funkcije koja nije bijekcija tako da bude bijekcija, a zatim odrediti i njihove odgovarajuće
inverzne funkcije.
17.
(februar 2013)
Odrediti najmanju vrednost realnog parametra
a
i odgovarajuću vrednost realnog parametra
b
tako da funkcija
?: ?, 2 → 0, ? ,
zadata sa
? ? = ?
2
− 4? + 3
bude bijekcija, a zatim odrediti
?
−1
(?)
.
18.
(septembar 2008-usmeni, oktobar 2005)
Ispitati monotonost i konveksnost funkcije
? ? = ?
2
+ 1
, koristeći definiciju.
Matematika za ekonomiste
Č
aslav Pejdić, (064) 123 09 10
7
Definicija 2: (determinante)
Neka je A kvadratna matrica
?
11
⋯ ?
1?
⋮
⋱
⋮
?
?1
⋯ ?
??
,
tada broj
det ? = (−1)
?(?
1
,?
2
,…?
?
)
?
1?
1
?
2?
2
. . . ?
??
?
(?
1
, ?
2
, … , ?
?
)
∈ ?!
,
gde smo sa n! označili skup svih permutacija niza (1,2,…,n), a sa p(k
1
,k
2
,…,k
n
) parnost permutacije (k
1
,k
2
,…,k
n
) niza (1,2,…,n),
nazivamo determinantom matrice A.
Determinantu matrice A označavaćemo sa detA ili
?
11
?
12
⋯ ?
1?
?
21
?
22
⋯ ?
2?
⋮
?
?1
⋮
?
?2
⋱
⋯
⋮
?
??
.
Neposrednom primenom definicije dobijamo formule za izračunavanje determinanata prvog, drugog i trećeg reda:
det ?
11
= ?
11
???
?
11
?
12
?
21
?
22
= ?
11
?
22
− ?
12
?
21
???
?
11
?
12
?
13
?
21
?
22
?
23
?
31
?
32
?
33
= ?
11
?
22
?
33
+ ?
12
?
23
?
31
+ ?
13
?
21
?
32
− ?
11
?
23
?
32
− ?
12
?
21
?
33
− ?
13
?
22
?
31
.
Determinante trećeg (i samo trećeg reda) se praktično najčešće računaju po Sarusovom pravilu, koje se može lako zapamtiti u
sledećem obliku:
determinanti dopišemo prvu i drugu kolonu
+
+
+
?
11
?
12
?
13
?
21
?
22
?
23
?
31
?
32
?
33
−
−
−
?
11
?
21
?
31
?
12
?
22
?
32
i pravimo proizvode po dijagonalama, ne menjajući
znak proizvodu sa glavne dijagonale i njemu paralelnim trojkama, a menjajući znak proizvodu sa sporedne dijagonale i njemu
paralelnim trojkama. Na kraju napravimo zbir svih ovih proizvoda što će biti tražena vrednost determinante.
Neke osobine determinanata:
1) Ako su elementi jedne vrste (kolone) proporcionalni elementima druge vrste (kolone), determinanta je jednaka nuli.
2) Zajednički činilac jedne vrste (kolone) može da se izdvoji ispred determinante.
3) Vrednost determinante se neće promeniti ako se elementima jedne vrste (kolone) dodaju odgovarajući elementi druge vrste
(kolone), pomnoženi istim brojem.
4) det (AB) = det (A) det (B)
Definicija 3: (algebarski komplement)
Ako izostavimo i-tu vrstu i j-tu kolonu (i,j = 1,…,n) jedne kvadratne matrice tipa n
n, dobijamo jednu novu matricu tipa (n-1)
(n-1). Determinantu na ovaj način dobijene matrice označavamo sa M
ij
i nazivamo minorom elementa a
ij
. Algebarski
komplement elementa a
ij
, u oznaci A
ij
, biće A
ij
= (-1)
i+j
M
ij
.
Teorema 1: (teorema o razvijanju determinante)
Za svaki i (i=1,2,…,n)
?
11
?
12
⋯ ?
1?
?
21
?
22
⋯ ?
2?
⋮
?
?1
⋮
?
?2
⋱
⋯
⋮
?
??
= ?
?1
?
?1
+ ?
?2
?
?2
+ ⋯ + ?
??
?
??
= ?
1?
?
1?
+ ?
2?
?
2?
+ ⋯ + ?
??
?
??
.
Definicija 4: (regularna matrica)
Za kvadratnu matricu A kažemo da je regularna akko je det A
0, a kada je det A = 0, onda matricu nazivamo singularnom.
Definicija 5: (inverzna matrica)
Kvadratnu matricu X tipa n
n nazivamo inverznom matricom matrice A tipa n
n akko je AX = XA = I. Inverznu matricu
matrice A označavamo sa A
-1
.
Definicija 6: (adjungovana matrica)
Matrica adj A koja se dobija kada se elementi matrice zamene njihovim algebarskim komplementima, pa se zatim takva matrica
transponuje, zove se adjungovana matrica matrice A.
Teorema 2: (teorema o inverznoj matrici)
Kvadratna matrica A ima inverznu matricu akko je matrica A regularna. Ako je A regularna matrica, onda je
?
−1
=
1
????
∙ ????
.
