Elektromagnetika

1

3. ELEKTROMAGNETIKA 

Elektromagnetika je oblast elektrotehnike u kojoj se prou

č

avaju jedinstvene 

elektromagnetne pojave.  
 

Magnetne pojave, kao i elektri

č

ne, uo

č

ene su davno. Me

đ

utim, tek po

č

etkom 

XIX vijeka otkrivena je njihova me

đ

uzavisnost. Godine 1821. Ersted je otkrio da 

magnetna igla (kompas) skre

ć

e sa pravca sjever-jug, ako se u njenoj blizini nalazi 

provodnik kroz koji proti

č

e elektri

č

na struja. Djelovanje elektri

č

ne struje nije, dakle, 

lokalizovano samo u elektri

č

nom kolu (zagrijavanje provodnika, hemijske reakcije u 

bateriji), ve

ć

 se to djelovanje osje

ć

a i van provodnika. Kažemo da elektri

č

na struja u 

okolnom prostoru stvara 

magnetno polje

. Eksperimenti ukazuju da ovo magnetno polje, 

stvoreno strujom (elektricitetom u pokretu), ima sve osobine magnetnog polja koje 
poti

č

e od 

permanentnog (stalnog) magneta.

Č

uveni nau

č

nici toga doba, me

đ

u kojima treba izdvojiti Ampera i Faradeja, na 

osnovu mnogobrojnih eksperimenata, uspijevaju da shvate zakonitosti elektromagnetnih 
pojava i dolaze do saznanja da 

 nema eleketri

č

ne struje bez magnetnog polja, niti pak, 

magnetnog polja bez elektri

č

ne struje.

 Te dvije pojave su djelovi jedne jedinstvene 

elektromagnetne pojave.

Eksperimentom se lako može uvjeriti da se oko svakog provodnika sa strujom 

javlja magnetno polje, sli

č

no kao kod stalnog magneta (sl. 3.1.).

Nešto je teže dokazati da magnetno polje permanentnog magneta poti

č

e od struje 

koju sa

č

injava, kod namagnetisanog predmeta, ure

đ

eno kretanje elektrona oko jezgra 

atoma i oko sopstvenih osa. Razumije se, ove mikro struje usljed kretanja elektrona, 
postoje u svim materijalima, ali se njihovo djelovanje, makroskopski posmatrano, ne 
osje

ć

a, jer se magnetna polja, usljed neure

đ

enosti kretanja elektrona, me

đ

usobno 

poništavaju. 

Na osnovu eksperimentalnih rezultata i dobijenih rezultata za posebne slu

č

ajeve, 

plejada 

č

uvenih fizi

č

ara uspostavlja teoriju elektromagnetizma i opisuje je 

matemati

č

kim formulama. Kruna tog uspjeha nau

č

nika XIX vijeka je 

č

uvena 

Maksvelova teorija elektromagnetnih polja. 

            a)                         b)       

    c) 

Slika 3.1 Dvodimenzionalni prikaz magnetnog polja; 

a) Stalnog magneta, b) Ravnog provodnika, c) Solenoida 

N

S

B

B

B

B

kom pas

N

s

N

S

B

B

B

B

i

kompas

I

2 

3.1 Magnetno polje 

 
3.1.1 Laplasov zakon 
 

Magnetno polje je vektorsko polje opisano u svakoj ta

č

ki 

vektorom ja

č

ine magnetnog 

polja 

H

G

. 

Laplasov zakon

 (u literaturi se srije

ć

e i pod nazivom Amperov zakon) nam 

omogu

ć

ava da, u bilo kojoj ta

č

ki oko provodnika, odredimo elementarno polje dH, koje 

poti

č

e od elementa dl elektri

č

nog kola kroz koje te

č

e struja i. Ukupna ja

č

ina polja H u 

posmatranoj ta

č

ki  dobija se kao zbir elementarnih polja svih elemenata dl elektri

č

nih 

kola koja, u

č

estvuju u stvaranju posmatranog magnetnog polja. 

Slika 3.2 Magnetno polje elementa provodnika 

 
Na sl. 3.2 prikazan je dio provodnika kroz koji te

č

e struja i. Elementarna ja

č

ina 

magnetnog polja u ta

č

ki M, koje poti

č

e od djeli

ć

a provodnika dl, po Laplasovom 

zakonu je: 

)

(

4

3

r

l

d

r

i

H

d

G

G

G

×

=

π

  (3.1) 

Pravac polja je normalan na ravan u kojoj leže element provodnika i posmatrana ta

č

ka. 

Smjer je odre

đ

en pravilom vektorskog množenja: vektor 

l

d

G

 se najkra

ć

im putem zakre

ć

e 

tako da se poklopi sa vektorom položaja 

r

G

 posmatrane ta

č

ke M, a smjer napredovanja 

desnog zavrtnja, pri takvom kretanju, odre

đ

uje smjer vektora d

H

G

 (ovo pravilo se 

č

esto 

naziva i pravilo desnog zavrtnja). Treba naglasiti da je smjer vektora 

l

d

G

 odre

đ

en 

smjerom struje kroz taj provodnik. 

Intenzitet vektora ja

č

ine polja je: 

θ

π

sin

4

2

⋅

=

dl

r

i

dH

(3.2) 

gdje je 

θ

 ugao izme

đ

u vektora 

r

i

l

d

G

G

. 

Ukupna ja

č

ina magnetnog polja u ta

č

ki M dobija se sabiranjem polja svih elementarnih 

dijelova okolnih strujnih kola, koja u

č

estvuju u stvaranju polja: 

∫

=

H

d

H

G

G

Pri ra

č

unanju se obi

č

no vektor elementarnog polja razlaže na komponente Dekartovog 

koordinatnog sistema: 

z

y

x

dH

k

dH

j

dH

i

H

d

G

G

G

G

+

+

=

  (3.3) 

Skalarnim integraljenjem se dobiju komponente polja: 

θ

dH

M

r

i

dl

4 

dl

r

rd

r

d

r

d

D

cos

cos

α

α

α

α α

2

2

=

=

=

. 

         (3.7) 

d

α

α

D

P

I

α

dl

α

dl

α

d

α

∼

r

d

α

r

r

a)

b)

B

I

Slika 3.4 Magnetno polje dugog pravolinijskog provodnika sa strujom; 

a) Cjeloviti prikaz; b) Uve

ć

ani prikaz jednog segmenta. 

 Primjenom 

operacije 

integraljenja 

na izraz (3.2) duž provodnika, uvažavaju

ć

i 

odnose iz (3.7), dobija se izraz za ja

č

inu polja u ta

č

ki P 

D

I

d

cos

D

I

H

π

α

α

π

π

π

2

4

2

2

=

=

∫

−

  (3.8) 

pravca i smjera kako je ozna

č

eno na slici 3.4a. 

 Dakle, 

ja

č

ina polja H , u proizvoljnoj ta

č

ki P van provodnika, direktno zavisi od 

ja

č

ine struje I kroz provodnik, a obrnuto je proporcionalna rastojanju ta

č

ke P od ose 

provodnika zanemarljivo malog presjeka u odnosu na njegovu dužinu. Polje je 
tangentno na koncentri

č

ne krugove oko provodnika, a smjer polja pokazuju savijeni 

prsti desne ruke, ako se palac postavi duž provodnika u smjeru struje. 
 

Magnetno polje kompaktnog namotaja 

Neka je dat kompaktni namotaj, sa

č

injen od N navojaka tanke izolovane 

provodne žice, kružnog oblika polupre

č

nika r kroz koji proti

č

e struja I, kao onaj 

predstavljen na slici 3.5. Neka se zahtijeva da se odredi ja

č

ina polja H u ta

č

ki P u centru 

namotaja. 
 

r

P

dl

H

N

i

i

dH

Slika 3.5 Ja

č

ina polja u centru kompaktnog namotaja sa strujom. 

Izraz 3.2 primijenjen na jedan navojak kompaktnog namotaja, s obzirom da je 

θ π

=

2

, ima oblik: 

r

i

r

)

r

(

i

dl

r

i

dH

H

r

2

4

2

4

2

2

0

2

=

=

=

=

∫

∫

π

π

π

π

pa je ja

č

ina polja koje poti

č

e od N navojaka: 

5

H

N

i

r

=

2

          (3.9) 

o

č

igledno N puta ve

ć

a od one koja poti

č

e od jednog navojka. 

Magnetno polje torusa 
 

Za realizaciju jakih magnetnih polja koristi se, obi

č

no, namotaj velikog broja N 

navojaka namotanih na magnetno kolo oblika torusa, kao na slici 3.6. 

r

R

b

c

H

c

a

Η

d

I

S

I

N

ravnomjerno

raspore|enih

navojaka

l

srednja

dužina

torusa

Slika 3.6 Torusni namotaj. 

Primjenom Amperovog zakona ukupne struje na konturu "a" , zbog toga što je 

algebarska suma svih struja koje prodiru kroz površinu koja se oslanja na tu konturu 
jednaka nuli (Ni struja ulazi i Ni struja izlazi), a s obzirom da je 

∫

dl

≠

0, H mora biti 

jednako nuli. Na sli

č

an na

č

in, konstatuje se i za polje H po konturi "b" jer, kroz 

površinu koja se oslanja na tu konturu, ne prodire nikakva struja. 
 

Za konturu "c", zbog toga što kroz površinu koja se oslanja na tu konturu prodire 

struja I, može se konstatovati da postoji neko Hc sa pravcem i smjerom kao na slici. 

Ovo polje je relativno slabo jer poti

č

e od samo jednog navojka sa strujom I, a kontura se 

u cjelini zatvara kroz vazdušnu sredinu. 
 

Primjena Amperovog zakona ukupne struje na konturu "d" daje 

NI

R

H

l

d

H

=

=

∫

)

2

(

π

G

G

, 

pa je u centru presjeka torusa 

H

NI

R

=

2

π

. 

  (3.10) 

3.2 Magnetna indukcija  

Vidjeli smo da ja

č

ina magnetnog polja  zavisi od geometrijskih oblika strujnih 

kola i ja

č

ina struje I koje kroz ta kola proti

č

u i razumije se, od položaja ta

č

ke u kojoj se 

polje posmatra. Me

đ

utim, u manifestacijama magnetnog polja, od kojih su najvažnije

pojava mehani

č

ke sile na elektricitet u pokretu (

elektromagnetna (mehani

č

ka) sila)

 i 

pojava 

indukovane elektromotorne sile

 pri promjeni magnetnog polja, uvi

đ

a se da i 

sredina, prostor u kome se pojave odvijaju, igra bitnu ulogu. Da bi bili u stanju da dalje 
izu

č

avamo pojave u vezi sa magnetnim poljem, neophodno je da damo definiciju nove 

7

Do ovog dijagrama dolazimo na bazi mjerenja prema slede

ć

em eksperimentu: Na 

torus od 

č

istog gvož

đ

a namota se N namotaja izolovane žice. Ovaj namotaj priklju

č

i se 

na izvor pomo

ć

u koga možemo mijenjati ja

č

inu struje i, i po intenzitetu i po smjeru. 

Kako je ja

č

ina magnetnog polja u torusu H=Ni/l, o

č

igledno, mijenjaju

ć

i struju, u 

odre

đ

enoj srazmjeri, mijenjamo polje H, koje nanosimo na apscisi. Na torus se postavi 

još jedan namotaj sa n navoja. Ovaj namotaj se poveže sa instrumentom koji nam 
pokazuje indukciju B u torusu. 
 

Slika 3.7 Promjena indukcije B u funkciji ja

č

ine polja H

Za gvož

đ

e koje se prvi put magnetiše je pri H=0 i B=0. Pri pove

ć

anju magntnog 

polja H (struje) primje

ć

uje se nelinearno pove

ć

anje magnetne indukcije B, pri 

č

emu se 

H

B

0

/

μ

, dakle, relativna magnetna propustljivost 

r

μ

, znatno mijenja. Pri malim 

vrijednostima polja H ona je reda veli

č

ine nekoliko desetina, zatim nekoliko stotina, a 

pri ja

č

ini polja od oko 100 A/m dostiže vrijednost od nekoliko hiljada. Daljnjim 

pove

ć

anjem polja H se, me

đ

utim, ne pove

ć

ava relativna permeabilnost ve

ć

 naprotiv, 

znatno smanjuje. Pri veoma jakom polju (reda veli

č

ine 50000 A/m), priraštaj indukcije 

se približno može ra

č

unati po obrascu 

H

B

Δ

=

Δ

0

μ

, što zna

č

i da se gvož

đ

e potpuno 

zasitilo i svojim feromagnetnim svojstvima više ne doprinosi pove

ć

anju magnetne 

indukcije. Za 

č

isto gvož

đ

e, potpuno zasi

ć

enje nastupa pri vrijednosti polja H=50000 

A/m, a magnetna indukcija ima tada vrijednost tzv. indukcije zasi

ć

enja 

15

.

2

=

m

B

 T. Ne 

treba izgubiti iz vida da, pri toj vrijednosti polja, daljnji uticaj gvož

đ

a na pove

ć

anje 

indukcije iš

č

ezava, ali da je još uvijek ogroman doprinos gvož

đ

a na do tada stvorenu 

indukciju. Da je jezgro torusa od nemagnetnog materijala pri H=50000 A/m imali bi 
indukciju od samo: 

T

H

B

06

.

0

50000

10

4

7

0

=

⋅

=

=

−

π

μ

 . 

O

č

igledno je da je veliki uticaj feromagnetika na vrijednost magnetne indukcije. 

Posmatrajmo sada šta se dešava pri smanjenju polja H. Dakako, opada i 

magnetna indukcija B, ali, kako se vidi sa dijagrama, dobijamo novi skup ta

č

aka (H,B) 

koje 

č

ine novi dio krive a-b. Uo

č

imo da, pri nultoj vrijednosti polja H=0, još uvijek 

imamo znatnu vrijednost indukcije 

r

B

 koju nazivamo 

zaostalom 

ili 

remanentnom 

magnetnom indukcijom (remanencija)

. Da bi indukcija B iš

č

ezla, potrebno je 

promijeniti smjer polja H, što se postiže promjenom smjera struje kroz namotaj. 
Razmagne

ć

enje se vrši po krivoj b-c. Negativna vrijednost ja

č

ine polja, potrebna da se 

magnetna indukcija svede na nulu, naziva se 

koercitivno polje 

c

H

 (ili koercitivna sila). 

H

[

A/m

]

B

[

T

]

200

400

0

1

2

H

m

a

b

c

d

e

f

B

m

c

H

-B

m

-H

m