0
<
1
Pretpostavlja se da ˇcitalac poznaje aksiome (pojam) totalno ured¯enog
polja.
Teorema 0.1.
U svakom totalno ured¯enom polju neutralni element za sabi-
ranje je strogo manji od neutralnog elementa za mnoˇzenje, to jest
0
<
1
.
Dokaz.
Neka je (
Q
,
+
,
·
,
≤
) totalno ured¯eno polje. Jasno je da je 1
6
= 0 jer
se jedinica bira u
Q
{
0
}
, pa je dovoljno da se pokaˇze da je 0
≤
1.
Dokaza´cemo opˇstije tvrd¯enje: Za svako
x
∈
Q
vaˇzi 0
≤
x
·
x
. Poslediˇcno,
za
x
= 1 dobija se traˇzeni rezultat: 0
≤
1
·
1 = 1
.
U sluˇcaju 0
≤
x
, iz aksiome koja povezuje relaciju poretka i operaciju
mnoˇzenja sledi 0
≤
x
·
x
, pa preostaje da se dokaˇze slede´ce tvrd¯enje:
(1)
(
∀
x
∈
Q
)(
x
≤
0
⇒
0
≤
x
·
x
)
.
Najpre se moˇze uoˇciti:
x
≤
0
⇔
x
+ (
−
x
)
≤
0 + (
−
x
)
⇔
0
≤
(
−
x
)
odakle sledi 0
≤
(
−
x
)
·
(
−
x
), pa, ako se dokaˇze da je (
−
x
)
·
(
−
x
) =
x
·
x
,
dobi´ce se 0
≤
x
·
x
, odnosno (1) i time ´ce teorema biti u potpunosti dokazana.
U tu svrhu se koriste slede´ce ˇcinjenice:
i)
(
∀
x
∈
Q
)(
x
·
0 = 0):
x
+
x
·
0 =
x
·
1 +
x
·
0 =
x
(1 + 0) =
x
·
1 =
x,
pa
i)
sledi jer je neutralni element za sabiranje jedinstven.
1
ii)
(
∀
x
∈
Q
)(
−
x
= (
−
1)
·
x
): koriste´ci jedinstvenost suprotnog elementa
i
i)
dobija se
x
+ (
−
1)
·
x
= 1
·
x
+ (
−
1)
·
x
=
x
·
(1 + (
−
1)) =
x
·
0 = 0
⇒
(
−
1)
·
x
=
−
x.
iii)
(
∀
x
∈
Q
)(
x
=
−
(
−
x
)): koriste´ci
i)
i
ii)
dobija se
−
x
+(
−
(
−
x
)) =
−
x
+(
−
1)(
−
x
) =
−
x
·
(1+(
−
1)) =
−
x
·
0 = 0
⇒
(
−
(
−
x
)) =
x,
jer je suprotni element jedinstveno odred¯en.
iv)
(
−
1)
·
(
−
1) = 1:
x
·
((
−
1)
·
(
−
1)) = ((
−
1)
·
x
)
·
(
−
1) =
−
x
·
(
−
1) =
−
(
−
x
) =
x
⇒
(
−
1)
·
(
−
1) = 1
,
jer je neutralni element jedinstveno odred¯en.
Konaˇcno:
x
·
x
= (
−
(
−
x
))
·
(
−
(
−
x
)) = (
−
1)(
−
x
)
·
(
−
1)(
−
x
) = ((
−
1)
·
(
−
1))((
−
x
)
·
(
−
x
)) = (
−
x
)
·
(
−
x
)
.
Zakljuˇcak: za sve
x
∈
Q
vaˇzi 0
≤
x
·
x
, pa je 0
≤
1. Odavde, uz 1
6
= 0,
sledi 0
<
1.
¤
1
Jedinstvenost se sasvim lako dokazuje: za neutralne elemente 0
1
i 0
2
vaˇzi: 0
1
=
0
1
+ 0
2
= 0
2
+ 0
1
= 0
2
, a to je jedinstvenost.
1
