PLO
Č
A RASPONA 6m OSLONJENA U JEDNOM PRAVCU
P2/1
Primer 2.
Plo
č
a dimenzija 6.0×6.0m u osnovi oslonjena je na dve paralelne grede, koje su
oslonjene na stubove u uglovima plo
č
e. Pored sopstvene težine, plo
č
a je
optere
ć
ena dodatnim stalnim optere
ć
enjem
∆
g=2.0 kN/m
2
(slojevi poda i
plafona), kao i povremenim optere
ć
enjem p=4.0 kN/m
2
. Potrebno je
dimenzionisati plo
č
u i grede, nacrtati planove oplate i armature i uraditi
specifikaciju i rekapitulaciju. Kvalitet materijala usvojiti po sopstvenom izboru.
1.1 ANALIZA OPTERE
Ć
ENJA I STATI
Č
KI UTICAJI
35
600
35
L
d
0
.
min
,
p
=
=
= 17.1 cm
⇒
usvojeno d
p
= 18 cm
sopstvena težina plo
č
e d
p
×γ
b
= 0.18
×
25
= 4.5 kN/m
2
dodatno stalno optere
ć
enje =
2.0
kN/m
2
ukupno, stalno optere
ć
enje
g
= 6.5 kN/m
2
povremeno
optere
ć
enje
p =
4.0
kN/m
2
M
g
= 6.5
×
6.0
2
/ 8 = 29.25 kNm/m
;
M
p
= 4.0
×
6.0
2
/ 8 = 18.0 kNm/m
T
g
= 6.5
×
6.0 / 2 = 19.5 kN/m
;
T
p
= 4.0
×
6.0 / 2 = 12.0 kN/m
1.2 DIMENZIONISANJE
M
u
= 1.6
×
29.25 + 1.8
×
18 = 79.2 kNm/m
MB
30
⇒
f
B
= 20.5 MPa = 2.05 kN/cm
2
RA 400/500
⇒
σ
v
= 400 MPa = 40.0 kN/ cm
2
pretp.
a
1
= 3 cm
⇒
h = 18 - 3 = 15 cm ; b = 100 cm = 1.0 m
413
.
2
05
.
2
100
10
2
.
79
15
k
2
=
×
×
=
⇒
ε
b
/
ε
a
= 3.177/10‰ ;
µ
= 19.049%
40
05
.
2
100
15
100
049
.
19
A
.
potr
,
a
×
×
×
=
= 14.64 cm
2
/m
pretp. Ø14 (a
a
(1)
= 1.54 cm
2
)
⇒
64
.
14
54
.
1
100
A
a
100
e
.
potr
,
a
)
1
(
a
a
×
=
×
=
= 10.5 cm
usvojeno:
Ø14/10
(15.40 cm
2
/m)
64
.
14
20
.
0
A
20
.
0
A
.
potr
,
a
ap
×
=
×
=
= 2.93 cm
2
/m
pretp. Ø10 (a
ap
(1)
= 0.785 cm
2
)
⇒
93
.
2
785
.
0
100
A
a
100
e
.
potr
,
ap
)
1
(
ap
ap
×
=
×
=
= 26.8 cm
usvojeno:
Ø10/25
(3.14 cm
2
/m)
Projektovanje i gra
đ
enje betonskih konstrukcija 1
PRIMERI ZA VEŽBE
PLO
Č
A RASPONA 6m OSLONJENA U JEDNOM PRAVCU
P2/2
2. PRORA
Č
UN DEFORMACIJA POS 1
Potrebne geometrijske karakteristike neisprskalog betonskog preseka i položaj težišta
ukupne armature u preseku dati su slede
ć
im izrazima:
A
b
I
= b
×
d = 100
×
18 = 1800 cm
2
/m
y
b1
= y
b2
= d/2 = 18 / 2 = 9.0 cm
12
18
100
12
d
b
J
3
3
I
b
×
=
×
=
= 48600 cm
4
/m
A
a1
= 15.40 cm
2
/m (Ø14/10) ; A
a2
= 0
⇒
A
a
= A
a1
+ A
a2
= 15.40 cm
2
/m
Položaj težišta ukupne armature u odnosu na gornju ivicu preseka, kao i položajni moment
inercije armature u odnosu na težište ukupne armature, odre
đ
eni su kao:
y
a2
= h = 15.0 cm ; J
a
= 0
2.1 ELASTI
Č
NO REŠENJE
Ugib u sredini raspona proste grede optere
ć
ene jednako raspodeljenim optere
ć
enjem
q=g+p
po
č
itavom rasponu, uvode
ć
i u prora
č
un moment inercije BRUTO BETONSKOG
PRESEKA, odre
đ
en je izrazom:
(
)
8
6
4
b
b
4
b
10
48600
10
5
.
31
384
0
.
6
0
.
4
5
.
6
5
J
E
384
l
q
5
v
−
×
×
×
×
×
+
×
=
×
×
×
×
=
= 11.6
×
10
-3
m = 11.6 mm
2.2 PRORA
Č
UN UGIBA U TRENUTKU NANOŠENJA OPTERE
Ć
ENJA
2.2.1 PO
Č
ETNI UGIB, UKUPNO OPTERE
Ć
ENJE
Posebno se mora sra
č
unati ugib za stanje I (bez prslina) i za stanje II (sa prslinama).
2.2.1.1 Stanje I (bez prslina) - ukupno optere
ć
enje
67
.
6
5
.
31
210
E
E
n
b
a
=
=
=
A
i
I
= A
b
I
+ n
×
A
a
= 1800 + 6.67
×
15.4 = 1902.6 cm
2
/m
(
)
(
)
6
.
1902
40
.
15
67
.
6
0
.
9
0
.
15
0
.
9
A
A
n
y
y
y
y
I
i
a
I
2
b
2
a
I
2
b
I
2
i
×
×
−
+
=
×
×
−
+
=
= 9.32 cm
Moment inercije idealizovanog preseka (beton + armatura) za stanje I odre
đ
en je izrazom:
(
) (
)
I
2
b
I
2
i
I
2
b
2
a
I
b
a
I
b
I
i
y
y
y
y
A
J
n
J
J
−
×
−
×
+
×
+
=
J
i
I
= 48600 + 0 + 1800
×
(15.0 - 9.0)
×
(9.32 - 9.0) = 52095 cm
4
/m
52095
48600
J
J
k
I
i
I
b
I
a
=
=
= 0.933
Ugib u trenutku t=0 za ukupno (g+p) optere
ć
enje, za neisprskali presek (stanje I) iznosi:
v
0
I
= k
a
I
×
v
b
= 0.933
×
11.6 = 10.8 mm
Da je
č
itav nosa
č
bez prslina, konstantne krutosti, prora
č
unski elasti
č
ni ugib usled
ukupnog, g+p optere
ć
enja, iznosio bi
v
g+p,0
= 10.8 mm.
Projektovanje i gra
đ
enje betonskih konstrukcija 1
PRIMERI ZA VEŽBE
PLO
Č
A RASPONA 6m OSLONJENA U JEDNOM PRAVCU
P2/4
2.2.2 PO
Č
ETNI UGIB, STALNO OPTERE
Ć
ENJE
Kako položaj neutralne linije u preseku napregnutom na
č
isto savijanje ne zavisi od veli
č
i-
ne momenta savijanja, lako je zaklju
č
iti:
2.2.2.1 Stanje I (bez prslina) - stalno optere
ć
enje
8
.
10
0
.
4
5
.
6
5
.
6
v
p
g
g
v
I
0
,
p
g
I
0
,
g
×
+
=
×
+
=
+
= 6.7 mm
2.2.2.2 Stanje II (sa prslinama) - stalno optere
ć
enje
2
.
39
0
.
4
5
.
6
5
.
6
v
p
g
g
v
II
0
,
p
g
II
0
,
g
×
+
=
×
+
=
+
= 24.3 mm
2.2.2.3 Po
č
etni ugib u trenutku t=0 (stalno optere
ć
enje)
25
.
29
5
.
17
0
.
1
0
.
1
1
)
0
t
(
0
.
1
)
500
/
400
RA
(
0
.
1
g
,
0
2
1
×
×
−
=
ζ
⇒
⎭
⎬
⎫
=
=
β
=
β
= 0.402
v
g,0
= (1 - 0.402)×6.7 + 0.402×24.3 = 13.7 mm
2.3 PRORA
Č
UN UGIBA U TOKU VREMENA
Geometrijske karakteristike idealizovanog popre
č
nog preseka (beton+armatura) se
sra
č
unavaju na isti na
č
in kao za stanje t=0, s tim da se u odgovaraju
ć
e izraze umesto
modula deformacije betona E
b
unosi korigovani efektivni modul E
b
*.
⇒
χ
⎭
⎬
⎫
=
ϕ
=
χ
∞
∞
5
.
2
8
.
0
∞
×ϕ
∞
= 0.8
×
2.5 = 2.0
0
.
2
1
5
.
31
1
E
E
b
*
b
+
=
ϕ
χ
+
=
∞
∞
= 10.5 GPa
⇒
5
.
10
210
E
E
n
*
b
a
*
=
=
= 20
2.3.1 TRAJNI UGIB, STALNO OPTERE
Ć
ENJE
2.3.1.1 Stanje I (bez prslina) - stalno optere
ć
enje)
A
i
*I
= A
b
I
+ n
*
×
A
a
= 1800 + 20
×
15.40 = 2108 cm
2
/m
(
)
(
)
2108
4
.
15
20
0
.
9
0
.
15
0
.
9
A
A
n
y
y
y
y
I
*
i
a
*
I
2
b
2
a
I
2
b
I
*
2
i
×
×
−
+
=
×
×
−
+
=
= 9.88 cm
Moment inercije idealizovanog preseka (beton + armatura) za stanje I odre
đ
en je izrazom:
(
) (
)
I
2
b
I
*
2
i
I
2
b
2
a
I
b
a
*
I
b
I
*
i
y
y
y
y
A
J
n
J
J
−
×
−
×
+
×
+
=
J
i
*I
= 48600 + 0 + 1800
×
(15.0 - 9.0)
×
(9.88 - 9.0) = 58065 cm
4
/m
(
) (
)
[
]
I
*
2
i
2
a
I
2
i
2
a
a
a
I
*
i
*
I
y
y
y
y
A
J
J
n
1
k
−
×
−
×
+
×
−
=
ϕ
(
) (
)
[
]
88
.
9
0
.
15
32
.
9
0
.
15
40
.
15
0
58065
20
1
k
I
−
×
−
×
+
×
−
=
ϕ
= 0.846
(
)
(
)
I
g
,
0
I
g
,
b
I
I
a
I
g
,
v
k
1
v
k
1
k
v
×
ϕ
×
+
=
×
ϕ
×
+
×
=
∞
ϕ
∞
ϕ
∞
Projektovanje i gra
đ
enje betonskih konstrukcija 1
PRIMERI ZA VEŽBE
PLO
Č
A RASPONA 6m OSLONJENA U JEDNOM PRAVCU
P2/5
Ugib u vremenu t
→∞
usled stalnog optere
ć
enja, za neisprskali presek (stanje I) iznosi:
v
I
g,
∞
= (1+0.846
×
2.5)
×
6.7 = 20.8 mm
2.3.1.2 Stanje II (sa prslinama) - stalno optere
ć
enje
A
i
*II
= A
b
II
+ n
*
×
A
a
= 462 + 20
×
15.40 = 770 cm
2
/m
(
)
(
)
770
4
.
15
20
31
.
2
0
.
15
31
.
2
A
A
n
y
y
y
y
II
*
i
a
*
II
2
b
2
a
II
2
b
II
*
2
i
×
×
−
+
=
×
×
−
+
=
= 7.39 cm
(
) (
)
II
2
b
II
*
2
i
II
2
b
2
a
II
b
a
*
II
b
II
*
i
y
y
y
y
A
J
n
J
J
−
×
−
×
+
×
+
=
J
i
*II
= 820 + 0 + 462
×
(15.0 - 2.31)
×
(7.39 - 2.31) = 30571 cm
4
/m
(
) (
[
]
II
*
2
i
2
a
II
2
i
2
a
a
a
II
*
i
*
II
y
y
y
y
A
J
J
n
1
k
−
×
−
×
+
×
−
=
ϕ
)
(
) (
[
]
39
.
7
0
.
15
62
.
4
0
.
15
40
.
15
0
30571
20
1
k
II
−
×
−
×
+
×
−
=
ϕ
)
= 0.204
(
)
(
)
II
g
,
0
II
g
,
b
II
II
a
II
g
,
v
k
1
v
k
1
k
v
×
ϕ
×
+
=
×
ϕ
×
+
×
=
∞
ϕ
∞
ϕ
∞
Ugib u vremenu t
→∞
usled stalnog optere
ć
enja, za isprskali presek (stanje II) iznosi:
v
II
g,
∞
= (1+0.204
×
2.5)
×
24.3 = 36.6 mm
2.3.1.3 Trajni ugib u trenutku t
→∞
(stalno optere
ć
enje)
25
.
29
5
.
17
5
.
0
0
.
1
1
)
t
(
5
.
0
)
500
/
400
RA
(
0
.
1
g
,
2
1
×
×
−
=
ζ
⇒
⎭
⎬
⎫
∞
→
=
β
=
β
∞
= 0.701
v
g,
∞
= (1 - 0.701)×20.8 + 0.701×36.6 = 31.9 mm
2.3.2 TRAJNI UGIB, UKUPNO OPTERE
Ć
ENJE
Kona
č
na vrednost ugiba usled dejstva dugotrajnog (stalnog) i kratkotrajnog (povremenog)
optere
ć
enja dobija se kao trenutna vrednost ugiba od ukupnog optere
ć
enja, uve
ć
ana za
prirast ugiba kao posledice dugotrajnog dejstva stalnog optere
ć
enja:
(
)
0
,
g
,
g
0
,
p
g
,
p
g
v
v
v
v
−
+
=
∞
+
∞
+
v
g+p.
∞
= v
max
= 28.7 + (31.9 - 13.7) = 46.9 mm
cm
2
300
600
300
L
v
cm
69
.
4
v
v
.
dop
.
max
,
p
g
=
=
=
>
=
=
∞
+
Kako je prekora
č
en dopušteni ugib, definisan
č
lanom 117. Pravilnika BAB 87, potrebno je
korigovati neki od parametara.
v
b
= 11.6 mm
-
elasti
č
no rešenje, bruto betonski presek
v
g+p,0
= 28.7 mm
- trenutni ugib, ukupno optere
ć
enje, t=0
v
g+p.
∞
= 46.9 mm
- trajni ugib, ukupno optrere
ć
enje, t
→∞
Kako je dopuštena vrednost ugiba znatno prekora
č
ena, trebalo bi debljinu plo
č
e pove
ć
ati
minimalno
33
.
1
20
9
.
46
3
=
puta, što daje d
p
= 1.33×18 = 24 cm. Me
đ
utim, pove
ć
anje deb-
ljine plo
č
e sa 18 na 24 cm pove
ć
ava i intenzitet stalnog optere
ć
enja za 1.5 kN/m
2
, što do-
datno pove
ć
ava ra
č
unski ugib. Istovremeno, ve
ć
a dimenzija plo
č
e zahteva manju koli
č
inu
Projektovanje i gra
đ
enje betonskih konstrukcija 1
PRIMERI ZA VEŽBE
PLO
Č
A RASPONA 6m OSLONJENA U JEDNOM PRAVCU
P2/7
3. PRORA
Č
UN KARAKTERISTI
Č
NE ŠIRINE PRSLINA
3.1 SREDNJE RASTOJANJE PRSLINA
a
0
= a
I
- Ø/2 = 3.0 - 1.6/2 = 2.2 cm
Ø = 16 mm = 1.6 cm
;
k
1
= 0.4 (RA 400/500)
e
Ø
= 10 cm
;
k
2
= 0.125 (
č
isto savijanje)
= 12 cm
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
=
≈
−
=
×
+
=
cm
12
2
/
24
2
/
d
x
d
cm
15
6
.
1
5
.
7
3
.
min
h
I
ef.
bz,
0
.
12
100
20.11
A
A
ef.
bz,
a1
ef.
z1,
×
=
=
µ
= 0.0168 = 1.68%
2
ps
10
68
.
1
1.6
125
.
0
4
.
0
10
0
.
10
2
.
2
2
l
−
×
×
×
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
×
=
= 11.2 cm
3.2 ODRE
Đ
IVANJE NAPONA U ZATEGNUTOJ ARMATURI
67
.
6
5
.
31
210
E
E
n
b
a
=
=
=
;
0
h
a
2
2
=
=
α
%
96
.
0
21
100
11
.
20
h
b
A
1
a
1
=
×
=
×
=
µ
;
0
h
b
A
2
a
2
=
×
=
µ
0
10
96
.
0
67
.
6
2
s
10
96
.
0
67
.
6
2
s
2
2
2
=
×
×
×
−
×
×
×
×
+
−
−
⇒
s = 0.299
0
128
.
0
s
128
.
0
s
2
=
−
×
+
Koeficijent kraka unutrašnjih sila odre
đ
uje se iz izraza:
900
.
0
3
299
.
0
1
3
s
1
b
=
−
=
−
=
ζ
⇒
z
b
=
ζ
b
×
h = 0.900
×
25 = 18.91 cm
(
)
11
.
20
91
.
18
10
18
36
A
z
M
2
1
a
b
1
a
×
×
+
=
×
=
σ
= 14.21 kN/cm
2
= 142.1 MPa
3
a
1
a
1
a
10
210
1
.
142
E
×
=
σ
=
ε
= 0.676‰
3.3 ODRE
Đ
IVANJE KARAKTERISTI
Č
NE ŠIRINE PRSLINA
MB 30
⇒
f
bz,m
= 2.4 MPa
⇒
f
bz
= 0.7
×
f
bz,m
= 0.7
×
2.4 = 1.68 MPa
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
×
=
4
bzs
24
.
0
4
.
0
6
.
0
68
.
1
f
= 1.97 MPa = 0.197 kN/cm
2
6
24
100
W
2
1
b
×
=
= 9600 cm
3
/m
M
r
= 0.197
×
9600
×
10
-2
= 18.9 kNm/m < M = 36+18 = 54 kNm/m
2
a
2
1
54
9
.
18
0
.
1
0
.
1
1
)
0
t
(
0
.
1
)
500
/
400
RA
(
0
.
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
×
×
−
=
ζ
⇒
⎭
⎬
⎫
=
=
β
=
β
= 0.878
Projektovanje i gra
đ
enje betonskih konstrukcija 1
PRIMERI ZA VEŽBE
