Predgovor
Ova zbirka sadrˇ
zi 217 kompletno reˇ
senih zadataka iz oblasti numeriˇ
cke
matematike i namenjena je prvenstveno studentima tehniˇ
ckih i prirodno-
matematiˇ
ckih fakulteta na kojima se ova oblast izuˇ
cava. Zadaci su odabrani
tako da pokrivaju nastavne programe standardnih kurseva numeriˇ
cke mate-
matike. Knjiga je pisana u skladu sa udˇ
zbenicima prvopotpisanog autora:
– NUMERI ˇ
CKA ANALIZA, I deo, Nauˇ
cna knjiga, Beograd, 1985
(
drugo
izdanje 1988, tre´
ce izdanje 1991
)
,
– NUMERI ˇ
CKA ANALIZA, II deo, Nauˇ
cna knjiga, Beograd, 1985
(
drugo
izdanje 1988, tre´
ce izdanje 1991
)
,
– NUMERI ˇ
CKA ANALIZA, III deo, Nauˇ
cna knjiga, Beograd, 1988
(
drugo
izdanje 1991
)
,
i nastala je znaˇ
cajnom izmenom i proˇ
sirenjem prethodne knjige dvojice pr-
vopotpisanih autora koja se pod naslovom ZBIRKA RE ˇ
SENIH ZADATAKA
IZ NUMERI ˇ
CKE ANALIZE, takod¯e, pojavila u izdanju Nauˇ
cne knjige iz
Beograda i koja je doˇ
zivela tri izdanja
(
1985, 1988, 1991
)
.
Celokupan rukopis ove knjige podeljen je u 8 glava i na adekvatan naˇ
cin
prati prethodno pomenute udˇ
zbenike. U nekim interesantnim sluˇ
cajevima
navedene su i programske realizacije algoritama na
FORTRAN
jeziku.
Prva glava ima uvodni karakter i daje kratak pregled razvoja numeriˇ
cke
matematike u svetu i kod nas, kao i pregled vaˇ
znijih visoko-kvalitetnih prog-
ramskih paketa za reˇ
savanje numeriˇ
ckih problema.
Druga glava se odnosi na osnovne elemente numeriˇ
cke matematike, gde
su reˇ
seni tipiˇ
cni problemi koji se odnose na analizu greˇ
saka, rekurzivna
izraˇ
cunavanja i sumiranja, ukljuˇ
cuju´
ci ortogonalne i
s
-ortogonalne polinome.
U tre´
coj glavi se tretiraju problemi vezani za opˇ
stu teoriju iterativnih
procesa, tj. za primenu Banchovog stava o nepokretnoj taˇ
cki, karakteristike
iterativnih procesa i ubrzavanje konvergencije procesa.
ˇ
Cetvrta glava se bavi problemima u linearnoj algebri
(
direktni i iterativni
metodi
)
, dok se u petoj glavi razmatraju nelinearne jednaˇ
cine i sistemi nelin-
earnih jednaˇ
cina. Algebarskim jednaˇ
cinama je posve´
ceno posebno poglavlje.
Sadrˇ
zaj
I
G L A V A
Uvod
1
II
G L A V A
Osnovni elementi numeriˇ
cke matematike
5
2.1. Analiza greˇsaka, rekurzivna izraˇcunavanja i sumiranja
5
2.2. Ortogonalni polinomi
42
III
G L A V A
Opˇ
sta teorija iterativnih procesa
49
3.1. Primena Banachovog stava
49
3.2. Karakteristike procesa i ubrzavanje konvergencije
56
IV
G L A V A
Numeriˇ
cki metodi u linearnoj algebri
65
4.1. Direktni metodi u linearnoj algebri
65
4.2. Iterativni metodi u linearnoj algebri
79
V
G L A V A
Nelinearne jednaˇ
cine i sistemi
101
5.1. Nelinearne jednaˇcine
101
5.2. Sistemi nelinearnih jednaˇcina
131
5.3. Algebarske jednaˇcine
147
viii
SADRˇ
ZAJ
VI
G L A V A
Interpolacija i aproksimacija
151
6.1. Interpolacija funkcija
151
6.2. Problem najboljih aproksimacija
211
VII
G L A V A
Numeriˇ
cko diferenciranje i numeriˇ
cka integracija
259
7.1. Numeriˇcko diferenciranje
259
7.2. Numeriˇcka integracija
274
VIII
G L A V A
Pribliˇ
zno reˇ
savanje obiˇ
cnih diferencijalnih jednaˇ
cina
333
8.1. Analitiˇcki metodi za reˇsavanje Cauchyevog problema
333
8.2. Linearni viˇsekoraˇcni metodi
340
8.3. Metodi Runge-Kutta
361
2
UVOD
primer,
ETNA – Electronic Transactions on Numerical Analysis
, u izdanju
Kent Univerziteta, SAD,
http://etna.mcs.kent.edu
).
Znaˇcajan napredak je uˇcinjen i u realizaciji programskih paketa visoko-
kvalitetnog numeriˇckog softvera. Pomenu´cemo samo neke od njih:
LINPACK
(za linearne sisteme jednaˇcina),
EISPACK
(za problem sopstvenih vrednosti),
LAPACK
(za probleme u linearnoj algebri),
FUNPACK
(za specijalne funkcije),
MINIPACK
(za nelinearne jednaˇcine i minimizacione probleme),
DEPAC
(za obiˇcne diferencijalne jednaˇcine),
PDEPACK
(za parcijalne diferencijalne jednaˇcine),
ELLPACK
(za eliptiˇcke parcijalne diferencijalne jednaˇcine),
SPARSPACK
(za retke matrice).
U vezi nekih od ovih paketa interesantno je videti knjigu:
Sources and de-
velopment of mathematical software
(W.R. Cowell, ed.), Prentice–Hall, Inc.,
Englewood Cliffs, New Jersey, 1984. Mahom programski paketi su imple-
mentirani na FORTRAN jeziku. U novije vreme postoje implementacije i
na jeziku C++ . Veliki broj matematiˇckih softverskih paketa danas se slo-
bodno distribuira. (Neka uputstva u tom pravcu mogu se na´ci na adresi:
http://gams.nist.gov
).
Treba napomenuti da su se u poslednje vreme pojavili i programski sistemi
kao ˇsto su:
MATLAB
(The MathWorks, Inc.,
http://www.mathworks.com
),
MATHEMATICA
(Wolfram Research, Inc.,
http://www.wolfram.com
),
MAPLE
(Waterloo Maple, Inc.,
http://www.maplesoft.com
), itd.
Na primer, u MATLAB-u je dobar deo prethodno pomenutog visoko-
kvalitetnog softvera ugrad¯en, posebno onaj koji se odnosi na reˇsavanje prob-
lema u linearnoj algebri. Svi pomenuti programski sistemi predstavljaju in-
tegrisane sisteme za numeriˇcka i simboliˇcka izraˇcunavanja, grafiˇcku prezen-
taciju i interpretaciju, i najzad pruˇzaju takvo okruˇzenje koje omogu´cava
korisniku programiranje na jedan veoma jednostavan naˇcin.
Pored
numeriˇ
cke matematike
u poslednje vreme znaˇcajan progres je uˇci-
njen i u
simboliˇ
ckim izraˇ
cunavanjima
, tako da su se za ovu namenu pojavili
veoma efikasni algoritmi. ˇ
Staviˇse, ima i specijalizovanih ˇcasopisa koji treti-
raju samo ovu problematiku, na primer,
Journal of Symbolic Computation
(Academic Press) (videti:
http://www.apnet.com/jsc
).
Na prostorima bivˇse Jugoslavije
numeriˇ
cka matematika
je poˇcela da se
ozbiljnije izuˇcava i razvija tek od nedavno. Na ve´cini tehniˇckih i prirodno–
