Transformatori

VISOKA TEHNI

Č

KA ŠKOLA  - POŽAREVAC

ELEKTI

Č

NE MAŠINE I

TRANSFORMATORI

LAZAR SIKIMI

Ć

 Požarevac, 05.12.2014. 

1 / 68

2.    

PRINCIP RADA IDEALNE PRIGUŠNICE 

U  cilju  što  potpunijeg  razumevanja  opšte  teorije  transformatora  poželjno  je  najpre  razmotriti  princip  rada 
prigušnice  koja  u  navedenom  slučaju  predstavlja  feromagnetno  jezgro  u  obliku  prstena  na  koje  je  gusto 
namotano 

N

1

navojaka po celokupnom obodu prsten

a, kao što je to prikazano na 

Sl.2.1a

.  

Da bi 

se što potpunije shvatile fizičke pojave koje se dešavaju u prigušnici i izvele  odgovarajuće jednačine 

uvedena su odgovarajuća pojednostavljenja (zanemarenja) kao što su: 



aktivna (omska) otpornost  namota se 

može zanemariti (

R

=

0

), 



magnetna otpornost feromagnetnog jezgra se 

može zanemariti (

R

m

=0; 



Fe

→∞), 



sav magnetni fluks se zatvara kroz magnetno jezgro 

prigušnice,  odnosno nema rasipanja m. fluksa, 



kriva prvobitnog magne

ćenja feromagnetnog jezgra ima oblik kao na 

Sl.2.1b

, 



gubici u željezu magnetnog kola i bakru namota su zanemarljivo mali (

P

Fe

=0; 

P

Cu

=0). 

Sl. 2.1

– Prigušnica sa feromagnetnom jezgrom i kriva magnećenja feromagnetnog jezgra 

Radi  jednostavnijeg  razmatranja  pretpostavka  je  da  se  vrednost  magnetne  indukcije,  odnosno  fluksa  u 
feromagnetnom  jezgru  nalazi  na  linearnom  delu  krive 

magnećenja,  sa  konstantnom  magnetnom 

permeabilnosti.  Ako  je  jezgro  magnetno  nezasi

ćeno  (oblast  1  na 

Sl.2.1b

)  tada  je  fluks  direktno 

proporcionalan pobudnoj struji 

I

, odnosno postoji linearna zavisnost: 

I

L

I

k

















(2.1) 

U  podru

čju  zasićenja  feromagnetnog  jezgra  (oblast  2  na 

Sl.2.1b

)  gore  navedeni  izraz  ne  vredi,  nego 

zavisnost  fluksa  od  pobudne  struje  sledi  krivu  magnetiziranja 

čiji se opšti  oblik u  zasićenom delu ne može 

predstaviti analiti

čki.  

Ako  se  na  namot  sa 

N 

navojaka  priključi  prostoperiodični  napon  konstantne  efektivne  vrednosti 

U

  i 

učestanosti 

f

, definisan relacijom 

t

U

t

U

u

m





sin

2

sin

1

1

1







(2.1a) 

kroz 

namot će proteći  izmenična prostoperiodična struja 

i

iste učestanosti 

f

.  Kako  je  struja 

i

  promenljiva  u 

vremenu to 

će i magnetni fluks  koga ona stvara, kroz površinu ograničenu provodnom konturom takoĎe biti 

promenljiv. Taj fluks koji obuhvata 

namot prigušnice naziva se 

sopstveni magnetni fluks

 konture. Obzirom 

da  se  sopstveni  magnetni  fluks  menja  kroz  povr

šinu  ograničenu  namotom  to  će  se  u  namotu  indukovati 

elektromotorna sila samoindukcije, koja je definisana izrazom 

dt

d

N

e

L









(2.2) 

3 / 68

Struja  potrebna  za  magnetiziranje  prstenastog  jezgra,  odnosno  stvaranje  potrebne  magnetne  indukcije 
definisana je izrazom: 

N

l

H

I

I

sr

m

m









2

2

(2.10) 

Ako  se  ima  u  vidu  pretpostavlka  da  je  je  jezgro  magnetno  nezasi

ćeno  (oblast  1  na 

Sl.2.1b

)  onda  vredi 

linearna zavisnost: 

m

r

m

m

H

H

B

















0

(2.11) 

Ako se sa 

S

Fe

označi poprečni presek prstenastog jezgra, vredi da je: 

Fe

r

m

m

m

r

Fe

m

m

S

H

H

S

B





























0

0

(2.12) 

što  kad  se  uvrsti  u  relaciju  (2.10)  daje  konačni  izraz  za  struju  potrebnu  za  stavranje  fluksa  u  prstenastom 

jezgru: 

N

l

B

S

N

l

I

r

sr

m

Fe

r

sr

m

































0

0

2

2

(2.13) 

Ima

jući u vidu da su veličine 

N

, 

l

sr

i 

S

Fe

 konstantne, tada se iz poslednja relacija 

može zaključiti da intenzitet 

struje  potreban  za  stvaranje 

željenog  fluksa 

Φ

m

,  odnosno  magnetne  indukcije 

B

m

u  poprečnom  preseku 

prstenastog  jezgra  zavisi  samo  od  vrednosti  magnetne  permeabilnosti 

µ

r

materijala  od  koga  je  izraĎeno 

jezgro.  

r

m

r

m

B

k

I





















0

0

(2.14) 

Što  je  veća  vrednost  magnetne  permeabilnosti  materijala  jezgra

  µ

r 

  to  je  manja  magnetna  otpornost 

R

m

jezgra du

ž koga se zatvaraju linije magnetnog polja, odnosno potreban je manji intenzitet struje kroz namot 

koji se nalayi na jezgru 

da bi se stvario željeni magnetni fluks 

Φ

m

,.  

U  slučaju  da  se  namotu  sa 

N

navojaka  izvuče  feromagnetno  jezgro,  tada  bi  se  linije  magnetnog  polja 

zatvarale  kroz  vazduh  magnetne  permeabilnosti 

µ

0

. 

Ako  pretpostavima  da  se  u  vazduhu  linije  magnetnog

polja  zatvaraju  kroz  isti  poprečni  presjek  vazduha  (

S=S

Fe

)

,

  tada  bi

struja  potrebna  za  stavranje  fluksa  u 

zamišljenom vazdušnom jezgru bila definisana relacijom: 

0

0

0

2

2







m

sr

m

sr

m

o

B

k

N

l

B

S

N

l

I

























(2.15) 

Ukoliko meĎusobno podijelimo relacije (2.14) i (2.15) dobija se sljedeći odnos: 

r

r

m

r

m

I

I

B

B

k

I

I











0

0

0

0

1













(2.16) 

Poslednja relacija pokazuje da ako namot sa 

N

 navojaka ne bi imao feromagnetno jezgro, za postizanje iste 

vrednosti  magnetnog  fluksa 

Φ

m

  bila  bi  potrebna 

struja  znatno  većeg  intenziteta  (nekoliko  stotina  puta), 

odnosno onoliko puta koliko iznosi magnetna permeabilnost materijala jezgra. 

4 / 68

Navedena  analiza  pokazuje  ako  bi  namot   

na koji je priključen konstantan napon  (konstantne učestanosti) 

bio bez jezgra (u zraku) magnetni fluks bi ostao nepromjenjen, dok bi 

struja koja protiče tim namotom i stvara 

željenii fluks 

Φ

m

, rasla obrnuto srazmer

no magnetnoj permeabilnosti materijala od koga je izraĎeno jezgro. 



max



poc





B

H

Sl. 2.2

– Kriva magnećenja jezgra od feromagnetnog materijala 

Za  tačno  odreĎivanje  magnetne  indukcije  u  pojedinim  tačkama  feromagnetnog  jezgra  neophodno  je 
poznavati  krivu  magnećenja  materijala  od  koga  je  jezgro  izraĎeno.  U  tu  svrhu  pretpostavimo  da  je  za 
feromagnetik od koga je izraĎeno jezgro poznata zavisnost permeabilnosti od jačine magnetnog polja 



=f

(

H

). 

Zavisnost  permeabilnosti 



=f

(

H

)  prikazana  je  na 

Sl.  2.2

.  Grafik  zavisnosti 



=

f

(

H

),  pokazuje  da  magnetna 

permeabilnost raste od  početne  vrednosti 



p

  (za 

H

=0)  do  maksimuma  a  zatim  opada  do  neke  stacionarne 

vrednos

ti po zasićenju feromagnetika. 

3. PRINCIP RADA IDEALNOG TRANSFORMATORA 

Transformator  se  definiše  kao  statički  elektroenergetski  ureĎaj  koji  na  principu  zakona  elektromagnetne 
indukcije  vrši  preobražaj  napona  i  struje  jednog  namota  (ili  više  njih)  na  druge  vrednosti  napona  i  struje 
drugog namota (ili vise njih) pri istoj učestanosti. 

Najelementarniji  oblik  transform

atora  sastoji  se  od  dva  namota,  kao  što  je  prikazano  na 

Sl.3.1.

  Namot 

transformatora  čiji  se  krajevi  (priključci)  priključuju  na  izvor  izmeničnog  napona  naziva  se 

primarnim 

namotom

,  a  namot  na  čije  se  krajeve  priključuje  potrošač  koji  dobija  napon  iste  učestanosti  ali  drugog 

apsolutnog iznosa, naziva se 

sekundarni namot

. Pri tome treba imati u vidu da su oba namota izolovana od 

mag

netnog kola na koje su postavljeni a takoĎe i meĎusobno izolovana. 

Da  bi 

se  što  potpunije  shvatile  fizičke  pojave  koje  se  dešavaju  u  transformatoru  i  postavile    najbitnije 

jednačine transformatora poželjno je uvesti pojam “idealnog transformatora”. Za neki transformator kažemo 
da je idealan ako ispunjava sledeće uslove: 



aktivne (omske) otpornosti  primarnog i sekundarnog namota se mogu zanemariti (

R

1

=

R

2

=

0

), 



magnetna otpornost u željezu magnetnog kola je zanemarivo mala (

R

m

=0; 



Fe

→∞), 



sav magnetni fluks se zatvara kroz magnetno jezgro transformatora,  odnosno obuhvata oba namota 

(



1

=



2

 (nema rasipanja magnetnog fluksa), 



gubici u željezu magnetnog kola i bakru namota su zanemarivo mali (

P

Fe

=0; 

P

Cu

=0). 

Gore  navedenoj  idealnoj  slici  se  veoma  približavaju  veliki  transformatori  ako  nisu  u  konstruktivnom  smislu 
suviše štedljivo dimenzionisani. 

6 / 68

Primenom dif

erencijalnog računa gornja jednačina može se izraziti na sledeći način: 

dt

u

N

d

1

1

1

1







(3.4) 

Ako se pretpostavi da je prostpoperiodični napon primara definisan relacijom 

t

U

t

U

u

m





sin

2

sin

1

1

1







(3.5) 

Tada  se  primen

om  integralnog  računa  na  gornju  jednačinu,  dobija  izraz  za  magnetni  fluks  primara 

uvremenskom domenu: 

)

2

sin(

cos

)

cos

(

)

cos

1

(

sin

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1



























































t

t

t

N

U

t

N

U

dt

t

N

U

dt

u

N

m

m

m

m

m

(3.6) 

M

agnetni  fluks  primara  koga  stvara  struja  primara,  koja  je  pak  posledica  priljučenog  napona  na  krajevima 

primara, kasni za naponom primara za 90

o

. 

Iz relacije (3.6) 

može se izračunati maksimalna vrednost magnetnog fluksa u feromagnetnom jezgru: 

m

m

m

N

U

N

U















1

1

1

1

1

2





(3.7) 

Obzirom da je priključeni napon primara, učestanost i poprečni presek jezgra stalne veličine, to će shodno 
relaciji  (3.7)  biti  konstantan 

iznos  magnetnog  fuksa  kao  i  njegova  gustina  po  poprečnom  preseku  jezgra 

transformatora.  Na  dalje,  iz  toga  proizilazi  da  je  za  stalnu  vrednost  magnetnog  fluksa  neophodna  stalna 

vrednost magnetnopobudne sile 

Ni

. 

Ukoliko se u izraz (3.1) uvrsti izraz (3.6) za magnetni fluks primara, dobija za izraz za ems samoindukcije 

e

11

primarnog namota u vremenskom domenu:  





t

E

t

N

t

dt

d

N

e

m

m

m









sin

sin

cos

1

1

1

1

1

11

























(3.8) 

Ems  samoindukcije 

e

11

,  nastala  kao  posledica  promene  magnentnog  fluksa  primara 



1

,  kasni  za  datim 

fluksom za 90



, 

odnosno suprotnog je smera u odnosu na priključeni napon primara 

u

1

, što se može zaključiti 

analizom relacija (3.5) i  

(3.8), a što je posledica Lencovog zakona.  

Iz  poslednje  relacije  (3.8)

,  može  se  odrediti  vrednost  indukovane  kontraelektromotorne  sile 

E

1

  u  namotu 

primara: 

1

1

1

1

1

1

44

,

4

2

2

2

2

U

N

f

N

f

N

E

E

m

m

m

m































(3.9) 

Efektivna  vrednost  indukovane  ems  samoindukcije  jednaka  je  efektivnoj  vrednosti  primarnog  napona 
obzirom da je zanemarena omska otpornost primarnog namota.  

Imajući  u  vidu  korelaciju  izmeĎu  magnetnog  fluksa  i  magnetne  indukcije  jezgra  (

Fe

m

m

S

B





),  konačni 

izraz za vrednost indukovane ems samoindukcije 

E

1

 je u namotu primara definisan je relacijom: 

Fe

m

nav

nav

Fe

m

S

B

f

E

E

N

S

B

f

N

E























44

,

4

;

44

,

4

1

1

1

(3.10) 

Shodno  relaciji  (3.2),  te  primenom  gotovo  identi

čnog postupka izvoĎenja, dolazi se do konačnog izraza  za 

vrednost indukovane elektromotorne sile 

E

2

 u namotu sekundara: 

7 / 68





nav

Fe

m

m

m

m

m

m

E

N

S

B

f

N

E

E

N

E

t

E

t

N

t

dt

d

N

e















































2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

12

44

,

4

2

sin

sin

cos











(3.11)

MeĎusobnim  delenjem  relacija  (3.10)  i  (3.11)  dobija  se  izraz  za 

prenosni  odnos

,  odnosno 

odnos 

transformacije

 idealnog transformatora u praznom hodu: 

12

2

1

2

1

m

N

N

E

E





(3.12) 

Iz  izraza  odnosa  transformacije  idealnog  transformatora  može  se  konstatovati  da 

transformator 

transformiše  vrednost  napona  proporcionalno  broju  zavojaka  primarnog  i  sekundarnog  namota

.  Iz 

navedenog  izraza  može  se  zaključiti,  da  pošto  se  elektromotorne  sile  primara  i  sekundara  odnose 
proporcionalno broju nihovih navojaka, to se pri odreĎenom primarnom naponu transformatora, birajući broj 
navojaka sekundarnog namota, mo

že postići željeni sekundarni napon.   

Na  dalje  potrebno  je  razmotriti  šta  se  dešava  u  idealnom  transformatoru  kada  se  priključci  sekundarnog 
namota  kratko  spoje  komadom  bakrenog  provodnika  zanemarljive  omske  otpornosti. 

Navedeni  režim  rada 

idealnog  transf

ormatora  odgovara  takozvanom  “

radu  u  kratkom  spoju

”,  koji  nije  prirodan  režim  rada 

transformatora I nije dozvoljen u normalnim uslovima rada.  

Budući  da  na  krajevima  namota  sekundara  djeluje  već  pomenuta  elektromotorna  sila  meĎuindukcije 

e

12

(koja  je  nast

ala  kao  posledica  promene  primarne  stuje)  to  će  pod  djelovanjem  elektromotorne  sile 

e

12

,    u 

trenutku  kratkog  spajanja  krajeva  sekundarnog  namota,  kroz  njegove  navojke  pr

oteći  će  struja 

i

2

  koja  se 

naziva  struja  sekundara.  Struja  sekundara 

i

2

  je  u  svakom  trenutku  suprotna  struji  primara 

i

1

,

kako  bi  se 

održala  električna  ravnoteža

.

U  ovom  trenutku  nećemo  se  baviti  intenzitetom  navedene  struje  (vrlo  velike 

vredno

sti), jer je u navedenom slučaju to irelevantno sa aspekta principa rada idealnog transformatora.  

Struja sekundara 

i

2

 stvara magnetni fluks 





koji je suprotnog smera  u odnosu nan a fluks primara 





koji 

ga je posredno proizveo (ako su namoti motani u istom smeru). 

Kako je indukovana elektromotorna sila 

meĎuindukcije 

e

12

u sekundarnom namotu prostoperiodična funkcija 

vremena, to će i struja sekundara 

i

2

takoĎe biti prostoperiodična funkcija vremena, kao i magnetni fluks 





koji ona stvara.  

Imajući  u  vidu  ranije  navedene  pretpostavke  za  idelani  transformator,  to  će  se  i  prostoperiodični  magnetni 
fluks sekundara 





u potpunosti zatvarati kroz magnetno jezgro transformatora a time i kroz namote primara i 

sekundara.   

Obzirom  da  promjenjivi  magnetni  fluks  sekundara 





u potpunosti obuhvata oba namota, to će se u njima 

pored  već  postojećih  elektromotornih  sila  uzrokovanih  fluksom 





  u  skladu  sa  zakonom  elektromagnetne 

indukcije indukovati elektromotorne sile i to: 

U primarnom namotu 

će se indukovati elektromotorna sila 

međuindukcije

, definisana izrazom 

dt

d

N

e

2

1

21









(3.13) 

a u namotu sekundara će se indukovati elektromotorna sila 

samoindukcije

, definisana izrazom 

dt

d

N

e

2

2

22









(3.14) 

Prema tome, 

kada se idealni transformator nalazi u kratkospojnom režimu rada, u primarnom namotu pored 

priključenog napon 

u

1

  deluju indukovane elektromotorne sile 

e

11

 i 

e

21 

koje su u svakom trenutku 

meĎusobno 

uravnote

žene, shodno II Kirhofovom zakonu: 

9 / 68

1

2

2

2

2

1

1

1

i

M

i

L

i

M

i

L





















(3.22) 

gde  su 

L

1

  i 

L

2

  sopstvene  induktivnosti  primara  i  sekundara  respektivno,  a 

M

meĎusobna  induktivnost.  U 

gornjoj  relaciji  članovi 

L

1

i

1

i

L

2

i

2

  predstavljaju  flukseve  koji  su  posledica  struja  u  namotima  primara  i 

sekundara  i koji se obuhvatajusa istim namotima. 

Članovi 

Mi

1

i

Mi

2

 predstavljaju flukseve koji su posledica 

struja u jednom namotu a obuhvataju se sa drugim namotom.   

Time  se  konačno  dobija  sistem  jednačina  naponske  ravnoteže  idealnog  tranformatora  za  kolo  primara  i 
sekundara u obliku: 

dt

di

L

dt

di

M

dt

di

M

dt

di

L

u

2

2

1

2

1

1

1

0













(3.23) 

Obzirom  na  pretpostavku  da  je  zanemareno  zasićenje  magnetnog  kola  vredi  da  su  svi  koeficijenti 
samoinduktivnosti  i  meĎuinduktivnosti  konstantne  vrednosti,  te  kako  je  napon  primara  prostoperiodična 
funkcija  vremena,  to  su  i  sve  indukovane  ems  kao  i  struje    u 

kolu  primara  i  sekundara  takoĎe 

prostoperiodične  veličine.  Kako  su  sve  veličine  prostoperiodične  funkcije  vremena  može  se  primeniti 
kompleksni račun, fazorski dijagrami i uvesti efektivne vrednosti. Time se  jednačine idealnog transformatora 
defiisane relacijom (3.23) mogu izraziti u kompleksnom obliku: 

0

2

2

1

2

1

1

1



















I

L

j

I

M

j

I

M

j

I

L

j

U









(3.24) 

10 / 68

4. PRINCIP RADA REALNOG TRANSFORMATORA

Za  razliku  od  idealnog  transformatora, realni  transformator  (

Sl.4.1a

) 

je transformator koji ispunjava sledeće 

uslove: 



aktivne (omske) otpornosti  primarnog i sekundarnog namota 

imaju konačne vrednosti (

R

1

≠

R

2

≠0), 



magnetna  otpornost  u  feromagnetno

m  jezgru  ima  konačnu  vrednost  (

R

m

≠0

),

  odnosno  magnetna 

permeabilnost feromagnetno

g jezgra ima konačnu vrednost (



Fe

≠0

),  



vrednost  magnetnog  fluksa  u  feromagnetnom  jezgru  nalazi  na  linearnom  delu 

krive  magnećenja, 

odnosno na pravolinijskom delu date krive sa konstantnom magnetnom permeabilnosti (

Sl.2.1b

), 



gubici u željezu feromagnetnog jezgra su zanemarljivo mali (

P

Fe

=0). 

Kada  su  ispunjeni  gore  navedeni  uslovi,  govorimo  o  realnom  transaformatoru  sa  linearnim  magnetnim 
jezgrom. 

U  tom  slučaju  magnetni  fluks  se  ne  zatvara  isključivo  kroz  feromagnetno  jezgro  transformatora, 

nego  postoje  i  fluksevi  rasipanja 



γ 

(

Sl.4.1b

),  odnosno  fluksevi  koji  se  zahvataju  samo  sa  pojedinim 

namotima. 

Ovo  praktično  znači  da  ukupni  fluksevi  koji  obuhvataju  namote  primara  i  sekundara  nisu 

meĎusobno jednaki. 
 

Sl. 4.1

– Princip rada realnog transformatora 

Ako  se  na  krajeve  sekundarnog  namota  realnog  transformatora  priključi  potrošač  koji  je  predstavljen 
ipmedansom 

Z

p

, kroz sekndarni namot će proteći struja sekundara 

i

2

    usled  delovanja    elektromotorne  sile 

meĎuindukcije 

e

12

    (koja  je  nastala  kao  posledica  promene  primarne  stuje).  Struja  sekundara 

i

2

će  stvoriti 

magnetni fluks 





koji je shodno Lencovom zakonu suprotan fluksu 





koji je uzročnik sekundarne struje. 

Imajući  u  vidu  činjenicu  da  aktivne  (omske)  otpornosti  primarnog  i  sekundarnog  namota  imaju  konačne 
vrednosti (

R

1

≠

R

2

≠0), to će jednačine naponske ravnoteže za kola primara (3.15) i sekundara (3.17) realnog 

transformatora u vremenskom domenu biti oblika: 

1

21

11

1

1

21

11

1

0

R

R

e

e

e

u

e

e

e

u



















2

21

11

2

2

2

22

12

0

R

R

e

e

e

u

u

e

e

e



















(4.1) 

Dakle,  u  kolima  primara  i  sekundara  pojavljuju  se  elektrootporne  sile 

e

R1

i

e

R2

koje  predstavljaju  padove 

napona  na  namotima  usled  postojanja  električnih  otpornosti  namota  (

R

1

i

1

, 

R

2

i

2

).  Osi  toga,  na  krajevima 

sekundarnog  namota  pojavljuje  se  nova  električna  veličina,  napon  sekundara 

u

2

koji  je  u  režimu  praznog 

hoda jednak ems meĎuindukcije 

e

12

, a u režimu opterećenja umanjen za pad napona na namotu i delovanja 

ems samoindukcije 

e

22

.   

12 / 68

Da  bi  gore  definisane  j

ednačine  za  struje  primara  i  sekundara,  koje  su  u  osnovi  tačne,  mogle  koristiti  u 

praktične svrhe, odnosno za proračun transformatora potrebno je izvršiti njihovu transformaciju na način koji 
će biti opisan u narednom delu izlaganja. 
 
 
 

5.  

SVOĐENJE SEKUNDARNIH VELIČINA TRANSFORMATORA NA PRIMAR I OBRATNO

Pri 

formiranju  vektorskih  dijagrama  transformatora  crtaju  se  vektori  primarnih  i  sekundarnih  električnih 

veličina koji pri istoj razmeri i odnosu transformacije znatno većem od jedinice (

m

>1) mogu meĎusobno da 

se značajno razlikuju po dužini. 

U  slučaju  transformatora  koji  podiže  napon  a  ima  odnos  transformacije 

m

=20,  tada  bi  vektorski  dijagram 

primarnih napona 

bio 20 (dvadeset) puta veći od vektorskogdijagram sekundarnih napona. Ovo isto važi za 

druge električne veličine transformatora (elektromotorne sile, struje, padovi napona). 

Da  bi  eliminisali  navedeni  problem 

neadekvatnih  meĎusobnih  razmera  primarnih  i  sekundarnih  veličina 

uobičajeno  je  da  se  električne  veličine  oba  namota,  koji  imaju  različit  broj  navojaka,  svode  na  isti  broj 
navojaka. 

Najčešće  se  vrši  svoĎenje  električnih  veličina  sekundara  na  primarni  namot,  zbog  činjenice  da 

kroz dati namot protiče struja praznog hoda. 

Pri svoĎenju električnih veličina sa jednog namota na drugi i obratno, mora se voditi računa da režim rada 
transformatora nakon izvršenog svoĎenja veličina mora ostati nepromenjen. 

Da bi p

ri svoĎenju elektromotorne sile 

E

2

 koja se indukuje u sekundarnom namotu sa 

N

2

 navojaka dobili tu 

istu elektromotornu silu 

svedenu na primarni namot koji ima 

N

1

 navojaka, potrebno je imati na umu da se 

režim  transformatora  neće  promeniti  insukovana  ems  po  navojku  ostane  stalna  i  jednaka  za  oba  namota. 
Dakle,  ako je indukovana sekundarna elektromotorne sila 

E

2

 srazmerna broju navojaka 

N

2

, tada je svedena 

sekundarna elektromotorne sila 

na primar

srazmerna broju navojaka 

N

1

, odnosno vredi da je: 

2

12

2

2

1

'

2

1

'

2

2

2

2

2

;

E

m

N

E

N

E

E

N

E

N

E

E

E

N

E

nav

nav

nav





















(5.1)

Pri svoĎenju struja mora se voditi računa da unutrašnja prividna snaga stvarnog sekundara i prividna snaga 
sekundara  svedenog  na  primar  mora  ostati  nepromenjena,  jer  tada  režim  rada  transformatora  ostaje  isti, 
odnosno vredi da je: 

2

12

'

2

2

'

2

2

'

2

2

2

'

2

'

2

1

I

m

I

I

E

E

I

I

E

I

E



















(5.2) 

Pri svoĎenju aktivnih otpornosti mora se voditi računa da gubici u bakru stvarnog sekundara i gubici u bakru 
sekundara svedenog na primar moraju ostati nepromenjeni, odnosno vredi da je: 

2

2

12

'

2

2

'

2

2

2

'

2

2

2

2

2

'

2

'

2

R

m

R

I

I

R

R

I

R

I

R































(5.3) 

Pri svoĎenju induktivnih reaktansi mora se voditi računa da reaktivna snaga stvarnog sekundara i reaktivna 
snaga sekundara svedenog na primar moraju ostati nepromenjene, odnosno vredi da je: 

2

2

12

'

2

2

'

2

2

2

'

2

2

2

2

2

'

2

'

2













X

m

X

I

I

X

X

I

X

I

X































(5.4) 

13 / 68

6.  GUBICI SNAGE U TRANSFORMATORU I STEPEN ISKORI

ŠTENJA

 
 
Kao  što  je  već  rečeno  u  transformatoru  se  na  principu  zakona  elektromagnetne  indukcije  vrši  preobražaj 
električne energije jedne vrednosti napona i struje u električnu energiju druge vrednosti napona i struje pri 
istoj  učestanosti.  Pri  tim  procesima  se  deo  energije  nepovratno  pretvara  u  toplotu  i  dovodi  do  zagrevanja 
transformatora.  Deo  energije  koji  se  nepovratno  pretvara  u  toplotu  smatramo  izgubljenim,  a  pojedine 
komponente te izgubljene energije nazivamo 

gubicima

. 

Nez

avisno od režima rada u kojem radi transformator, u njemu postoje tri vrste gubitaka: 

a)  magnenti gubici (gubici u feromagnetnom jezgru), 
b) 

električni gubici snage (Džulovi gubici) u namotima transformatora, 

c) 

dielektrični gubici (prisutni kod transformatora visokih napona). 

6.1  Gubici snage u feromagnetnom jezgru transformatora 

Gubici snage u feromagnetnom jezgru transformatora (magnenti gubici) javljaju se kao posledica vremenski 
promenljivog  magnetnog  polja  u  kome  se  nalazi  feromagnetno  jezgro.  Relativno  mali  deo  gubitaka  snage 
javlja se u ostalim željeznim delovima transformatora, kao što su stjenke transformatorskog suda, kroz koje 
se zatvaraju linije rasutog magnetnog fluksa primarnog i sekundarnog namota. 

Ako  se  ima  u  vidu  da  su  magnentna  indukcija  i  rezultantni  magnetni  fluks  u  feromagnetnom  jezgru 
transformatora konstantni pri pr

iključenom konstantnom primarnom naponu i frekvenciji, onda će i 

magnetni 

gubici  u  feromagnetnom  jezgru  biti  pribliţno  konstantni

  tokom  rada  transformatora  pri  bilo  kom 

opterećenju od praznog hoda do nominalnog opterećenja. 

Analitički izrazi za računanje gubitaka u željeznim jezgrama električnih strojeva su poznati i ne razlikuju se 
bitno  izmeĎu  autora  u  klasičnoj  literature.  U  klasičnom  pristupu  računanja  gubici  u  željezu  se  svrstavaju  u 
dve kategorije:  

1)  magnetni gubici usled histereze,  
2)  magnenti gubici us

led vrtložnih struja.  

Magnenti gubici se 

obično računaju za industrijske frekvencije 50 Hz, odnosno 60 Hz ili za frekvencije bliske 

njima.  Pri  tome  su 

za  proračun  tih  gubitaka  vrlo  bitni  podaci  koji  se  dobivaju  od  proizvoĎača  magnetskih 

materijala od kojih su izraĎena feromagnetna jezgra transformatora. 

Magnetni gubici usled histereze 

javljaju se kao posledica naizmeničnog magnećenja feromagnetnog jezgra, 

odnosno  navedeni  gubici  tokom  jednog  ciklusa  srazm

erni  su  površini  histerezisne  petlje  magnetskog 

materijala od kojih je izraĎeno feromagnetno jezgro transformatora.  

U  materijalu  izloženom  izmeničnom  magnetskom  polju  u  jednom  ciklusu  magnetiziranja  dio  energije  se 
predaje materijalu, a dio energije se vraća iz materijala u polje. Odatle sledi da je površina zatvorena petljom 
histereze  jednaka  energiji  po  jedinici  zapremine  izgubljenoj  za  svaki  ciklus  magnetiziranja,  što  predstavlja 
takozvane gubitke usled histereze. Za pokrivanje tih gubitaka potrebna je komponenta struje magnetiziranja 

i

rh

u fazi sa naponom (

Sl.6.1.1b

). 

15 / 68

Sl. 6.1.2 

– Zavisnost magnetnih gubitaka magnetnih limova u funkciji magnetne indukcije 

Struja  magnetiziranja  transformatorskog  lima 

izrazito  raste  pri  većim  vrednostima  magnentne  indukcije  u 

limovima  feromagnetnog  jezgra,  pa  se 

obično  transformator  projektuje  tako  da  magnentna  indukcija  ne 

prelazi  iznos  od 

1,8

  T  pri  nazivnom  naponu. 

Razlog  izbora  nižih   vrednosti  magnentne indukcije može biti 

zahtev za smanjenom bukom transformatora, no 

time se povećavaju dimenzije transformatora. 

Petlja  histereze  ovisi  o  hemijskom  sastavu  i  kristalnoj  strukturi  materijala.  Zbog  obrade  transformatorskog 
lima (štancanje ili lasersko rezanje) te slaganja u jezgru, pri čemu se na spojevima limova javljaju neznatni 
zračni  procepi,  petlja  histereze  transformatorske  jezgre  se  razlikuje  od  petlje  histereze  limova  od  kojih  je 
sačinjena. 

Budući da je površina petlje histereze proporcionalna gubicima u materijalu pri izmjeničnom magnetiziranju, 
petlja histereze feromagnetskog lima mora biti uska s malim iznosom koercitivne sile 

H

c

 (

Sl.6.1.3a

). 

Sl. 6.1.3

– Petlja histereze (a), Kriva prvog magnetiziranja (b), Ovisnost relativne permeabilnosti o magnetnoj 

indukciji za transformatorske limove (c) 

16 / 68

Magnenti  gubici  usled  vrtložnih  struja  obrazuju  se  u  svim  delovima  feromagnetnog  jezgra  transformatora. 
Vremenski promenljiva struja primara stvara vremenski promenjivo magnetno polje u kome se istovremeno 
nalazi feromagnetno jezgro, (

Sl.6.1.4a

)

,

koga možemo zamisliti kao mnoštvo zatvorenih provodnih kontura, u 

njima će se indukovati vremenski promenjive elektromotorne sile i njima odgovarajuće struje. Ove vremenski 
promenjive struje  koje se indukuju u feromagnetnom jezgru (koje je provodni material) nazivaju se 

vrtložne

ili 

vihorne struje

.  

Vrtložne struje su neminovni pratilac vremenski promenljivog magnetnog polja  kako unutar  feromagnetnog 
jezgra  transformatora  tako  i  provodnika  namota  primara  i  sekundara.  Shodno  Lencovom  pravilu,  nastale 
vrtložne  struje  suprotstavljaju  se  uzroku  svoga  nastanka,  odnosno  teže  da  spreče  promenu  fluksa  kroz 
poprečni presek kako feromagnetnog jezgra tako i provodnika namota primara i sekundara.  

U celoj zapremini feromagnetnog jezgra 

postoji tok vrtložnih struja, pri čemu strujne linije leže u ravni koja je 

normalna  na  pravac  magnetnog  fluksa  odnosno  na  pravac  vektora  magnetne  indukcije  jezgra.  Nastale 
vrtložne struje stvaraju svoje 

sekundarno vremenski promenljivo magnetno polje

.  

Zbog postojanja sekundarnog magnetnog polja ko

je stvaraju vrtložne struje, rezultantna magnetna indukcija 

u  jezgru  se  smanjuje, 

odnosno ona više  nije  homogena  po poprečnom preseku  jezgra.  Kako je magnetno 

polje indukovanih vrtložnih struja najveće u sredini jezgra tu će i slabljenje rezultantnog magnetnog fluksa biti 
najveće. Rezultantna magnetna indukcija koja potiče od magnetne indukcije primarnog namota i magnetne 
indukcije vrtložnih struja, najveća je na površini jezgra, a opada idući ka njegovoj unutrašnjosti odnosno ka 
njegovoj  osi.  Kao  posledica 

vrtložnih  struja  dolazi  do  pojave  snage  gubitaka  u  feromagnetnom  jezgru, 

izazivajući njegovo dodatno zagrevanje. 

Sl. 6.1.4

– Mere za smanjenje gubitaka usled vrtložnih struja

Kako  se  magnetna  kola  transformatora  izra

Ďuju  od  feromagnetnih  materijala  koji  su  relativno  dobri 

provodnici,  u  njima  bi  se  indukovale  vrtlo

žne struje velikog intenziteta. Zbog toga se u  jezgru trafoa razvija 

toplota  koja ga zagreva i smanjuje njegov stepen iskori

štenja. Da bi se smanjili gubici usled vrtložnih struja, 

kao  i  neravnomernost  raspodele  fluksa  po  popre

čnom preseku jezgra, ista se  prave  od tankih meĎusobno 

izolovanih  limova  debljine  (0.23-0.35) 

mm

  kao 

što  je  prikazano  na 

Sl.6.1.4c

.  Tada  se  indukovane  vrtložne 

struje zatvaraju duž preseka pojedinih limova, obuhvatajući manji magnetni fluks. Time se znatno smanjuje 
gustina vrtložnih linija u limu u odnosu na feromagnetno jezgro iz jednog komada. 

Lameliranjem  feromagnetnog  jezgra  povećava  se  ukupni  električni  otpor  jezgra  zbog  porasta  prelaznog 
otpora  izmeĎu  limova  što  doprinosi  smanjenju  intenziteta  vrtložnih  struja.  Da  bi  postupak  lameliranja 
feromagnetnog jezgra doprineo smanjenju vrtložnih struja, očigledno je da limovi moraju biti postavljeni tako 
da vektor magnetne indukcije bude paralelan 

površini lima a nikako normalan na nju (

Sl.6.1.4c

).  

Kako 

su  vrtložne  struje  proporcionalne  promeni  magnetne  indukcije  (fluksa)  i  frekvencije,  a  gubici  snage 

kvadratu  struje,  onda  je  očigledno  da  su  gubici  snage  usled  vrtložnih  struja  srazmerni  kvadratu  magnetne 
indukcije  i  kvadratu  frekvencije.  Gubici  snage  usled  vrtlo

žnih  struja,  saglasno  eksperimentalnim 

istra

živanjima, mogu se sa dovoljnom tačnošću opisati relacijom oblika: 

18 / 68

Na osnovu svega rečenog proizilazi da su ukupni magnetni gubici u feromagnetnom jezgru transformatora 
definisani relacijom: 





Fe

m

Fe

Fe

m

V

H

V

H

Fe

m

B

p

m

B

f

K

f

K

P

P

P























2

1

2

2

(6.1.5) 

Izraz u zagradi predstavlja 

specifične jedinične magnetne gubitke, odnosno magnetne gubitke koji se imaju 

pri masi magnetnih limova od 1 kg i pri magnetnoj indukciji 

B

m

=1 T. 

2

1

f

K

f

K

p

V

H

Fe









(6.1.6) 

Koeficijenti  

K

H

i

K

V

se odreĎuju u laboratorijskim uslovima mjerenjem na uzorku magnetnog materijala, od 

koga  je  izraĎeno  jezgro  transformatora,  pri  naizmeničnom  magnentom  polju  (pulsirajuće)  u  Epsteinovom 
aparatu.  P

roizvoĎači  transformatora  se  još  uvek  oslanjaju  na  rezultate  klasičnih  mjerenja  gubitaka 

Epsteino

vim aparatom, a povećanje gubitaka u magnetskom kolu transformatora nadomeštaju korekcionim 

faktorima.  

Ako se uz

me u obzir da je frekvencija transformatora konstantna veličina, to shodno izrazu  (6.1.5) gubici u 

feromagnetnom jezgru transformatora zavise samo od kvadrata magnetne indukcije. 

Osim  navedenih  uticaja,  u  transformatorima 

treba  računati  s  tim  da  se  kao  posledica  pogoršanja 

karakteristika 

magnetskog materijala u procesu mehaničke obrade limova štancanjem ili laserskim rezanjem 

stvaraju  dodatni  gubici  koji  nisu  obuhvaćeni  u  osnovnim  formulama  za  računanje.  Ovi  gubici  zavise  od 
tehnologije 

obrade. Što je ona lošija, to su oni veći. Navedeni uticaji zbog obrade mogu povećati gubitke 30–

40 % u odnosu na one izmerene na uzorku materijala. 
 
 

6.2  Gubici  usled promene optere

ćenja (gubici snage u bakru namota) transformatora 

Elektri

čni  gubici  snage  uzrokovani  promenom  opterećenja  su  gubici  koji  se  pre  svega  javljaju  u  namotima 

transformatora kao 

posledica proticanja struja, uzrokujući zagrevanje namota i ostalih delova transformatora 

putem  transformatorskog  ulja.  Obzirom  da  najvećim  delom  navedeni  gubici  nastaju  u  namotima 
transformatora koji se uglavnom izraĎuju od bakra, to se se navedeni gubici  zajedničkim imenom nazivaju 

“gubici snage u bakru”

 transformatora. 

Gubici  usled  optere

ćenja  predstavljaju gubitke u namotima i konstrukcijskim delovima transformatora  zbog 

proticanja struje,  a jednaki gubicima izmjerenima u ogledu kratkog spoja. Gubici usled optere

ćenja mogu se 

uopšteno podeliti u tri grupe: 

a) 

Džulovski gubici u namotima transformatora, 

b)  dopunski  gubici  usled  porasta  otpora  namota  nastali  kao  efekat  potiskivanja  struje  koji  dovodi  do 

neravnomjerne  raspodele  struje  po  presjeku  provodnika  namota 

čime  se  povećava  otpor  namota  i 

radni gubici, 

c)  dodatni  gubici 

zbog vrtložnih struja indukovanih u konstrukcijskim delovima (steznici, kotao, stezne 

motke) transformatorima. 

Džulovski gubici koji postoje u primarnim i sekundarnim namotima transformatora su proporcionalni kvadratu 
struje opterećenja koja protiče kroz namote i prvom stepenu omske otpornosti namota. Navedeni gubici su 
definisani relacijom oblika: 





2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

1

I

R

k

q

I

R

k

q

P

P

P

F

F

Cu

Cu

Cu





















(6.2.1) 

gde je: 

k

F1

 i 

k

F2 

 - 

Fildovi sačinioci rasipanja za primarni i sekundarni namot ponaosob, 

19 / 68

q

1

 i 

q

2 

 - broj faza primarnog i sekundarnog namota ponaosob, 

U  navedenom

izrazu 

R

1

  i 

R

2

  su  omski  otpori  namota  primara  i  sekundara  kada  bi  kroz  njih  proticala 

jednosmerna  struja.  Pri 

proticanju  naizmenične  struje  kroz  date  namote,  zbog  efekta  potiskivanja  struje 

nastalih  kao  posledica  rasutih  flukseva  oko  provodnika,  dolazi  do  neravnomerne  raspodele  struje  po 
poprečnom preseku provodnika namota.   

Neravnomerna  raspodela  struje  po 

poprečnom  preseku  provodnika  ekvivalentna  je  smanjenju  efektivne 

površine poprečnog preseka provodnika, što znači da se omski otpori namota 

R

1

 i 

R

2 

povećaju u odnosu na 

omske otpore namota kada je kroz njih proticala jednosmerna struja. Da bi se nastala pojava uzela u obzir to 

se omski otpori 

R

1

 i 

R

2

 namota primara i sekundara

kada bi kroz njih proticala jednosmerna struja 

množe sa 

koeficijentima 

k

F1

 i 

k

F2

(Fildovi sačinioci rasipanja) koji se mogu izračunati za svaki od namota ponaosob.    

Na osnovu iskustava iz prakse može se konstatovati da porasti otpora usled neravnomerne gustine struje po 
poprečnom  preseku  provodnika  namota 

iznose  svega  nekoliko  procenata

,  to 

se  za  približne  i  brze 

proračune gubitaka opterećenja 

često vrši njihovo zanemarenje

.   

Ako se uzme u obzir da je broj faza primara i sekundara isti (

q

1

=

q

2

=

q

), te ako se struja i otpor primara svedu 

na sekundar, tada se 

Džulovski gubici primara i sekundara mogu izraziti jednačinom oblika: 



 



2

2

2

2

2

2

''

1

1

2

2

2

2

2

''

1

2

21

''

1

2

12

1

I

R

q

I

R

k

R

k

q

I

R

k

I

m

R

m

k

q

P

k

F

F

F

F

Cu





































  (6.2.2) 

gde je: 

R

k

– ekvivalentni omski otpor transformatora, 

Otpori  namota  se  obično  preračunavaju  na  pogonski  toplo  stanje  transformatora.  Uobičajena  radna 
temperatura  transformatora  je 

ϑ=75 

o

C.  Promena  otpora  s  temperaturom  za  namote  sa  bakrenim 

provodnicima definisana je izrazom: 

0

0

235

235















R

R

(5.2.3) 

gde je: 

R

ϑ

– otpor namota transformatora pri temperaturi ϑ (topli otpor), 

R

ϑ0

– otpor namota transformatora pri temperaturi ϑ

0

 (hladni otpor), 

Vrednost 235 je konstanta za bakar pri 20 °C, dok konstanta za aluminij iznosi 225.  

P

ri nominalnom prividnom opterećenju  

n

n

n

I

U

q

S







(6.2.4) 

pojavit će se nominalni gubici u bakru transformatora koji su definisani relacijom: 

2

n

k

Cun

I

R

q

P







(6.2.5) 

Nominalni  gubici  u  bakru  transformatora 

odreĎuju  se  eksperimentalno  u  ogledu  kratkog  spoja,  kada  se 

praktično drugi gubici mogu zanemariti. 

Pri nekom prividnom opterećenju  

I

U

q

S

n







(6.2.6) 

pojavit će se gubici u bakru transformatora koji su definisani relacijom: 

2

I

R

q

P

k

Cu







(6.2.7) 

Ako se meĎusobno podele relacije (6.2.6) i (6.2.4) dobija se izraz oblika 

21 / 68

koja mogu ugr

oziti normalan pogon transformatora. Ovako zagrevanje najčešće se javlja na kotlu i poklopcu 

transformatora,  te  steznom  sistemu  jezgra  transformatora.  Prevelika  zagrevanja  mogu  dovesti  do  pojave 
pirolize  (oslobaĎanje  gasova)  u  ulju.  Tako  se  smanjuje  vek  trajanja  izolacije,  a  time  i  vek  trajanja  celog 
transformatora.

Sl. 6.2.1

– Dodatni gubici u konstrukcijskim delovima trafoa uzrokovani proticanjem struje 

Područja  najčešćih  mjesta  lokalnih  pregrevanja  u  transformatoru  prikazani  su  na 

Sl.6.2.2

.  Primer  lokalnog 

zagrev

anja  koji  se  često  analizira  u  praksi  jest  zagrevanje  metalne  ploče  u  blizini  vodiča  kroz  koje  protiču 

struje od nekoliko kiloampera (

Sl.6.2.2a

). Kod prvih transformatora ud

aljenosti vodiča od metalnih delova na 

niženaponskoj strani bile su odabrane prema električnim i mehaničkim ograničenjima. Razvojem industrije i 
porastom  potrošnje  energije,  rasle  su  i  snage  transformatora  što  je  uzrokovalo  velike  vrednosti  struja  na 
niženaponskoj strani, a time i opasnost od zagrevanja na kotlu.  

Vodiči  niženaponske  strane  transformatora  kroz  koje  protiču  velike  struje  stvaraju  probleme  i  na  izlazu  iz 
kotla, najčešće na poklopcu transformatora (

Sl.6.2.2b

). Ovakav problem lokalnih gubitaka i zagrevanja, osim 

kod  transformatora,  susreće  se  i  kod  električnih  mašina  i  rasklopnih  postrojenja.  Zbog  toga  se  ovakve 
konfiguracije najčešće istražuju u problematici lokalnih zagrevanja.  

Ostali uzroci lokalnog zagrijanja specifični su za svaki električnu mašinu ovisno o načinu izvedbe i smeštaja 
metalnih  konstrukcijskih  d

elova.  Područje  spoja  poklopca  i  kotla  (

Sl.6.2.2c

)  transformatora,  zbog 

diskontuiniteta u električnoj vodljivosti i magnetskom otporu, mesto je velikih gustina vrtložnih struja, a time i 
velikih  lokalnih  gubitaka.  Ovi  d

elovi  nisu  u  potpunosti  izloženi  ulju  što  ih  čini  slabije  hlaĎenim  od  kotla  ili 

poklopca transformatora. 

Uz vodiče velikih struja, lokalno zagrevanje može uzrokovati i rasipno polje namota. U ovom slučaju najčešći 
slučaj  je  zagrevanje  vlačnih  motki  (

Sl.6.2.2d

)  koje  čine  dio  steznog  sistema  jezgre  transformatora.  Zbog 

velike relativne permeabilnosti jezgre, rasipni tok namota upada okomito na vanjske pakete jezgra, a time i 
na vlačne motke koje su smještene uzduž stupa jezgre. Iako su u ovom slučaju gubici veoma mali u odnosu 
na  ostale  gubitke  u  metalnim  delovima,  zbog  visokih  vrednosti  indukcije  i  slabog  hla

Ďenja,  lokalno 

zagrev

anje  može  dostići  velike  vrednosti.  Rasipno  polje  namota  i  niženaponski  vodiči  mogu  uzrokovati 

lokalno  zagrevanje  i  u  stezniku  jezgre.  Ovaj  metalni  deo  sm

ešten  je  uzduž  jarma  jezgre.  Mali  magnetski 

otpor magnetskog lima jarma uzrokuje povećanje količine rasipnog fluksa u njegovoj okolini.  

22 / 68

Sl. 6.2.2

– 

Uzroci lokalnog zagrevanja u transformatoru 

Lokalne gubitke i zagrevanje u metalnim d

elovima moguće je smanjiti na tri načina:  



smanjenjem  magnetskog  toka  u  metalnim  delovima  ugradnjom  magnetskih  ili  elektromagnetskih 
(bakrenih ili aluminijskih) zaslona,  



pov

ećanjem udaljenosti metalnih delova od izvora rasipnog fluksa,  



pravilnim 

odabirom konstrukcijskih materijala (magnetski ili nemagnetski čelik).  

U  slučaju  NN  vodiča  u  blizini  metalne  ploče  najčešće  se  iznos  lokalnog  zagrevanja  može  smanjiti 
povećanjem  udaljenosti  vodiča  i  ploče  ili  korištenjem  zaslona.  Dio  poklopca  u  blizini  prolaska  vodiča  kod 
energetskih  transformatora  izra

Ďuju se  od  nemagnetskog čelika. Ukoliko postoji  opasnost od  zagrevanja u 

području  spoja  poklopca  i  kotla  potrebno  je  razmotriti  odabir  materijala  u  spoju  ili  zaslanjanje 
elektromagnetskim zaslonima radi smanjenja fluksa 

u tom području. Gubici u steznicima i vlačnim motkama 

mogu se smanjiti korištenjem drugih materijala (nemagnetskog čelika). 

6.3  

Stepen iskorištenja transformatora 

Stepen  iskorištenja  transformatora  je  odnos  korisne  snage 

P

2

(izlazne  snage)  i  utrošene  aktivne  snage 

P

1

(ulazne  snage)

.  Razlika  tih  snaga  predstavlja  ukupne  gubitke  snage  ∑

P

g

koji  se

bespovratno  pretvaraju  u 

toplotu koja zagreva delove transformatora. Na osnovu navedene analize 

stepen iskorištenja transformatora 

može se izraziti u obliku: 















g

g

P

P

P

P

P

P

P

P

1

1

2

2

1

2



(6.3.1) 

Za  transformator  se  kao  nominalna  veličina  daje  nominalna  prividna  snaga 

S

n

.  U  tom  slučaju,  ako  je  trafo 

opterećen nominalnom snagom tada će aktivna snaga zavisiti od faktora snage cosφ. 

Kada je struja 

I

2

različita od nominalne 

I

2n

definiše se relativno opterećenje: 

n

n

n

n

n

n

S

S

S

S

I

U

I

U

I

I





















2

2

2

2

2

2

(6.3.2) 

24 / 68

7. MAGNETOPOBUDNE SILE, STRUJE I FLUKSOVI REALNOG TRANSFORMATORA

U  slučaju  idealnog  transformatora,  iz  pretpostavke  da  je  magnetna  otpornost  feromagnetnog  jezgra 

zanemarljivo  mala  (

R

m

=0; 



Fe

→∞

)  proizilazi  da  je  ukupna  magnetopobudna  sila  (

NI

)  potrebna  da  uspostavi 

zajednički magnentni fluks u feromagnetnom jezgru idealnog transformatora jednaka nuli, što je definisano 
relacijom  (3.20)

. TakoĎe, odnos struja primara i sekundara (3.21), definisan iz prethodne relacije pokazuje 

da su smerovi struja primara i sekundara, u svakom trenutku, meĎusobno suprotni, što uslovljava poništenje 
magnetnog  fluksa  u  feromagnetnom  jezgru.  Dakle,  primarna  magnetopobudna  sila  (

N

1

I

1

)  idealnog 

transformatora  će  po  faznom  stavu  biti  suprotna  sekundarnoj  magnetopobudnoj  sili

  N

2

I

2

(koja  je  odreĎena 

prirodom opterećenja) a po vrednosti jednake. 

U 

slučaju  realnog  transformatora

magnetni  fluks  se  ne  zatvara  isključivo  kroz  feromagnetno  jezgro 

transformatora, nego postoje i fluksevi rasipanja 





(

Sl.4.1b

), odnosno fluksevi koji se zahvataju pojedina

čno 

sa namotom primara, odnosno namotom sekundara

. Ovo praktično znači da ukupni fluksevi koji obuhvataju 

namote primara i sekundara nisu meĎusobno jednaki. 

Primenujući napred rečeno na slučaj realnog transformatora, jasno da nije moguće stvoriti magnetni fluks a 
da  ne  postoji  rezultantna  magnetopobudna 

sila,  odnosno  za  održavanje  magnetnog  fluksa  u  jezgru 

transformatora potrebno je da postoje magnetopobudne sile koje taj fluks stvaraju. 

Sl. 7.1

– Princip razlaganja magnetopobudnih sila i struja  realnog transformatora 

Pri radu transformatora 

pod opterećenjem (

Sl.7.1a

) postoje mps primara (

F

1

=

N

1

I

1

) i mps sekundara  (

F

2

=

N

2

I

2

) 

koje su meĎusobno skoro u protiv fazi, kao što su struje primara i sekundara u svakom trenutku meĎusobno 
suprotstavljene

, a njihova rezultanta je zajednička magnetopobudna sila:. 

2

2

1

1

2

1

I

N

I

N

F

F

F

F















(7.1) 

Kada 

transformator  nije  opterećen  (

I

2

=

0

)  ne  postoji  mps  sekundara  (

F

2

=

N

2

I

2

=0

),  a  obzirom  da  fluks  u 

feromagnetnom  jezgru  mora  ostati  približno  konstantan,  to  će  fazor  mps  primara  (

F

o

=

N

1

I

o

)

,  pasti  u  pložaj 

rezultantne  mps,  odnosno  mps  primara  će  u  režimu  praznog  hoda  realnog  transformatora  biti  jednaka 
rezultantnoj magnetopobudnoj sili (

Sl.5.1b

): 

0

1

I

N

F

F

F

o

o









(7.2) 

Kombinacija  prethodnih  relacija  daje  konačni  izraz  za  odnos  magnetopobudnih  sila  za  rad  realnog 
transformatora 

pod opterećenjem: 

2

2

1

1

0

1

2

1

0

I

N

I

N

I

N

F

F

F

















(7.3) 

Iz 

prethodne  relacije  može  se  izraziti  mps  primara  realnog  transformatora  u  režimu  opterećenja 

transformatora u obliku: 

)

(

2

2

0

1

1

1

I

N

I

N

I

N













(7.4) 

25 / 68

Deleći relaciju (7.3) brojem navoja primara 

N

1

, prelazi se sa jednačine magnetopobudnih sila transformatora 

na jednačinu struja realnog transformatora: 

'
2

1

0

2

1

2

1

0

I

I

I

I

N

N

I

I













(7.5) 

Gde je 

'
2

I

struja sekundara svedena na primarnu stranu. 

Budući  da  je  jednačina  magnetopobudnih  sila  transformatora  deljena  samo  sa  brojem  navoja  primara 

N

1  , 

onda  je  dijagram  struja  transformatora

identičan  dijagramu  magnetpopobudnih  sila  realnog  transformatora 

(

Sl.7.1d

). 

Provedena  analiza 

magnetopobudnih  sila  i  struja  realnog  transformatora  provedena  je,  kao  što  je  to  više 

puta naglašeno, pod pretpostavkom da: 



magnetna  otpornost  u  feromagnetnom  jezgru  ima  konačnu  vrednost  (

R

m

≠0

),

  odnosno  vrednost 

magnetnog  fluksa  u  feromagnetnom  jezgru  nalazi  na  linearnom  delu 

krive  magnećenja  (

Sl.2.1b

), 

tako da su su posmatrane veličine napona i struja prostoperiodične funkcije vremena 



gubici u željezu feromagnetnog jezgra su zanemarljivo mali (

P

Fe

=0). 

Kada su gubici u gvožĎu feromagnetnog jezgra transformatora zanemarljivo mali, struja praznog hoda 

I

o

 je 

čisto  reaktivna  (zaostaje  za  naponom  primara 



/2).  Ako  se  uzmu  u  obzir  gubici  u  gvožĎu  feromagnetnog 

jezgra, onda struja praznog hoda 

I

o

nije čisto reaktivna  (zaostaje za naponom primara manje od 



/2), te se 

kao  na 

Sl.7.1d,e 

m

ože rastaviti na  dve komponente:  struja magnetiziranja 

I



(koja je čisto reaktivna) koja 

stvara  rezultantni  magnetni  fluks  transformatora  i  aktivnu  kopmponentu  sruje  praznog  hoda 

I

po

koja  vrši 

pokrivanje gubitaka snage u feromagnetnom jezgru. 

Dosadašnja analiza pokazuje da zajednička magnetopobudna sila (

F

o

=

N

1

I

o

), odnosno struja praznog hoda

 I

o

transformatora  stvara  rezultantni  magnetni  fluks 



.  Me

Ďutim,  ako  se  uzmu  u  obzir  gubici  snage  u 

feromagnetnom jezgru, tada rezultantni magnetni fluks 



 stvara reaktivna komponenta struje praznog hoda, 

odnosno struja magnetiziranja 

I



. Rezultantni magnetni fluks zatvara se kroz feromagnetno jezgro te namote 

primara  i  sekundara.  MeĎutim,  deo  struje  primara 

)]

(

[

'

2

0

1

I

I

I







  i  struja  sekundara 

I

2

,  protičući  kroz 

svoje namote 

takoĎe stvaraju flukseve koji se delom zatvaraju kroz feromagnetno jezgro (u kom su suprotnih 

smerova),  a  istog  su  smera  u  prostoru  izmeĎu  namota  primara  i  sekundara.  Dakle  delovi  fluseva  koji  se 

zatvaraju u prostoru izmeĎu namota nazivaju se rasuti fluksevi. Znači deo primarne struje 

)]

(

[

'

2

0

1

I

I

I







stvara rasuti fluks primara 





, a sekundarna struja rasuti fluks 





. Rasuti flukevi su u fazi sa strujama koje 

ih stvaraju te se mogu predstaviti grafički kao na 

Sl.7.2a. 

I

z svega rečenog proizilazi da se namot primara obuhvata sa dva stvarna fluksa: zajedničkim (rezultantnim) 

fluksom 



i  rasutim fluksom 





, koji se mogu meĎusobno vektorski sabrati  (

Sl.5.2a.

) stvarajući rezultantni 

fluks primara: 

1

1













rez

(7.6) 

Na  isti  način  namot  sekundara  se  obuhvata  sa  dva  stvarna  fluksa:  zajedničkim  (rezultantnim)  fluksom 



i 

rasutim  fluksom 





,  koji  se  mogu  meĎusobno  vektorski  sabrati  (

Sl.7.2b.

)  stvarajući  rezultantni  fluks 

sekundara: 

2

2













rez

(7.7) 

Da bi se odredio udeo mps primara i mps sekundara u stvaranju 

zajedničkog magnetnog fluksa 



, može se 

rezultantni fluks rastaviti na dve komponente (

Sl.7.2b.

): 

27 / 68

Heylandov  koeficijent

  primarnog  rasipanja 

τ

1

  i  sekundarnog  rasipanja 

τ

2

definišu se kao odnosi rasutih i 

fiktivnih flukseva: 

2

2

2

1

1

1

;

f

f





















(7.10) 

Hopkinsonov koeficijent

 primarnog rasipanja 

υ

1

 i sekundarnog rasipanja 

υ

  2

definišu se kao odnosi zbira 

odgovarajućih rasutih i fiktivnih flukseva prema fiktivnom fluksu : 

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

;

1

1





























































f

f

f

f

f

f

(7.11) 

Na osnovu razmatranja magnetopobudnih sila i flukseva transformatora vrši se razmatranje električnih sila i 
celokupn rad transformatora. U daljoj analizi rada transformatora razmatrat će se samo rezultantni magnetni 

fluks 



 i rasuti fluksevi primara 





 i sekundara 





, jer je taj način posmatranja rada tranformatora realan, a 

njime se dobija bolja fizička predstava, posebno ako se ima u vidu da su rezultantni magnetni fluks 



 i rasuti 

fluksevi primara 





 i sekundara 





 stvarni, odnosno stvarno postoje u transformatoru, za razliku od drugih 

gore navedenih flukseva  koji ustvari ne postoje. 

Treba  naglasiti  da  se  kombinovanjem  raznih  fluksva  mogu  stvarati  različiti  načini  posmatranja  rada 
transformatora,  vodeći  pri  tome  računa  da  se  po  uzimanju  jednog  fluksa  ne  smeju  vise  uzimati  u  obzir 

njegove  komponente.  Na  primer  ako  se  posmatra  rezultantni  fluks  primara 



1rez

,  onda  se  ne  mogu  vise 

uzimati  u  obzir  rezultantni  magnetni  fluks 



  i  rasuti  fluksevi  primara 





  i  sekundara 





, 

buduću  da  u 

magnetnom kolu može postojati samo jedan magnetni fluks stvoren zajedničkim delovanjem više mps. 
 

28 / 68

8. VEKTORSKI DIJAGRAM 

ELEKTRIČNIH SILA TRANSFORMATORA

Da  bi  se  razmotrili  stavovi  pojedinih  već  pomenutih  električnih  sila  u  namotima  primara  i  sekundara 
transformatora,  kao  i  njihova  veza  sa  pojedinim  magnetnim  fluksevima,  za  osnovu  razmatranja  uzima  se 
dijagram  magnetopobudnih  sila  i  magnetnih  flukseva  prikazanih  na 

Sl.8.1

.  Naime,  razmatrat  će  se  samo 

rezultantni  magnetni  fluks 



  i  rasuti  fluksevi  primara 





  i  sekundara 





,  jer  navedeni  fluksevi  stvarno 

postoje u transformatoru, za razliku od drugih flukseva  koji ustvari ne realno postoje. 

Najprije će se izvršiti analiza električnih sila koje postoje u kolu primara kada je transformator priključen na 
stalni napon 

U

1

i opterećen stalnom strujom opterećenja sekundara 

I

2

. 

Prostoperiodični rezultantni magnetni fluks, koji istovremeno obuhvata namote primara i sekundara, indukuje 
u namotu primara zajedniču elektromotornu silu, čiji je izraz već ranije izveden: 













1

1

1

44

,

4

f

N

j

E

(8.1) 

koja kasni  za  datim fluksom  za 

četvrtinu periode, što je posledica Lencovog zakona (

E

1

=–

d



/dt

),  odnosno 

na  fazorskom  dijagramu  (

Sl.6.1

a)  fazor  ems 

E

1

  pomeren  je  za 



/2  u  odnosu  na  fazor  zajedničkog  fluksa.  

Data  sila 

E

1

se  u  električnom  kolu  primara  ponaša  kao  kontraelektromotorna  sila  i  drži  ravnotežu 

priključenom naponu.  

Kada  su  zanemareni  gubici  u  gvožĎu  feromagnetnog  jezgra,  tada  je  struja  praznog  hoda 

I

o

  jednaka  struji 

magnećenja 

I



,  te  se  z

ajednička  elektromotorna  sila  primar 

E

1

može  se  izraziti  pomoću  meĎuinduktivnosti 

transformatora i 

struje magnećenja 

I



  u obliku: 







I

jX

I

M

j

E

M













1

(8.2) 

MeĎutim, zbog postojanja gubitaka u gvožĎu struja praznog hoda nije čisto reaktivna kao što je prikzano na 

Sl.5.1d

, tada 

će indukovana ems 

E

1  

zaostajati za strujom praznog hoda 

I



  za ugao (



/2+



), pri čemu ugao 



zavisi od gubitaka u praznom hodu, tada se elektromotorna sila 

E

1

 izra

žava u obliku: 

0

1

I

Z

E

m







(8.3) 

Prostoperiodični  rasuti  magnetni  fluks  primara,  koji  se  obuhvata  samo  sa  namotom  primara,  indukuje  u 

namotu primara elektromotornu silu usled rasipanja 

E



 koja koja zaostaje  za rasutim fluksom 





1

 za 



/2, a 

definisana je izrazom

:

1

1

1

1

1

1

44

,

4

I

jX

f

N

j

E

























(8.4) 

gde je 

X



 reaktansa usled rasipanja primarnog namota. 

Pored  gore  navedenih  električnih  sila  u  namotu  primara  postoji  i  elektrootporna  sila 

E

j1

koja  je  suprotnog 

smera  u  odnosu  na  primarnu  struju,  odnosno  radi  se  o  padu  napona  na  namotu  primara  zbog  postojanja 

omske otpornosti namota 

R

1

, a definisana je izrazom: 

1

1

1

I

R

E

j







(8.5) 

U cilju formiranja jednačine naponske ravnoteže za namot primara, primenjuje se II Kirhofov zakon: 

0

)

(









E

V

V

izl

ul

(8.6) 

Kako se namot primara 

ponaša kao prijemnik električne energije, njegov ulazni napon je viši od izlaznog, to 

će izrazi u zagradi biti pozitivni, te vredi da je: 

0

1

1

1

1









j

E

E

E

U



(8.7) 

Prebacivanjem električnih sila na desnu stranu, gornja jednačina postaje oblika: 

30 / 68

Kao što je već rečeno, kada se uzmu u obzir gubici u gvožĎu zajednička ems sekundara svedena na primar 

E’

2

  izra

žava se u obliku: 

0

2

'

I

Z

E

m







(8.13) 

Rasuti  magnetni  fluks  sekundara,  koji  se  obuhvata  samo  sa  namotom  sekundara,  indukuje  u  tom  namotu 

elektromotornu  silu  usled  rasipanja 

E



  koja  koja  zaostaje  za  rasutim  fluksom 





2

  za 



/2,  a  definisana  je 

izrazom

:

2

2

2

1

2

2

44

,

4

I

jX

f

N

j

E

























(8.14) 

gde je 

X



 reaktansa usled rasipanja sekundarnog namota. 

Svodeći je na primar, elektromotorna sila usled rasipanja sekundara 

E’



  postaje oblika: 

2

2

12

2

1

2

12

2

44

,

4

I

X

jm

f

N

jm

E

























(8.15) 

U  kolu  sekundara  deluje  i  elektrootporna  sila 

E

j2

koja  je  suprotnog  smera  u  odnosu  na  struju  sekundara,  a 

definisana je izrazom: 

2

2

2

I

R

E

j







(8.16) 

Odnosno svedena na primar iznosi: 

2

2

12

2

12

2

'

I

R

m

E

m

E

j

j













(8.17) 

Kako se namot sekundara 

ponaša kao generator električne energije, njegov izlazni napon je viši od ulaznog, 

to 

će veličine u zagradi izraza (8.6) biti pozitivni, te vredi da je: 

2

2

2

2

'

'

'

'

j

E

E

E

U









(8.18) 

Koriste

ći  relaciju  (6.18)  vrši  se  fazorsko  sabiranje  električnih  veličina  čime  se  dobija  fazorski  dijagram 

električnih sila sekundara prikazan na 

Sl.8.1b

. 

Ako  se  u  relaciju  (8.18)   

zamjene već definisani izrazi  za električne veličine 

E’



  i

  E’

j2

jednačina naponske 

ravnoteže kola sekundara postaje oblika: 

2

2

2

12

2

2

2

12

2

2

12

2

2

)

(

'

'

'

I

jX

R

m

E

I

X

jm

I

R

m

E

U























(8.19) 

odnosno 

2

2

0

2

2

2

2

2

12

2

2

'

'

'

'

'

'

'

I

Z

I

Z

I

Z

E

I

Z

m

E

U

m























(8.20) 

Ako se dijagram električnih sila sekundara sa 

Sl.8.1.b

 obrne za 180

o

tada se dobije dijagram električnih sila 

ka na 

Sl.8.1.d

koji se inače najčešće koristi u analizi rada transformatora. 

Sa  fazorskog  dijagrama  električnih  sila  transformatora  može  se  uočiti  da  se  struje  primara  i  sekundara 
meĎusobno  neznatno  razlikuju  u  faznom  stavu,  kao  posledica  struje  praznog  hoda,  TkoĎe  će  se  kao 
posledica padova napona na reaktansama rasipanja pojaviti fazna razlika izmeĎu napona primara i napona 
sekundara. 

Kod stvarnih transformatora padovi napona na reaktansama rasipanja iznose (2 - 4) % nazivnog napona, a 
struja  praznog  hoda  kreće  se  u  opsegu    (4  -  10)  % nazivne  struje,  zavisno  od  snage  transformatora.  Kod 
većih transformatora ti iznosi su niži. 

31 / 68

9.  EKVIVALENTNE 

ŠEME TRANSFORMATORA 

Budući  da  transformatoe  predstavlja  elektromagnetnu  spregu  namota  primara  i  sekundara,  to  se  shodno 
“teoriji električnih kola” navedene magnetne sprege mogu zameniti odgovarajućim električnim vezama, koje 
u  pojedinim  slučajevima  pružaju  mogućnost  jednostavnijeg  razmatranja,  odnosno  analize  rada 
transformatora.  

Primenom  numeričkih  metoda,  moguće  je  vršiti  izučavanje  pojava  u  transformatoru  predstavljajući  ga 
odgovarajućim  ekvivalentnim  kolima,  odnosno  postoji  mogućnost  da  se  transformator  kao  relativno  složen 
elektroenergetski  ureĎaj  predstavi  uprošćenom  ekvivalentnim  kolom  koje  se  približno  ponaša  kao  stvarni 
transformator.  Zavisno  od  uslova  rada,  kao  i  svrhe 

korištenja transformator je moguće predstaviti različitim 

oblicima ekvivalentnih kola, o čemu će i biti reči u navedenom izlaganju. 

Treba imati u vidu da električne veze koje se formiraju u ekvivalentnim kolima, koja predstavljaju ponašanje 
transformatora

,  moraju  u  potpunosti  zameniti  magnetne  sprege  izmeĎu  namota  i  omogućiti  kvantitativne 

analize  izmeĎu  pojedinih  električnih  veličina  transformatora  koje  se  imaju  pri  stvarnim  uslovima  rada 
transformatora. 

Za izučavanje  odnosa električnih  veličina koje postoje u transformatoru koristi se ekvivalentno kolo koje je 
posledica električnih veličina kao što su naponi, struje i impedanse. 

Jedan  od  načina  formiranja  ekvivalentnog  kola  transformatora  je  teorijsko  rešavanje  već  ranije  definisanih 
osnovnih jednačina transformatora  

1

1

o

m

1

1

1

1

I

Z

I

Z

I

Z

E

U











(9.1) 

'
2

'
2

0

'
2

2

'
2

'
2

'

I

Z

I

Z

I

Z

E

U

m

















(9.2) 

'
2

1

0

I

I

I





(9.3)

'
2

'
2

I

Z

U

p





(9.4) 

Polazeći od činjenice da je napon mreže 

U

1

na koju je priključen transformator konstantan, te da su poznati 

parametri  transformatora  kao  i  impedansa  opterećenja 

Z

p

koje  je  priključeno  na  sekundar,  cilj  je  odrediti 

primarnu  struju 

I

1

uzrokovanu 

opterećenjem  na  sekundaru  i  izraziti  je  u  funkcoji  je  napona  mreže 

U

1

  i 

poznatih parametara (impedansi) transformatora. 

U tom cilju, poželjno je jednačinu (9.1) naponske ravnoteže kola primara izraziti u obliku: 

?

;

1

o

1

1

o

m

1

1



















I

I

Z

I

I

Z

I

U

(9.5) 

Uvrsti li se jednačina struja tranfsormatora (9.3) u jednačinu naponske ravnoteže kola sekundara (7.2) dobija 
se relacija oblika: 









1

'
2

'
2

'
2

'
2

'
2

'
2

1

'
2

I

Z

I

Z

Z

U

I

Z

I

I

Z

U

m

m

m



























(9.6) 

Ukoliko  se  napon  sekundara  izrazi  kao 

funkcija  impedanse  opterećenja,  odnosno  relacijom  (9.4),  gornja 

jednačina naponske ravnoteže kola sekundara postaje oblika: 









1

'
2

2

1

'
2

2

'
2

'

'

I

Z

I

Z

Z

Z

I

Z

I

Z

Z

I

Z

m

p

m

m

m

p





























(9.7) 

Iz gornje jednačine (9.7) izrazit će se odnos struja primara i sekundara u obliku: 

p

m

m

Z

Z

Z

Z

I

I











'
2

1

'
2

(9.8) 

Deleći jednačinu struja transformatora (9.3) primarnom strujom 

I

1 

dobija se izraz oblika:  

33 / 68

Sl. 9.1 

– Ekvivalentne šeme realnog transformatora 

Omska  otpornosti 

R



    odabire  se  tako  da  njegovi  d

žulovski  gubici  budu  jednaki  gubicima  i  gvožĎu 

transformatora: 



R

E

P

Fe

2

1



(9.12) 

a reaktansa magnećenja računa kao količnik zajedniče elektromotorne sile i struje magnećenja: 

34 / 68





I

E

X

1



(9.13) 

Time  se  dobija  potpuna  ekvivalentna  šema  jednofaznog  transformatora  prikazana  na 

Sl.9.1e.

  Navedena 

ekvivalentna šema se naročito koristi u slučaju  kada  se pri razmatranju rada transformatora u obzir uzima 
činjenica da otpornosti 

R



 i 

X



zavise i menjaju sa zasićenjem magnetnog jezgra. 

Sl. 9.2 

– Ekvivalentne šeme realnog transformatora 

Odnosi izmeĎu parametara impedansi 

Z

m

 i 

Z



 u grani 

magnećenja izmeĎu tačaka 1 i 2 ekvivalentnih šema sa 

Sl.9.2 

definisani su na sledeći način: 

m

m

m

m

m

Z

Z

jX

R

jX

R

Z

I

Z

E

jX

R

Z

I

Z

E









































;

;

0

1

0

1

(9.14) 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

;





































































X

R

X

R

X

X

R

X

R

R

X

R

X

R

j

X

R

X

R

jX

R

Z

Z

X

R

X

R

j

X

R

X

R

jX

R

jX

R

jX

R

jX

R

Z

m

m

m

m

m

























































(9.15) 

36 / 68

Glavni  magnetni  fluks 







indukuje  u  primarnom  i  sekundarnom  namotu  elektromotorne  sile 

E

10 

i 

E

20

  koje 

kasne  za  datim  fluksom  za 

četvrtinu  periode.  Elektromotorna  sila 

E

10 

se 

ponaša  kao  kontraelektromotorna 

sila  i  drži  ravnotežu  priključenom  naponu.  Rasuti  magnetni  fluks





  primara  indukuje  u  namotu  primara 

elektromotornu silu usled rasipanja 

E



 koja koja zaostaje za rasutim fluksom 





10

 za 



/2. 

U režimu praznog 

hoda  rasuti  magnetni  fluks





  iznosi  oko  0,5%  glavnog  magnetnog  fluksa,  te  se  i  elektromotorna  sila 

E

10

razlikuje od napona primara 

U

10

 za oko 0,5%  (

U

10

≈

E

10

). 

U  namotu  primara  deluje  i  elektrootporna  sila 

E

j10

koja  je  suprotnog  smera  u  odnosu  na  primarnu  struju, 

odnosno radi se o padu napona na namotu primara zbog postojanja omske otpornosti namota 

R

1

. 

Sl. 11.1.1 

– Principijelna šema spoja trafoa u praznom hodu (a), ekvivalentna šema (b) i vektorski dijagram 

transformatora u praznom hodu (d) 

Rad  transformatora 

u  režimu  praznog  hoda  može  se  opisati  pomoću  već  ranije  definisanih  osnovnih 

jednačina transformatora (11.1), koje sada poprimaju oblik: 





10

m

1

10

1

1o

m

10

1

10

10

I

Z

Z

I

Z

I

Z

I

Z

E

U

















(11.1.1) 

0

21

'
20

I

Z

m

U

m









(11.1.2)

m

1

10

Z

Z

U

I

I







10

0

(11.1.3)

37 / 68

Na  osnovu  navedenih  jednačina  nacrtan  je  vektorski  dijagram  električnih  sila  transformatora  u  režimu 
praznog  hoda  (

Sl.11.1.1d

). U cilju poreĎenja, na 

Sl.11.1.1c

    je  prikazan  i  vektorski 

dijagram električnih sila 

transformatora u normalnom režimu  rada.

U režimu praznog hoda transformator se ponaša kao prigušnica 

sa feromagnetnim jezgrom.  

Sa vektorskog dijagrama na 

Sl.11.1.1e  

može se zapaziti da

struja praznog hoda 

I

o

nije čisto reaktivna, te se  

m

ože rastaviti na dve komponente: struja magnetiziranja 

I



(čisto reaktivna) koja stvara rezultantni magnetni 

fluks  transformatora  i  aktivnu  kopmponentu  sruje  praznog  hoda 

I

po

koja  vrši  pokrivanje  gubitaka  snage  u 

feromagnetnom  jezgru.  Budući  da  aktivna  kopmponenta  sruje  praznog  hoda 

I

po

  iznosi  oko  10  %  struje 

praznog  hoda 

I

o

to se praktično može smatrati da je 

I



 =

I



.. Za transformatore velike snage struja praznog 

hoda 

I

o

 iznosi oko (0,01 - 0,03)

I

n

 a za transformatore srednje snage struja praznog hoda 

I

o

 iznosi oko 0,05

I

n

.  

Odnos  transformacije 

transformatora  u  režimu  praznog  hoda  može  se  definisati  meĎusobnim  deljenjem 

jednačina (11.1.1) i (11.1.2), čime se dobija relacija oblika: 

m

m

1

1

m

21

m

1

'
20

10

;

Z

Z

Z

Z

Z

Z

m

Z

Z

U

U

m

















(11.1.4) 

Kako  je  impedansa  magnećenja 

Z

m

znatno  veća  od  impedanse  primara 

Z

1

  (nekoliko  stotina  puta),  to  se 

impedansa  primara 

Z

1

  u  broiocu  izraza  (11.1.4) 

može  zanemariti,  te  se  dobija  konačana  izraz  za  odnos 

transformacije transformatora u režimu praznog hoda: 

;

;

1

2

1

12

'
20

10

21

21

m

1

'
20

10

N

N

m

U

U

m

Z

m

Z

Z

U

U

m

















(11.1.5) 

Procedura izvoĎenja ogleda praznog hoda transformatora definisana je tačkom 

11.5

 standarda IEC 60076-

1/2011. Mjerenje s

truja i gubitaka praznog hoda vrši se pri nazivnom naponu i nazivnoj frekvenciji sa strane 

nižeg napona pri čemu je namotaj višeg napona otvoren. Shodno tački 

11.5

 standarda IEC 60076-1/2011, za 

trofazni  transformator,  izvor  napajanja  bira  se  tako  da  proizvodi  simetričan  i  sinusoidalan  napon  na  sva  tri 
namota.  Ispitivanje  gubitaka  praznoga  hoda  izvodi  se 

na  mrežnom  naponu.  Ispitni  krug  za  merenje 

električnih veličina  režimu praznog hoda transformatora prikazan je na 

Sl.11.1.2. 

Za  formiranja  e

kvivalentne  šeme  transformatora  iz  ogleda  praznoga  hoda  mogu  se  odrediti  sledeći 

parametri: 



impedansa 

magnećenja 

Z

0

=U

0

/I

0

,



otpor magnećenja 

R

m

=Z

0

.

cosφ

0



faktor snage

 cos 

φ

0  

u praznom hodu, 



reaktansa magnećenja

 X

m

. 

Ispitni  napon  se  meri  pomoću  dva  voltmetra  od  kojih  jedan  meri  srednju  vrijednost  napona 

U

0sr

,  a  drugi 

voltmetar  meri  efektivnu  vrijednost 

U

0ef

.  Voltmetri  se  priključuju  izmeĎu  linijskog  voda  i  zvezdišta 

transformatora.  Ispitni  napon  ima  z

adovoljavajući  oblik  ako  se  izmerene  vrijednosti  napona

  U

0sr

  i 

U

0ef

  ne 

razlikuju za više od 3%. 

Snaga gubitaka u praznom hodu može se meriti pomoću dva vatmetra u Aronovom spoju ili sa tri vatmetra 
sa  veštačkom  nul-tačkom.  U  slučaju  direktnih  merenja  preporuka  ja  da  se merenje  napona,  struja  i  snaga 
praznog hoda vrši trofaznim digitalnim analizatorom snage. Ako je ikao moguće, pri navedenim merenjima 
potrebno je izbegavati naponske i strujne merne transformatore, obzirom da oni unose dodatne pogreške. Iz 
tih  razloga  se  merenje  obično  vrši  na  niženaponskoj  strani  transformatora.  Ukoliko  nije  moguće  direktno 
merenje električnih veličina onda se ipak moraju koristiti merni transformatori, ali je u tom slučaju neophodno 
poznavati njihovu krivu kalibracije za celu skalu, ugaonu grešku i grešku prenosnog odnosa za opterećenje 
koje predstavlja vatmetar, ampermetar ili voltmetar. Obzirom da je faktor snage praznog hoda transformatora 
vrlo mali, veoma je važno poznavati ugaonu grešku mernih transformatora. 

39 / 68

Kod trofaznih transformatora gubici praznoga hoda su zbir pokazivanja vatmetara u sve tri faze: 

3

0

0

0

C

B

A

m

P

P

P

P







(11.1.7) 

Ako  su  izmereni  gubici  snage  praznog  hoda  transformatora 

označeni  sa 

P

m

tada  su  korigovani  gubici 

praznog hoda označani sa 

P

o

 i iznose: 

)

1

(

0

d

P

P

m







(11.1.8)

gde je: 

'

0

0

0

sr

ef

sr

U

U

U

d





(11.1.9) 

Gubici snage usled histereze zavise od 

srednje vrednosti napona napajanja, a gubici snage usled vrtložnih 

struja zavisi od efektivne vrednosti napona napajanja. 

Za bi dobili pravu sliku 

o prilikama zasićenja u jezgru nije dovoljno izvršiti samo merenje struje praznog hoda 

za nazivni napon, već je poželjno snimiti nekoliko točaka, obično u opsegu (0,7 - 1,1)

U

n

. Sa tako dobivenim 

podacima m

erenja može se nacrtati karakteristike praznog hoda: 

I

0

 = 

f

1

(

U

0

)

, 

P

0

 = 

f

2

(

U

0

)

 i  

cosφ

0

 = 

f

3

(

U

0

)

, čiji 

su graficii prikazni  na 

Sl.11.1.3a. 

U  režimu  praznog  hoda  transformator  ne  vrši  nikakav  koristan  rad.  Snaga 

P



    koju  transformator  uzima  iz 

mreže  troši  se  na  pokriće  gubitaka  u  režimu  praznog  hoda.  U  režimu  praznog  hoda  javljaju  se  gubici  u 
željezu  transformatora  (gubici  u  feromagnetnom  jezgru)  i  Džulovi  gubici  u  bakru  primarnog  namota  (u 
sekundarnom namotu nema gubitaka u bakru obzirom da kroz njega ne protiče struja).: 

10

0

Cu

Fe

P

P

P





(11.1.6) 

Kako je struja praznog hoda znatno manja od nazivne struje (

I

0

=0,03

I

n

), kvadrat struje praznog hoda obično 

je toliko malen to se gubici u bakru 

primarnog namota mogu zanemarit u odnosu na gubitke u željezui: 

0

2

0

1

10









I

R

q

P

Cu

(11.1.7) 

Kod  transformatora  manjih  snaga,  gde  je  udeo  struje  praznog  hoda  u  odnosu  na  nazivnu  primarnu  struju 
znatno veći, navedene gubitke treba uzeti u obzir, a kod transformatora velike snage oni su zanemarivo mali 
u odnosu na gubitke u gvožĎu (iznose 1,5 - 2% gubitaka u željezu), te praktično vredi da je: 

Fe

P

P



0

(11.1.8) 

Sl. 11.1.3 

– Krakteristike praznog hoda transformatora  

40 / 68

Ako  se  ima  u  vidu  da  se  impedansa   

Z

m

u  grani  magnećenja  na  ekvivalentnoj  šemi  sa 

Sl.11.1.1b

može 

izraziti u obliku: 

m

m

m

jX

R

Z





(11.1.9) 

Tada se gubici praznog 

hoda mogu iskazati jednačinom: 





m

m

m

Fe

m

m

0

R

R

R

R

R

P

I

R

q

I

R

R

q

P

























)

(

;

1

1

2

0

2

0

1

(11.1.10) 

Faktor  snage  praznog  hoda  transformatora  izračunava  se  na  osnovu  izmerenih  vrednosti  snage  i  srednjih 
vrednosti faznih napona i struja praznog hoda: 

0

0

0

0

cos

I

U

q

P









(11.1.11) 

Iz jednačine (11.1.2) može se izračunati impedansa magnećenja 

Z

m

: 

0

0

0

'

20

12

0

21

'

20

I

U

I

U

m

I

m

U

Z

m











(11.1.12) 

N

akon toga moguće je se izračunati otpor magnećenja 

R

m

koji odgovara gubicima snage u gvožĎu: 

0

cos







m

m

Z

R

(11.1.13) 

Kao i 

reaktansu magnećenja: 

0

2

2

sin











m

m

m

m

Z

R

Z

X

(11.1.14) 

Na

  Sl.11.1.3b 

prikazana  je  promena

impedanse  magnećenja 

Z

m

  i 

otpor  magnećenja 

R

m

  u  funkciji  napona 

praznog hoda. Sa slike je vidljivo da date veličine jako zavise od zasićenja magnentog kola transformatora. 

Gubici  praznog  hoda  transformatora

,  odnosno  gubici  u  željezu,  su  mali  u  poreĎenju  sa  nazivnom  snagom 

transformatora i oni ne za

vise o opterećenju transformatora. Oni su prisutni svo vreme dok je transformator 

priključen na mrežu, nezavisno o tome da li je transformator opterećen ili u praznom hodu. Za stalni pogon 
transformatora poznavanje 

tih gubitaka veoma je važno. S druge strane, električna energija se u prenosu od 

izvora do potro

šača transformiše nekoliko puta, te ako ne provedemo mere za ograničavanje gubitaka, oni 

mogu vrlo nepovoljno delovati na elektroenergetski sistem. 

42 / 68

Sl. 11.2.1 

– Principijelna šema spoja trafoa u kratkom spoju (a), ekvivalentna šema (b) i vektorski dijagram 

transformatora u kratkom spoju (e i f) 

Rad  transformatora  u  režimu  kratkog  spoja  pri  sniženom  naponu  može  se  opisati  pomoću  već  ranije 
definisanih osnovnih jednačina transformatora (11.1), koje sada postaju oblika: 

1k

1

0k

m

1k

1

1k

1

I

Z

I

Z

I

Z

E

U

k











(11.2.1) 

k

m

I

Z

m

I

Z

I

Z

E

0

21

2k

2

2k

2

2k

0

0

















(11.2.2)

'
2

1

0

k

k

k

I

I

I





(11.2.3) 

Shodno uslovima neophodnim za režim rada transformatora u kratkom spoju pri sniženom naponu prikazana 
je  adekvatna  ekvivalentna  šema  transformatora  (

Sl.11.2.1b,c

) 

iz  koje  se  može  odrediti  ekvivalentna 

impedansa kratkog spoja: 

m

m

'
2

'
2

m

m

'
2

m

'
2

1

1

k

1

1k

k

;

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

I

U

I

U

z

n

s

k





















(11.2.4)  

Kako je impedansa magnećenja 

Z

m

znatno veća od impedanse sekundara 

Z

2

  (nekoliko  stotina  puta),  to se 

impedansa primara 

Z

2

 u broiocu izraza (11.2.4) 

može zanemariti, te se dobija konačan izraz za ekvivalentnu 

impedansu kratkog spoja: 

k

k

jX

r

X

X

j

R

R

Z

Z

z

















)

(

)

(

'

2

1

'

2

1

'
2

1

k





(11.2.5)  

43 / 68

gde veličine 

2

2

12

1

2

2

12

1

'

2

1





X

m

X

X

R

m

R

R

R

r

k

k

















(11.2.6) 

predstavljaju ekvivalentni omski otpor kratkog spoja i ekvivalentnu reaktansu kratkog spoja usled rasipanja. 

Na osnovu gore navedenih jednačina nacrtan je vektorski  dijagram električnih sila transformatora u režimu 
kratkog  spoja  pri  sniženom  naponu  (

Sl.11.2.1d

).  U  cilju  poreĎenja,  na 

Sl.11.1.1c

    je  prikazan  i  vektorski 

dijagram električnih sila transformatora u normalnom režimu rada.  

Ako  se  dijagram  električnih  sila  sekundara  svedenih  na  primar  (

Sl.11.2.1d

)  obrne  za  180

o

  onda  se  ems 

sekundara  svedena  na  primar 

E’

2

    poklopi  sa  kontra  ems  primara

 E

1

, te se dobije dijagram električnih sila 

kao na 

Sl.11.2.1e

. Sa 

Sl.11.2.1e

 se vidi da su fazori elektrootpornih sila i elektromotornih sila usled rasipanja 

meĎusobno  paralelni  jer  su  struje  primara  i  sekundara  u  režimu  kratkog  spoja  meĎusobno  u  opoziciji 
(zanemarena  je  struja  megnetiziranja).  Time  se  praktično  dobija  trougao  kratkog  spoja  električnih  veličina, 
odnosno trou

gao kratkog spoja impedansi ili trougao kratkog spoja napona, u zavisnosti šta se razmatra. 

Ogled  kratkog  spoja  transformatora 

pri  sniženom  naponu  izvodi  se  u  skladu  sa  tačkom 

11.4

  standarda  

IEC 60076-1/2011. Ogled kratkog spoja transformatora pri 

sniženom naponu izvodi se tako što se stezaljke 

sekundara  transformatora kratko spoje, a  primar  se  napaja 

sniženim naponom tolikog iznosa da namotima 

proteku  nazivne  struje  (

Sl.11.2.2a

).  Shodno 

tački 

11.4

  standarda  IEC  60076-1/2011 

mjerenja  električnih 

veličina u režimu kratkog spoja se moraju izvesti brzo, tako da ne bi nastale značajnije greške mjerenja zbog 
porasta temperature. Razlika temperatura ulja pri vrhu i dnu kotla mora biti dovoljno mala da se može tačno 
odrediti srednja temperatura namota transformatora. 

Niženaponska  strana  transformatora  priključena  je  na  sekundare  tri  jednofazna  regulaciona  ispitna 
transformatora  (čiji  su  su  primarni  namoti  meĎusobno  spojeni  u  trougao  i  priključeni  na  mrežu),  dok  je 
višenaponska  strana  transformatora  kratkospojena  (

Sl.11.2.2a

).

Na  sekundarnim  namotima  regulacionih 

transformatorima vrši se podizanje

napona sve do dok kroz niženaponske namote transformatora u kratkom 

spoju ne protekne naznačena struja. 

Kratak spoj namota transformatora izvodi se što kraćim i debljim kablom ili profilnim bakrom. U slučaju velikih 
transformatora omski otpor kratkospojn

e veze se ne može zanemariti jer je usporediv s otporom namota, te 

je nužno obaviti korekciju njegovih gubitaka (otpora). Što je niži napon sa namota na kome se izvodi kratak 
spoj i što je veća snaga transformatora, to su manje vrednosti impedance, te je neophodno paziti da izvedba 
kratkog spoja bude što bolja i da kratkospojnik ima što manji otpor. 

U kratkosp

ojenom namotu se ne vrše merenja jer otpori ampermetara i strujnih grana watmetara mogu biti 

znatni u odnosu na impedansu transformatora, što bi dovelo do pogrešnih rezultata merenja. 

Prije  izvoĎenja  ogleda  kratkog  spoja  neophodno  je  izvršiti  merenje  omskih  otpornosti  namota  primara  i 
sekundara primenonom jednosmerne struje. 

Tokom ogleda kratkog spoja transformatora mere se sledeći električni parametri: 



napon napajanja 

U

ks

pri kojm se postiže nazivna struja u primarnom namotu pri kratkospojenom 

sekundaru

,



struja primarnog namota pri kratkospojenom sekundaru (

I

1k

 =

I

1n

), 



snaga koju transformator uzima iz mreže u režimu kratkog spoja  – snaga kratkog spoja  

P

k

.



Da bi dobili pravu sliku o prilikama u jezgru transformatora kao i meĎusobnim zavisnostima pojedinih 
električnih veličina u režimu kratkog spoja transformatora pri sniženom naponu nije dovoljno izvršiti 
samo merenje sniženog napona pri kojem kroz niženaponski namot protekne nazivna struja 

I

1n

  pri 

kratkospojenom  višenaponskom  namotu,  već  je  poželjno  snimiti  nekoliko  vrednosti  sniženog 
napona,  obično  u  opsegu  (0,8  -  1,1)

I

1n

.  Sa  tako  dobivenim  podacima  merenja  može  se  nacrtati 

karakteristike  kratkog  spoja: 

I

k

  = 

f

1

(

U

k

)

, 

P

k

= 

f

2

(

U

k

)

i  cosφ

k

  = 

f

3

(

U

k

)

,  čiji  su  graficii  prikazni    na 

Sl.11.2.2b.

45 / 68

će temperature namota ostati praktički konstantna. Time se postiže ujednačen iznos otpora namota pri svim 
izmerenim iznosima struje.  

Kod  trofaznih  transformatora  zbog 

različitih  dužina  magnetnog  kola  pojedinih  faza  razlikuju  se  i  magnetni 

otpori jezgra, 

zbog čega će kroz svaku od njih proticati različite vrednosti kratkospojnih struja. Zbog toga se 

struja kratkog spoja 

izračunava kao srednja aritmetička vrednost pokazivanja ampermetara u sve tri faze: 

n

ks

kC

kB

kA

sr

1k

I

I

I

I

I

I

1

1

1

1

3











(11.2.7) 

Srednja vrednost 

napona pri kojima se postiže željene vrednosti struje kratkog spoja izračunava kao srednja 

ar

itmetička vrednost pokazivanja voltmetara (fazne vrednosti) u sve tri faze: 

ks

k

kC

kB

kA

sr

1k

U

U

U

U

U

U











1

1

1

1

3

(11.2.8) 

Kod trofaznih transformatora gubici snage kratkog spoja su zbir pokazivanja vatmetara u sve tri faze: 

3

kC

kB

kA

k

P

P

P

P







(11.2.8) 

Iz ogleda kratkog spoja transformatora mogu se odrediti sl

edeći parametri: 



ekvivalentna impedansa kratkog spoja 

Z

k

=U

ks

/I

ks

,



faktor snage

 cos

φ

k  

u kratkom spoju, 



napon kratkog spoja 

u

k

= U

ks

/U

1n

,

Na osnovu izmerenih vrednosti sniženog faznog napona kratkog spoja 

U

ks

 i struje kratkog spoja 

I

ks

može se 

izračunati ekvivalentna impedansa kratkog spoja: 

n

s

k

ks

s

k

k

1k