Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
7.
NEODREDJENI INTEGRALI
7.1 Opcenito o integralu i pravilima integriranja
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Integriranje je inverzna racunska operacija od deriviranja.
Integrirati funkciju
znaci odrediti primitvnu funkciju
funkcije
.
jer je
C je konstanta integracije.
x
f x
F x
f x
f x dx
F x
C
D F x
C
f x
=
+
+
=
∫
Pravila in
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
'
:
1.
0
2.
1
3.
4.
; za sve racionalne brojeve;
1.
1
5.
6.
7.
1
8.
za s
1
n
n
n
n
dx
C
dx
x C
a dx ax C
x
x dx
C
n
n
a f x dx a f x dx
f x
g x dx
f x dx
g x dx
f x
g x dx
f x dx
g x dx
f x
f x dx
f x
C
n
+
+
=
= +
=
+
=
+
≠ −
+
=
+
=
+
−
=
−
=
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
tegriranja
( )
(
)
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
'
'
'
ve racionalne brojeve;
1
9.
metoda
supstitucije
10.
;
metoda
parcijalne integracije
11.
Metoda parcijalni razlomaka
n
f g x g x dx
f u du
u dv uv
v du
f x g x dx
f x g x
f x g x dx
≠ −
=
=
−
⇔
=
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
( )
(
)
(
)
( )
( )
1
8
8
7
7
1
3
3
:
1.
0
0
0
2.
1 1
1
3.
7
7
7
7
4.
1
8
8
5.
5
5
x
x
x
n
n
x
dx
C
dx
C
D C
dx
x C
dx
x C
D x C
a dx ax C
dx
x C
D
x C
x
x
x
x dx
C
x dx
C
D
C
x
n
a f x dx a f x dx
xdx
x dx
+
=
⇒
=
⇔
=
= +
⇒
= + ⇔
+
=
=
+
⇒
=
+ ⇔
+
=
=
+
⇒
=
+ ⇔
+
=
+
=
⇒
=
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Primjeri primjene pravila integriranja
1
1
4
3
3
15
5
1
4
1
3
x
C
x
+
+ =
+
+
∫
C
Neodredjeni integrali
1
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
4
1
3
3
3
3
2
2
2
4
2
3
3
4
2
3
'
15
5
4
6.
7
7
7
7
3
3
7.
3
5
3
5
3
5
4
2
3
5
3
5
4
2
1
8.
x
x
x
n
D
x
C
x
f x
g x dx
f x dx
g x dx
x
x
x
dx
x dx
dx
x C
D
x C
x
f x
g x dx
f x dx
g x dx
x
x
x
x dx
x dx
xdx
C
x
x
D
C
x
x
f x
f x dx
n
+
=
+
=
+
+
=
+
=
+
+ ⇔
+
+
=
+
−
=
−
−
=
−
=
−
+
−
+
=
−
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
7
( )
( )
(
)
( )
( )
1
5
6
3
2
3
6
5
3
3
2
'
2
2
2
za sve racionalne brojeve;
1
1
1
1 1
7
7
3
6 3
1 1
1
7
7
6 3
3
9.
metoda
supstitucije
sin
sin
1
2
2
n
x
f x
C
n
x
x dx
x
C
D
x
x
x
f g x g x dx
f u du
u
x
x
x dx
x
x
du
x
xdx
du
+
+
≠
+
+
=
+
+
+
=
+
=
=
=
⇒
=
⇒
=
∫
∫
∫
∫
−
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
N N
(
)
2
2
'
'
1
1
1
1
sin
cos
cos
cos
sin
2
2
2
2
10.
1
ln
1
ln ln
1
ln
ln
ln
ln
1 ln
x
u
dv
x
dx
u du
u
C
x
C
D
x
C
x
x
u dv uv
v du
f x g x dx
f x g x
f x g x dx
u
x
du
dx
x dx
x x
x
dx
x
x
dv dx
v
x
x
x x
x
dx x
x x C
D x
x x C
x
x
x
x
=
−
+ = −
+ ⇔
−
+
=
=
−
⇔
=
−
=
→
=
=
⇒
⋅ −
⋅
=
→ =
⋅ −
⋅
=
− + ⇔
− +
=
+ − =
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2
11.
Metoda parcijalnih razlomaka - opsirnije objasnjeno u nastavku
Neodredjeni integrali
2
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
7.2 Neodredjeni integral razlomljene racionalne funkcije
Integral razlomljene racionalne funkcije je naj rajrasireniji integral i pojavljuje se u vise razlicitih
oblika, zavisno o stupnju potencije u brojniku i nazivniku izraza. Integrala ima opci oblik:
I
≡
( )
( )
( )
( )
gdje su
i
polinomi -og stupnja.
Posto potencija polinoma u brojniku i nazivniku moze poprimati razlicite vrijednosti, pojavljuju
se razlicite kombinacije razlomljene racionalne funkcije,
P x
dx
P x
Q x
n
Q x
∫
koje su razmotrene u nastavku, svaka
posebno.
( )
( )
3
2
2
2
2
2
1
3
4
3
4
4
1.
3
4
3
4
1
1
1
3
4
4 tan
Podijelili smo razlomak. Postupak djeljenj
2
x
x
x
I
dx
x
dx
xdx
dx
dx
x
x
x
x
I
x
−
≡
−
+
≡
=
− +
=
−
+
+
+
+
≡
−
+
⇒
∫
∫
∫
∫
∫
∫
n
n
P x
Integral je oblika : I
dx potencija brojnika je veca od potencije nazivnika
Q x
(
) (
)
3
2
2
2
3
2
3
2
3
2
a prikazan je u
srednjoskolskoj matematici u dijelu "Polinomi":
4
3
4
3
1
3
4 i ostatak 4 odnosno
1
2
7
4
2
1 2
7
4
2
1
2
4
5
2.
2
3
3
2
3
2
2
3
2
2
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
I
dx
dx
x
x
x
x
I
−
+
÷
+ =
−
+
+
+
+
+
+
+
≡
=
=
+
−
+
+
+
+
≡
∫
∫
∫
dx
( )
(
)
3
2
3
2
3
2
3
2
2
4
1
1
5
1 2
3
2
2
2
3
3
2
2
2
2
3
2
2
3
2
4
5
Djeljenje daje rezultat: 2
7
4
2
2
3
2
3
2
2
x
x
x
dx
dx
x dx
dx
x
x
x
C
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
−
+
=
+
−
+
+
+
+
+
+
÷
+
=
+
−
+
+
∫
∫
∫
∫
5ln
+
( )
(
)
( )
1
1
2
2
2
2
2
1
1
5
3.
tan
tan
10
30
5
5
5
5
dx
dx
du
u
x
I
C
a
a
x
x
u
a
x
−
−
≡
+
≡
=
≡
=
=
+
+
+
+
+
∫
∫
∫
∫
2
1
Integral je oblika I
dx nazivnik je kvadratna funkcija
Q x
+
Neodredjeni integrali
4
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
(
)
(
)
(
)
( )
2
2
2
2
2
2
5
1
1
2
2
2
Nadopunimo izraz na potpuni kvadrat i primijenimo poznati integral kao rjesenje:
10
30
2 5 25 25 30
5
5
5
5
3
1
1
1 3
4.
tan
tan
3
3
3
2
5
14
1
14
3
9
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
dx
u
I
a
a
x
x
x
+
−
−
+
+
=
+
⋅ +
−
+
=
+
+ =
+
+
≡
=
≡
=
−
+
−
+
∫
∫
2
1
2
2
2
2
2
2
1
3
1
3
14
1
3
1
tan
14
14
1
2
5
1
1
1
1 15
1
1
14
3
2
5
2
3
3
3
3
3
9
9
3
3
9
3
x
x
I
C
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
=
−
≡
+
−
+ =
−
+
=
−
⋅ +
− +
=
−
+
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
2
1
5.
tan
tan
2
3
3
2
2
5
1
3
2
2
5
1 1 1 10
1
3
2
2
5 2
2
2
2
2
2
4 4
4
2
2
6.
7
12
x
dx
dx
u
x
I
C
a
a
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
dx
I
x
x
x
−
−
+
+
≡
=
≡
=
+
+
+
+
+
+
+ =
+ +
=
+
⋅ + − +
=
+
+
≡
=
−
+
−
∫
∫
2
2
7 1
1
1
2 2
ln
ln
ln
1
7
1
2
3
7
1
2
2
2
2
2
2
x
u a
x
C
a
u a
x
x
− −
−
−
≡
=
=
+
−
⋅
− +
−
∫
∫
4
+
2
2
2
2
2
2
7
2
7
49 49
48
7
49 1
7
1
7
12
2
2
2
4
4
4
2
4
4
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
+
=
−
+
−
+
=
−
+
−
=
−
−
Neodredjeni integrali
5
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
(
)
2
2
8
6
x
=
−
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
11.
ln
2
1 3
2
3
1
4
4
1
3
3
1
ln
4
4
4
2
1
3
3
9
9
8
3
1
1 3
2
2
2
2
2
2 2
4 16 16 16
4
4
1
12.
5
4
5
2
5
dx
dx
I
u
u
x
x
x
I
x
x
C
x
x
x x
x
x
x
dx
dx
I
x
x
x
≡
=
≡
+
−
=
−
+
−
−
≡
− +
−
−
+
−
+
=
−
+
=
−
⋅ +
−
+
=
−
−
≡
=
+
+
∫
∫
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
ln
2
5
1
2
2
2
ln
5
5
5
5
4
2
4
4
2
2
4
5
5
5
2
5
5
5
25 25
5
5
1
1
4
13.
sin
4
4
5
25 16
5
4
25
25 16
16
u
u
a
I
x
x
C
x
x
x
x
x
x
x
dx
dx
du
x
I
C
x
a
u
x
x
−
≡
+
−
=
−
≡
+ +
+
−
+
+
=
+
=
−
⋅ +
−
=
−
−
≡
=
≡
=
+
−
−
−
−
=
∫
∫
∫
∫
∫
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5
16
16
4
1
14.
ln
2
4
4
5
1
1
2
1
1
1
ln
1
2
2
2
1
1 1
5
1
4
4
5 4
2
4
1
2
4 4
4
2
x
x
dx
dx
I
u
u
a
x
x
x
I
x
x
C
x
x
x
x
x
−
=
−
≡
=
≡
+
−
=
−
+
−
−
≡
− +
−
−
+
−
+ =
−
+ − +
=
−
−
∫
∫
Neodredjeni integrali
7
