6 Neodre
ž
eni integrali
39
6
Neodre
ž
eni integrali
Funkcija
F
(
x
) na intervalu (
a, b
)
∈
R
je
primitivna
ili
prvobitna
funkcija
funkcije
f
(
x
), ako je
∀
x
∈
(
a, b
)
F
0
(
x
) =
f
(
x
)
.
Primer 38
Funkcija
F
(
x
) = sin
x
je primitivna funkcija funkcije
f
(
x
) = cos
x
na
(
−∞
,
+
∞
)
, jer je
F
0
(
x
) = (sin
x
)
0
= cos
x
=
f
(
x
)
.
Primetimo da su, na primer, i funkcije
sin
x
+ 5
,
sin
x
−
3
i
sin
x
+
√
π
tako
ž
e
primitivne funkcije za
cos
x
na
(
−∞
,
+
∞
)
, jer je i
(sin
x
+ 5)
0
= (sin
x
−
3)
0
= (sin
x
+
√
π
)
0
= cos
x.
Iz prethodnog primera vidi se da primitivna funkcija nije jednoznaˇ
cno odre
ž
ena.
Teorema 9
Ako je
F
(
x
)
primitivna funkcija funkcije
f
(
x
)
na
(
a, b
)
i
C
∈
R
bilo koji realan broj, tada je i
F
(
x
) +
C
primitivna funkcija funkcije
f
(
x
)
na
(
a, b
)
.
Dokaz 7
Na osnovu osobina izvoda dobijamo
[
F
(
x
) +
C
]
0
=
F
0
(
x
) =
f
(
x
)
Skup svih primitivnih funkcija funkcije
f
(
x
) zove se
neodre
ž
eni integral
funkcije
f
(
x
) i oznaˇ
cava se sa
Z
f
(
x
)
dx
pri ˇ
cemu
f
(
x
) predstavlja
podintegralnu funkciju
ili
integrand
a
f
(
x
)
dx
pod-
integralni izraz
. Ako je
F
(
x
) primitivna funkcija funkcije
f
(
x
) onda je
Z
f
(
x
)
dx
=
{
F
(
x
) +
C
|
C
∈
R
}
.
Uobiˇ
cajeno je da se piˇse
Z
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
) +
C
Z
f
(
x
)
dx
0
=
f
(
x
)
6.1
Osobine neodre
ž
enih integrala
40
6.1
Osobine neodre
ž
enih integrala
1.
d
(
R
f
(
x
)
dx
) =
d
(
F
(
x
) +
C
) =
F
0
(
x
)
dx
=
f
(
x
)
dx
2.
R
dF
(
x
) =
R
F
0
(
x
)
dx
=
F
(
x
) +
C
3.
R
kf
(
x
)
dx
=
k
R
f
(
x
)
dx, k
∈
R
Kako je, na osnovu osobina diferencijala,
d
[
kF
(
x
)] =
kdF
(
x
)
to je
R
kf
(
x
)
dx
=
R
kdF
(
x
) =
R
dkF
(
x
) =
kF
(
x
) +
C
=
k
[
F
(
x
) +
C
1
] =
k
R
f
(
x
)
dx.
4.
R
[
f
(
x
) +
g
(
x
)]
dx
=
R
f
(
x
)
dx
+
R
g
(
x
)
dx
Neka je
R
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
) +
C
i
R
g
(
x
)
dx
=
G
(
x
) +
C.
R
[
f
(
x
)+
g
(
x
)]
dx
=
R
[
f
(
x
)
dx
+
g
(
x
)
dx
] =
R
[
dF
(
x
)+
dG
(
x
)] =
R
d
[
F
(
x
)+
G
(
x
)] =
F
(
x
) +
G
(
x
) +
C
=
R
f
(
x
)
dx
+
R
g
(
x
)
dx
6.2
Tablica integrala elementarnih funkcija
1.
R
x
α
dx
=
x
α
+1
α
+1
+
C, α
6
=
−
1
R
1
x
= ln
|
x
|
+
C, α
=
−
1
2.
R
a
x
dx
=
a
x
ln
a
+
C, a >
0
, a
6
= 1
R
e
x
dx
=
e
x
+
C, a
=
e
3.
R
dx
a
2
+
x
2
=
1
a
arctg
x
a
+
C, a
6
= 0
R
dx
1+
x
2
= arctg
x
+
C, a
= 1
4.
R
dx
a
2
−
x
2
=
1
2
a
ln
|
a
+
x
a
−
x
|
+
C, a
6
= 0
R
dx
1
−
x
2
=
1
2
ln
|
1+
x
1
−
x
|
+
C, a
= 1
5.
R
dx
√
a
2
−
x
2
= arcsin
x
a
+
C, a
6
= 0
R
dx
√
1
−
x
2
= arcsin
x
+
C, a
= 1
6.
R
dx
√
x
2
±
a
2
= ln
|
x
+
√
x
2
±
a
2
|
+
C, a
6
= 0
R
dx
√
x
2
±
1
= ln
|
x
+
√
x
2
±
1
|
+
C, a
= 1
7.
R
sin
xdx
=
−
cos
x
+
C
6.3
Osnovne metode integracije
42
i konaˇ
cno
Z
udv
=
uv
−
Z
vdu.
Funkcije
u
i
v
moraju biti diferencijabilne, a za
udv
i
vdu
moraju postojati
integrali.
Primer 40
Z
x
2
ln
xdx
=
x
3
3
ln
x
−
Z
x
3
3
1
x
dx
=
x
3
3
ln
x
−
x
3
9
+
C
Pri tome smo koristili
u
= ln
x, dv
=
x
2
dx, v
=
Z
dv
=
Z
x
2
dx
=
x
3
3
, du
=
1
x
dx.
6.3.3
Metoda smene nezavisno promenljive
Neka je funkcija
x
=
ϕ
(
t
) definisana i neka ima neprekidni izvod
ϕ
0
(
t
) na
nekom intervalu [
α, β
], i neka je pri tome njen antidomen [
a, b
]. Konaˇ
cno,
neka postoji inverzna funkcija
ϕ
−
1
: [
a, b
]
→
[
α, β
]. Ako je
f
(
x
) neprekidna
na [
a, b
] tada je
Z
f
(
x
)
dx
=
Z
f
[
ϕ
(
t
)]
ϕ
0
(
t
)
dt.
Naime, diferenciranjem izraza na desnoj strani po
x
, imaju´
ci pri tome u vidu
pravila za diferenciranje sloˇ
zene i inverzne funkcije, dobijamo
(
Z
f
[
ϕ
(
t
)]
ϕ
0
(
t
)
dt
)
0
x
= (
Z
f
[
ϕ
(
t
)]
ϕ
0
(
t
)
dt
)
0
t
·
dt
dx
=
f
[
ϕ
(
t
)]
ϕ
0
(
t
)
·
1
ϕ
0
(
t
)
=
f
[
ϕ
(
t
)] =
f
(
x
)
.
Primer 41
Z
tg
xdx
=
Z
sin
x
cos
x
dx
=
−
Z
dt
t
=
−
ln
|
t
|
+
C
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
pri ˇ
cemu smo koristili smenu
cos
x
=
t,
−
sin
xdx
=
dt.
Efikasnost smene nezavisno promenljive zavisi´
ce od toga kakva funkcija
ϕ
(
t
)
je odabrana, odnosno da li je integral na desnoj strani formule za smenu
promenljivih jednostavniji za izraˇ
cunavanje od integrala na levoj strani.
6.4
Integrali sa kvadratnim trinomom
ax
2
+
bx
+
c
43
6.4
Integrali sa kvadratnim trinomom
ax
2
+
bx
+
c
Prilikom reˇsavanja nekih tipova integrala koji sadrˇ
ze kvadratni trinom
ax
2
+
bx
+
c
(
a
6
= 0) najpre je potebno ovaj trinom svesti na kanoniˇ
cki oblik,
na slede´
ci naˇ
cin
ax
2
+
bx
+
c
=
a
[
x
2
+
a
b
x
+
c
a
] =
a
[
x
2
+ 2
b
2
a
x
+
b
2
a
!
2
+
c
a
−
b
2
a
!
2
] =
a
x
+
b
2
a
!
2
+
c
a
−
b
2
4
a
2
!
=
a
x
+
b
2
a
!
2
±
k
2
gde je
±
k
2
=
c
a
−
b
2
4
a
2
=
4
ac
−
b
2
4
a
2
. Znak ispred
k
2
je pozitivan ako je 4
ac
−
b
2
pozitivno, a negativan ako je 4
ac
−
b
2
negativno, odnosno zavisi od toga da
li trinom
ax
2
+
bx
+
c
ima realne ili kompleksne korene. Tako
ž
e je mogu´
ce i
da bude
k
= 0.
Prvi tip integrala sa kvadratnim trinomom je
I
1
=
Z
dx
ax
2
+
bx
+
c
=
Z
dx
a
x
+
b
2
a
2
±
k
2
=
Z
dt
a
(
t
2
±
k
2
)
Ovaj integral se dalje svodi na jedan od slede´
ca dva integrala
Z
dt
a
(
t
2
+
k
2
)
=
1
a
·
1
k
arctg
t
k
+
C,
4
ac
−
b
2
>
0
Z
dt
a
(
t
2
−
k
2
)
=
−
Z
dt
a
(
k
2
−
t
2
)
=
−
1
a
·
1
2
k
ln
k
+
t
k
−
t
+
C,
4
ac
−
b
2
<
0
.
Primer 42
Z
dx
2
x
2
+ 8
x
+ 20
=
1
2
Z
dx
x
2
+ 4
x
+ 10
=
1
2
Z
dx
(
x
+ 2)
2
+ 6
=
1
2
·
1
√
6
arctg
x
+ 2
√
6
+
C
Z
dx
2
x
2
+ 8
x
+ 4
=
1
2
Z
dx
x
2
+ 4
x
+ 2
=
1
2
Z
dx
(
x
+ 2)
2
−
2
=
−
1
2
·
1
2
√
2
ln
√
2 +
x
+ 2
√
2
−
x
−
2
+
C.
Slede´
ci tip integrala je
I
2
=
Z
Ax
+
B
ax
2
+
bx
+
c
.
6.4
Integrali sa kvadratnim trinomom
ax
2
+
bx
+
c
45
Z
dx
√
−
x
2
−
2
x
+ 3
=
Z
dx
√
−
x
2
−
2
x
−
1 + 4
=
Z
dx
q
4
−
(
x
+ 1)
2
=
1
2
Z
dx
q
1
−
(
x
+1
2
)
2
= arcsin
x
+ 1
2
+
C
Slede´
ci tip integral svodi se na predhotni (
I
3
) na isti naˇ
cin na koji se
integral tipa
I
2
svodi na integral tipa
I
1
I
4
=
Z
Ax
+
B
√
ax
2
+
bx
+
c
=
Z
A
·
2
a
2
a
·
x
+
A
·
b
2
a
+
B
−
A
·
b
2
a
√
ax
2
+
bx
+
c
dx
=
A
2
a
Z
2
ax
+
b
√
ax
2
+
bx
+
c
dx
+
B
−
A
·
b
2
a
!
Z
dx
√
ax
2
+
bx
+
c
=
=
A
a
√
ax
2
+
bx
+
c
+
B
−
A
·
b
2
a
!
I
3
Primer 45
Z
5
x
−
3
√
2
x
2
+ 8
x
+ 20
dx
=
Z
5
4
(4
x
+ 8) + (
−
3
−
5
·
8
4
)
√
2
x
2
+ 8
x
+ 20
dx
=
5
4
Z
4
x
+ 8
√
2
x
2
+ 8
x
+ 20
dx
−
13
Z
dx
√
2
x
2
+ 8
x
+ 20
dx
=
5
2
√
2
x
2
+ 8
x
+ 20
−
13
·
1
√
2
ln
|
x
+ 2 +
√
x
2
+ 4
x
+ 10
|
+
C
Poslednji tip integrala sa kvadratnim trinomom ima slede´
ci oblik
I
5
=
Z
√
ax
2
+
bx
+
cdx.
I za ovaj integral razmotri´
cemo dva sluˇ
caja, kada je
a >
0 i kada je
a <
0,
pri ˇ
cemu treba naglasiti da je postupak reˇsavanja u oba sluˇ
caja gotovo isti.
Posmatra´
cemo najpre sluˇ
caj kada je
a >
0. Kao i u prethodnim sluˇ
cajevima,
prvo ´
cemo kvadratni trinom svesti na kanoniˇ
cni oblik, a zatim uvesti smenu,
posle ˇ
cega dobijamo
I
5
=
Z
√
ax
2
+
bx
+
cdx
=
√
a
Z
√
t
2
±
k
2
dt
=
√
aI
gde je
I
=
Z
√
t
2
±
k
2
dt.
