Signali i sistemi

OPŠTI PREGLED I UVOD U TEORIJU SIGNALA I SISTEMA 

Teorija, analiza i projektovanje signala i sistema igraju zna

č

ajnu ulogu u gotovo svim 

oblastima elektrotehnike kao i u mnogim drugim inženjerskim i nau

č

nim oblastima. Mnogi primeri 

elektronskih sistema uklju

č

uju radio i televiziju, telefonske mreže, sonar i radar, navigaciju i 

vo

đ

enje, laboratorijsku instrumentaciju, upravljanje industrijskim procesima, biomedicinsku 

instrumentaciju, daljinsko ili satelitsko osmatranje, komunikacionu inteligenciju, vojno i vatrogasno 
osmatranje, seizmi

č

ku analizu, radio astronomiju i tako dalje. Mnogi primeri mehani

č

kih sistema 

podrazumevaju analizu vibracija, prigušenje oscilacija, mikrofone i hidrofone, zvu

č

nike, mera

č

e 

ubrzanja i tako dalje. Pod 

signalima

podrazumevamo sve ulaze i izlaze, kao i unutrašnje funkcije 

koje ovi sistemi obra

đ

uju ili proizvode, kao što su napon, pritisak, pomeraj ili intenzitet. Uglavnom 

je nezavisna promenljiva ovih funkcija signala vreme, ali ne mora biti. Ponekada je to odstojanje, 
ugao a vrlo 

č

esto, kao što je to na primeru slike, u pitanju dvodimenzioni signal po nezavisnim 

koordinatama dužine. Jednom re

č

ju, zbog velikog broja razli

č

itih vrsta i raznolikosti prirode 

navedenih signala, teško je dati jednu opštu definiciju signala. Nekada se, u nekim od udžbenika 
može na

ć

i iskaz da je 

signal svaki vremenski promenljivi fizi

č

ki fenomen ili pojava  koja sa sobom 

nosi informaciju

.

 Ovaj iskaz je delimi

č

no ta

č

an, jer vrlo 

č

esto pod signalima podrazumevamo i 

funkcije koje za nezavisnu promenljivu nemaju vreme, a ponekada kao signale možemo posmatrati 
i kompleksne funkcije koje nisu u tesnoj vezi sa fizi

č

kim pojavama. Me

đ

utim, ono što svakako jeste 

zajedni

č

ko za sve ono što pod širokim pojmom signala podrazumevamo, je informacija.  

Sa istom težinom, sa kojom je teško definisati raznoliki pojam signala, jeste teško i 

definisati pojam sistema. Intuitivno podrazumevamo da su sistemi oni subjekti (tehni

č

ki, biološki ili 

društveni) koji obra

đ

uju ili proizvode signale. Ovako opšta definicija sistema podrazumeva 

č

itave 

klase ure

đ

aja, struktura, subjekata (veliki broj drugih imenica se može upotrebiti umesto re

č

i 

sistem) kao što su 

društveni sistemi

: kapitalisti

č

ki sistem, socijalisti

č

ki sistem, bankarski sistem, 

parlamentarni sistem, ekonomski sistem, sistem hartija od vrednosti, sistem obrazovanja, sistem 
pravosu

đ

a, pa preko 

tehni

č

kih sistema

: televizijski sistem, satelitski sistem, upravlja

č

ki sistem, 

mikrofonski sistem, kamera, nadzorni sistem, sistem za gašenje požara, sistem za prenos elektri

č

ne 

energije i tako dalje, do 

bioloških sistema

kao što su sistem organa za varenje, sistem žlezda sa 

unutrašnjim lu

č

enjem, nervni sistem, 

č

ulo vida, 

č

ulo sluha, miši

ć

ni sistemi, sistemi za regulaciju 

temperature kod ptica i tako dalje.  
 Dakle, 

mi 

ć

emo se u ovom kursu baviti signalima i sistemima, mada je o

č

igledno da me

đ

u 

njima ima mnogo zajedni

č

kih ta

č

aka i preklapanja. Tradicionalno se ovim oblastima u 

elektrotehnici bave tehnika komunikacija i upravljanja, ali je opet granica izme

đ

u ove dve oblasti 

vrlo nejasna i fluidna. Dok komunikacioni signali moraju biti generisani od strane nekog sistema, 
dotle svaki upravlja

č

ki sistem ima svoj ulazni i izlazni signal. Otuda je osnovna namera ovog kursa 

da predstavi osnovne koncepte i matemati

č

ke alate koji su od koristi za obe navedene oblasti. Kroz 

slede

ć

e pitanje 

ć

emo izvršiti osnovnu karakterizaciju signala i sistema i uvesti terminologiju koja 

ć

e 

nam kroz kasnija poglavlja pomo

ć

i da se lakše razumemo. 

Pitanje 1: Osnovne karakteristike i podele signala i sistema 

Kao prvi primer signala posmatrajmo dijagram prikazan na slici 1.1. On predstavlja 

izmerene padavine u Hidrometeorološkoj stanici ''Kara

đ

or

đ

ev park'' u Beogradu u periodu od 144 

dana. Padavine su merene svakoga dana u ovom periodu i izražene su u milimetrima vodenog stuba. 
Ovakav dijagram (signal padavina) je od velikog zna

č

aja za veliki broj meteorologa jer im on 

pomaže da izvrše vremensku prognozu, inženjera poljoprivrede jer pomo

ć

u njega je mogu

ć

e pratiti i 

predvideti razvoj biljnih kultura, važan je i za inžinjere melioracija jer oni mogu pratiti i predvideti 

nivo voda u rekama i kanalima za navodnjavanje i odvodnjavanje i tako dalje. Ako bi posmatrali 
ovaj dijagram padavina u mnogo dužem periodu, mogla bi se uo

č

iti neka periodi

č

nost u obliku 

signala jer jesen i prole

ć

e obiluju mnogo ve

ć

im padavinama nego zima i leto, zatim bi se lako 

mogle uo

č

iti sušne godine za razliku od vlažnih godina i tako dalje. Do ovih zaklju

č

aka se može 

do

ć

i raznoraznim tehnikama kao što su 

usrednjavanje

, 

filtracija, spektralna analiza 

i sli

č

no. 

Slika 1.1: Dijagram padavina u periodu od 144 dana 

Posmatrajmo sada signal prikazan na slici 1.2 koji predstavlja prose

č

nu vrednost zarade 

zaposlenih van privrede u Republici Srbiji u periodu Januar-Decembar 2004. godine (podaci su 
izmišljeni). 

Slika 1.2: Prose

č

ne zarada zaposlenih tokom 2004. godine 

Ovakvi podaci su zanimljivi za ekonomske stru

č

njake, investitore, bankare i tako dalje, jer govore o 

ekonomskoj mo

ć

i zaposlenih, njihovoj kreditnoj sposobnosti, ali istovremeno i stanju privrede, 

nezaposlenosti i tome sli

č

no. Sa ovog dijagrama se raznoraznim operacijama, kao što je na primer 

metod kona

č

nih razlika, može sra

č

unati da li postoji pove

ć

enje industrijske proizvodnje ili možda 

smanjenje javne potrošnje.  
 Tre

ć

i primer je dijagram koji predstavlja aktivnost suna

č

nih pega na suncu. Na slici 1.3. je 

prikazana ova aktivnost tokom 18 godina merenja. Interesantno je da ova aktivnost na suncu jeste 

 Slede

ć

i primer kontinualnog signala je signal ljudskog glasa. Na slici 1.5 je prikazan audio 

signal koji je izdvojen iz pesme ''White Flag'', peva

č

ice Dido. Ovaj signal je zapravo signal koji 

pokazuje kako se menja i vazdušni pritisak na membranu mikrofona, i otpornost prijemnika u 
mikrofonu (ukoliko je u pitanju mikrofon sa promenljivom otpornoš

ć

u), kao i naponski signal koji 

se generiše kao izlaz iz mikrofona, i uobi

č

ajeno je podvrgnut ograni

č

enju da se mora nalaziti u 

intervalu 

[ ]

. 

1

,

1

−

Slika 1.5: Snimljeni ljudski glas 

Primetimo da je oblik ovog signala prili

č

no periodi

č

an jer se pikovi (izraženi maksimumi) u 

snimljenom glasu pojavljuju sa regularnim vremenskim intervalom. Ova pojava je logi

č

na s 

obzirom da vokalni trakt koji proizvodi glas u ljudskom grlu generiše vibracije koje se periodi

č

no 

ponavljaju. Do sli

č

nih zaklju

č

aka možemo do

ć

i ukoliko posmatramo EKG (elektrokardiogram) rada 

zdravog ljudskog srca. 
 

Postoji mnogo zajedni

č

kih ta

č

aka izme

đ

u kontinualnih i diskretnih signala u vremenu, ali 

zato postoje i mnoge, 

č

esto suštinske razlike me

đ

u njima. Zbog toga 

ć

emo uvek jasno nazna

č

iti o 

kakvom signalu govorimo, i pre nego što bilo koji matemati

č

ki alat za analizu signala primenimo, 

moramo biti sigurni da je to i opravdano. 
 

Osim podele na kontinualne i signale diskretne u vremenu, postoji podela na 

deterministi

č

ke 

i 

stohasti

č

ke

 ili slu

č

ajne signale. Pod determinisit

č

kim signalima podrazumevamo one signale 

č

ija 

se vrednost sa nepogrešivom ta

č

noš

ć

u može predvideti i u dalekoj budu

ć

nosti. Jedan jednostavan 

primer deterministi

č

kih signala jesu signali koji se analiti

č

ki (drugim re

č

ima pomo

ć

u nekog 

matemati

č

kog izraza) definišu. Ako pogledamo signal 

( )

t

x

 definisanog pomo

ć

u slede

ć

e jednakosti 

( )

( )

t

e

t

x

t

4

sin

02

.

0

−

=

 (1.1) 

tada je mogu

ć

e sra

č

unati vrednost ovog signala u bilo kom vremenskom trenutku u budu

ć

nosti. Sa 

druge strane, ako pogledamo signal koji je snimljen kao izlazni napon sa mikrofona u potpunoj 
tišini, vide

ć

e se da postoji signal male snage, koji o

č

igledno nije posledica nekog zvuka, ve

ć

procesa koji postoje svuda oko nas a mi ih ne možemo kontrolisati. Naime termi

č

ko kretanje 

molekula u svakoj materiji, kretanje molekula vazduha koje je zavisno od temperature, kretanje 
elektrona u svakoj provodnoj sredini su primeri takvih pojava, koji se, 

č

esto zbog njihove direktne 

veze sa temperaturom, nazivaju termi

č

kim šumovima. Primer takvog termi

č

kog šuma (napon na 

izlazu iz mikrofona u potpunoj tišini)  je prikazan na slici 1.6. Iako se na njemu prime

ć

uju osobine 

periodi

č

nosti, to nije regularna osobina koja se može predvideti. Vrednost ovog signala u 

budu

ć

nosti se ne može prognozirati ve

ć

 se samo može sa nekom verovatno

ć

om izra

č

unati  interval 

u kome se taj signal može realizovati.  
 

Slika 1.6: Primer termi

č

kog šuma 

Sa druge strane, u kontekstu ovog kursa, pod sistemom 

ć

emo podrazumevati ure

đ

aj, proces 

ili algoritam koji za neki ulazni signal 

( )

t

x

, na svom izlazu generiše izlazni signal 

, kako je to 

prikazano na slici 1.7.  

( )

t

y

Sistem

( )

t

x

( )

t

y

Sistem

( )

t

x

1

( )

t

y

1

( )

t

x

m

#

#

( )

t

y

r

Slika 1.7: Predstava sistema sa jednim ili više ulaza i izlaza 

Za sada podrazumevajmo da nezavisna promenljiva 

t

 može biti i kontinualna i diskretna. Mogu

ć

e je 

da sistem ima i više ulaza i više izlaza, kao što je to prikazano na slici 6. Uobi

č

ajeno je da elektri

č

ni 

kontinualni sistemi (

č

iji su ulazni i izlazni signali kontinualne funkcije vremena) u sebi sadrže 

integratore, diferencijatore, množa

č

e, RLC kola, dok diskretni sistemi (koji operišu sa signalima 

diskretnim u vremenu) imaju kola za kašnjenje, akumulatore umesto integratora, elemente za 
ra

č

unanje kona

č

nih razlika umesto diferencijatora i tako dalje.  

Po svojoj nameni sistemi mogu biti grubo podeljeni u nekoliko grupa. 

Analizatori

su sistemi 

koji izdvajaju željenu informaciju iz signala i prikazuju je korisniku. 

Sintetizatori

, 

sa druge strane, 

generišu željeni izlazni signal na svom izlazu. 

Transdjuseri

ili pretvara

č

i pretvaraju signal iz jedne 

fizi

č

ke forme u drugu (kao što su na primer mikrofoni kaji pritisak na membranu mikrofona 

pretvaraju u naponski signal, ili termo-elementi koji temperaturu pretvaraju u elektri

č

nu otpornost). 

Komunikacioni kanali

 kao što su koaksijalni kablovi, mikrotalasni vodovi, fiberopti

č

ki kablovi 

nose signal sa jedne na drugu lokaciju. 

Filteri

 modifikuju signal na odgovaraju

ć

i na

č

in trude

ć

i se da 

potisnu u

č

iank neželjenih smetnji i šumova. 

Kompenzatori

 su specijalni filtri koji imaju za zadatak 

da izmene neželjene osobine nekih drugi sistema.  
 

Posebnu klasu vrlo važnih sistema 

č

ine sistemi sa povratnom spregom (u engleskoj 

terminologiji se koristi re

č

feedback

 za povratnu spregu) koji se može koristiti u bilo kom od 

gorenavedenih tipova sistema. Struktura sistema sa povratnom spregom je prikazana na slici 1.8. 
 

U nekim udžbenicima se ova funkcija naziva 

Hevisajdovom funkcijom 

 i ozna

č

ava kao 

( )

t

h

. 

Primetimo da jedini

č

na odsko

č

na funkcija ima diskontinuitet za 

0

=

t

 i da definicijom (2) 

( )

0

u

 nije 

ni definisano. Neki autori ovoj funkciji pridružuju u nuli vrednosti 

 ili 

( )

0

0

=

u

( )

1

0

=

u

 ili 

, me

đ

utim primetimo da ni jedna od ovih definicija ne može promeniti diskontinuitet u toj 

ta

č

ki, a sa druge strane sa aspekta gotovo svih analiza efekat je isti.  

( )

5

.

0

0

=

u

 Jedini

č

na odsko

č

na funkcija je vrlo korisna jer se pomo

ć

u nje može definisati 

č

itav skup 

drugih signala. Na primer, pravougaona 

č

etvrtka 

( )

t

p

 prikazana na slici 2.2, se jednostavno može 

predstaviti razlikom dve jedini

č

ne odsko

č

ne funkcije: 

( ) ( ) (

)

0

,

>

−

−

=

T

T

t

u

t

u

t

p

 (2.2) 

Slika 2.2: CT pravougaona 

č

etvrtka 

Primetimo da smo u relaciji (2.2) uveli takozvanu zakašnjenu jedini

č

nu odsko

č

nu funkciju 

(

)

T

t

u

−

koja ima vrednost 0 dok god je 

, odnosno 

0

<

−

T

t

T

t

<

, i koja ima vrednost 1 dok je 

0

>

−

T

t

, 

odnosno 

.  

T

t

>

Jedini

č

na impulsna funkija (Dirakov impuls) 

 Slede

ć

i važan elementarni signal jeste 

jedini

č

ni impuls

, 

č

esto nazivan 

Dirakovim 

impulsom

. Definiše se tako da zadovolji slede

ć

a tri uslova: 

1. 

( )

0

=

t

δ

 za 

0

≠

t

. 

 2. 

( )

t

δ

 nije definisana za 

0

=

t

. (2.3) 

3. 

( )

⎩

⎨

⎧

<

<

=

∫

inace

t

t

je

ako

dt

t

t

t

,

0

0

,

1

2

1

2

1

δ

Na osnovu navedenih osobina možemo intuitivno osetiti da je jedini

č

ni impuls zapravo prvi izvod 

jedini

č

ne odsko

č

ne funkcije. Me

đ

utim, s obzirom da jedini

č

na odsko

č

na funkcije nije 

diferencijabilna za 

, ovakav iskaz matemati

č

ki nije potpuno korektan. Ako bismo se ovim 

problemom pozabavili na rigorozan matemati

č

ki korektan na

č

in, morali bi da se pomognemo 

teorijom generalizovanih funkcija, što prevazilazi okvire ovog kursa. Zato 

ć

emo se zadovoljiti 

slede

ć

im argumentima, koji su sa stanovišta inženjerske prakse sasvim zadovoljavaju

ć

i. Naime, 

posmatrajmo signal 

0

=

t

( )

t

u

~  koji je prikazan na slici 2.3. Jasno je da ovaj signal jeste neka 

aproksimacija jedini

č

ne odsko

č

ne funkcije i da u grani

č

nom slu

č

aju kada 

 ova dva signala 

postaju identi

č

na. Definišimo sada signal 

0

→

∆

( )

t

δ

~

 koji 

ć

e  biti prvi izvod signala 

( )

t

u

~ , odnosno 

( )

( )

dt

t

u

d

t

~

~

=

δ

 (2.4) 

O

č

igledno je da sada signal 

( )

t

δ

~

 postaje aproksimacija Dirakovog jedini

č

nog impulsa i on je 

prikazan slikom 2.4. 

( )

t

u

~

0

∆

1

t

Slika 2.3: Aproksimacija jedini

č

ne odsko

č

ne funkcije 

( )

t

δ

~

0

∆

∆

/

1

t

Slika 2.4: Aproksimacija jedini

č

ne impulsne funkcije (Dirakovog impulsa) 

Primetimo da je površina ispod funkcije 

( )

t

δ

~

 uvek jednaka 1, nezavisno od veli

č

ine parametra 

∆

 i 

da je vrednost signala jednaka nuli van intervala 

∆

≤

≤

t

0

. Kako su zadovoljene relacije: 

( ) ( )

t

u

t

u

=

→

∆

~

lim

0

 (2.5) 

( ) ( )

t

t

δ

δ

=

→

∆

~

lim

0

 (2.6) 

( )

( )

dt

t

u

d

t

~

~

=

δ

 (2.7) 

u tom smislu možemo pisati da je 

( )

( )

dt

t

du

t

=

δ

 (2.8) 

Potpuno ekvivalentno relaciji (9) možemo pisati odgovaraju

ć

u integralnu relaciju 

 (2.9) 

( )

( )

∫

∞

−

=

t

d

t

u

τ

τ

δ

Dalje, dogovorimo se da jedini

č

nu impulsnu funkciju (Dirakov impuls) grafi

č

ki predstavljamo na 

na

č

in koji je prikazan slikom 2.5, pri 

č

emu oznaka ''1'' na slici ne predstavlja vrednost signala u 

Da bi interpretirali proizvod 

 definisan jedna

č

inom (2.10), ponovo se poslužimo 

aproksimacijom Dirakovog impulsa 

( )

t

y

( )

t

δ

~

 i pomo

ć

u njega formirajmo aproksimaciju signala 

( )

t

y

: 

( ) ( ) (

)

0

~

~

t

t

t

x

t

y

−

=

δ

 (2.11) 

Ovi signali su prikazani na slici 2.8. 

( )

t

x

(

)

0

~

t

t

−

δ

t

0

t

∆

+

0

t

0

( )

t

y

~

t

0

t

∆

+

0

t

0

( )

∆

0

t

x

Slika 2.8: Ilustracija aproksimacije proizvoda 

( ) ( ) (

)

0

~

~

t

t

t

x

t

y

−

=

δ

Pretpostavimo da je funkcija 

 neprekidna na intervalu 

( )

t

x

∆

+

≤

≤

0

0

t

t

t

 i da je interval   dovoljno 

mali da možemo pretpostaviti da je signal 

∆

( )

t

x

 približno konstantan u tom intervalu, tako da 

možemo pisati slede

ć

u aproksimaciju 

( ) ( ) (

)

0

0

~

~

t

t

t

x

t

y

−

≈

δ

 (2.12) 

Ova je aproksimacija utoliko ta

č

nija ukoliko je 

∆

 manje, a kako u grani

č

nom slu

č

aju kada 

0

→

∆

funkcija 

(

0

)

~

t

t

−

δ

 konvergira ka funkciji 

(

)

0

t

t

−

δ

, kona

č

no možemo pisati: 

( ) ( ) (

) ( ) (

)

0

0

0

t

t

t

x

t

t

t

x

t

y

−

=

−

=

δ

δ

 (2.13) 

To prakti

č

no zna

č

i da funkcija 

 nije ništa drugo nego Dirakov impuls 

( )

t

y

(

0

t

t

−

)

δ

 skaliran 

vrednoš

ć

u signala 

 u trenutku 

. Ovi signali su ilustrovani na slici 2.9. 

( )

t

x

0

t

t

=

Jednostavna, ali vrlo korisna posledica ovog rezultata jeste slede

ć

a relacija: 

 (2.14) 

( )

( ) (

)

( )

0

0

t

x

dt

t

t

t

x

dt

t

y

=

−

=

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

δ

koja kaže da se integracijom signala 

 po celom skupu nezavisne vremenske promenljive 

t 

može 

dobiti vrednost signala 

( )

t

y

( )

t

x

 u trenutku 

0

t

t

=

. Ova osobina se zove osobina pomeranja impulsne 

funkcije (ili u engleskoj literaturi 

shifting property of the unit impulse

). 

( )

t

x

(

)

0

~

t

t

−

δ

t

0

t

0

( ) ( ) (

)

0

t

t

t

x

t

y

−

=

δ

t

0

t

0

( )

0

t

x

Slika 2.9: Ilustracija proizvoda signala 

( ) ( ) (

)

0

t

t

t

x

t

y

−

=

δ

Eksponencijalni signali 

 Slede

ć

a klasa vrlo važnih kontinualnih signala jeste klasa kompleksnih eksponencijalnih 

signala: 

( )

t

Ae

t

x

λ

=

 (2.15) 

gde u opštem slu

č

aju parametri 

A

 i 

λ

 mogu biti kompleksni brojevi. Ukoliko su ovi parametri 

realni brojevi, onda se signal 

 naziva realnom eksponencijalnom funkcijom ili signalom. 

Ukoliko je realni parametar 

( )

t

x

λ

 pozitivan (slika 2.10) tada se za signal 

 kaže da je 

eksponencijalno rastu

ć

i. Eksponencijalno rastu

ć

a funkcija se koristi vrlo 

č

esto da opiše neke 

prirodne pojave koje su po svojoj prirodi nestabilne. Sa druge strane, ako je realan parametar 

( )

t

x

λ

negativan, tada govorimo o eksponencijalno opadaju

ć

em signalu. Ovakva vrsta signala opisuje 

mnoge stabilne pojave u prirodi, kao što je na primer odziv RC ili RL kola, emisija nuklearnih 

č

estica iz radioaktivnog materijala i tako dalje. U grani

č

nom slu

č

aju kada je parametar 

λ

 jednak 

nuli, signal 

 postaje konstantan. 

( )

t

x

( )

t

A

0

cos

ω

A

0

T

( )

(

)

2

/

cos

sin

0

0

π

ω

ω

−

=

t

A

t

A

A

0

T

(

) (

)

2

/

0

;

cos

0

π

φ

φ

ω

<

<

+

t

A

A

0

Slika 2.11: Realne sinusoide za razli

č

ite vrednosti faze 

φ

Dakle, realna sinusoida se može napisati kao realni deo kompleksne sinusoide 

( )

(

)

{

}

φ

ω

+

=

t

j

Ae

t

x

0

Re

 (2.24) 

ili ekvivalentno 

( )

(

)

(

)

(

)

φ

ω

φ

ω

+

−

+

+

=

t

j

t

j

e

e

A

t

x

0

0

2

 (2.25) 

Parametar 

0

ω

 se naziva kružnom u

č

estanoš

ć

u (ili kružnom frekvencijom) i jedinica u kojoj se 

izražava je radijan u sekundi 

, a parametar 

[

s

rad

/

]

φ

 fazom signala (ili ponekad po

č

etnom fazom) i 

izražava se u radijanima 

[ ]

rad

. Vrlo 

č

esto se kružna u

č

estanost 

0

ω

 predstavlja u formi 

0

0

2

f

π

ω

=

gde je 

 frekvencija ili u

č

estanost i ona se izražava u hercima 

0

f

[ ]

Hz

. Njihova veza se periodom 

sinusoidalnog signala je: 

0

0

1

2

f

T

=

=

ω

π

 (2.26) 

Primetimo da u imeniocima izraza (27) stoje apsolutne vrednosti, jer u generalnom slu

č

aju kružna 

u

č

estonost i frekvencija mogu biti i negativne, dok je po definiciji perioda 

T

 pozitivan realni broj. 

U generalnom slu

č

aju i parametar 

A

 i 

λ

 mogu biti kompleksni brojevi. Ako ih napišemo u 

formi: 

φ

j

e

A

A

=

 (2.27) 

i 

0

ω

λ

j

r

+

=

 (2.28) 

kompleksni sinusni signal postaje 

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

φ

ω

φ

ω

φ

ω

ω

φ

λ

+

+

+

=

=

=

+

+

t

j

t

e

A

e

e

A

e

e

A

Ae

rt

t

j

rt

t

j

r

j

t

0

0

sin

cos

0

0

 (2.29) 

U pore

đ

enju sa izrazom (2.17), izraz (2.29) uvodi takozvani prigušuju

ć

i faktor (u engleskom jeziku 

je to 

damping factor

) 

 koji eksponencijalno raste ako je 

 ili eksponencijalno opada ako je 

. Signal koji sadrži realni deo signala definisanog preko relacije (2.29) glasi 

rt

e

0

>

r

0

<

r

{ }

(

)

φ

ω

λ

+

=

t

e

A

Ae

rt

t

0

cos

Re

 (2.30) 

a njegov oblik je prikazan na slici 2.12 za slu

č

aj pozitivnog i negativnog 

r

. Na ovoj slici su 

isprekidanim linijama prikazane takozvane 

anvelope 

signala 

rt

e

A

±

. Signal koji ima negativno 

r

 se 

u literaturi ozna

č

ava kao prigušena sinusoida i 

č

esto se pojavljuje analizama mehani

č

kih i 

elektri

č

nih sistema. 

Pitanje 3: Modifikacija nezavisne vremenske promenljive 

t

 u kontinualnim 

signalima

Pomeranje signala u vremenu 

Mnoge jednostavne ali važne operacija nad signalima se mogu predstaviti jednostavnom 

modifikacijom vremenske promenljive 

t

 u analiti

č

kim izrazima za signale. Ve

ć

 smo videli da signal 

(

0

)

x t t

−

 nije ništa drugo nego pomeranje signala 

( )

x t

 za vremenski interval  . Ukoliko je 

to je zapravo kašnjenje signala (pomeranje u desno), ukoliko je 

0

t

0

0

t

>

0

0

t

<

 to je takozvano prednja

č

enje 

signala (pomeranje u levo).  Na slici 3.1. ilustrovano je prednja

č

enje i kašnjenje signala. 

(

)

0

x t t

+

(

)

0

x t t

−

( )

x t

0

t

0

t

−

t

Slika 3.1: Ilustracija vremenskog pomeranja signala 

Inverzija vremena 

 Posmatrajmo 

modifikovani 

signal 

( )

( )

y t

x t

=

−

 (3.1) 

Poslednja relacija govori da je, na primer, 

( )

( )

1

1

y

x

=

−

, 

( )

( )

y

x

π

π

=

−

, i tako dalje za sve 

vrednosti nezavisne promenljive 

t

. Primer ovakvih signala je prikazan na slici 2.2. Efekat inverzije 

vremena je najuo

č

ljiviji ukoliko se video traka premotava unazad. 

( )

x t

( )

( )

y t

x t

=

−

t

Slika 3.2: Ilustracija signala sa inverzijom vremena 

Skaliranje vremena

Dalje, posmatrajmo modifikaciju signala na slede

ć

i na

č

in: 

( )

( )

2

y t

x t

=

 (3.2) 

Tada je 

( )

( ) ( )

(

1

2 , 1/ 2

y

x

y

x

=

)

1

=

 i tako dalje, što zna

č

i da je u signalu 

 vreme 

kompresovano i da je signal 

y

 zapravo dva puta ubrzani signal 

x

 (u engleskoj literaturi se za ovakve 

sisteme kaže 

compressed-time signals

). Primer ovih signala je prikazan na slici 3.3. 

( )

y t

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x(t) 

t 

y(t)=x(2t) 

t 

Slika 3.3: Ilustracija skaliranja (kompresije) vremena 

Ukoliko definišemo novi signal 

 na slede

ć

i na

č

in: 

( )

z t

( )

( )

/ 2

z t

x t

=

 (3.3) 

Sada 

ć

e vrednost signala 

 biti jednaka 

( )

1

z

( )

0.5

x

, 

( )

2

z

 biti jednaka 

( )

1

x

 i tako dalje. Drugim 

re

č

ima, posmatrani signal 

z

 biti 'razvu

č

ena' ili usporena verzija signala 

x

. U engleskoj literaturi se za 

ovakve signale koristi termin 

stretched-time signals. 

Primer ovakvih signala dat je na slici 3.4. 

x(t) 

t 

( )

( )

/ 2

z t

x t

=

t

2

−

1

−

0

1

2

3

4

1

Slika 3.6: Signal 

( )

( )

/ 2

z t

x t

=

Sada formirajmo novi, pomo

ć

ni signal 

( ) ( )

(

)

/ 2

q t

z

t

x t

=

− =

−

 koji 

ć

e uklju

č

iti inverziju vremena. 

On se jednostavno dobija od signala 

 tako što se izvrši prosta refleksija u odnosu na oordinatu 

(zbog toga se ponekada ova modifikacija inverzija vremena naziva refleksijom). Ovaj signal je 
prikazan na silici 3.7. Opet nam je kontrolna ta

č

ka 

( )

z t

( )

( )

0

0

q

x

1

=

=

. 

( )

(

)

/ 2

q t

x t

=

−

t

2

−

1

−

0

1

2

3

4

1

3

−

4

−

Slika 3.7: Pomo

ć

ni signal 

( )

(

)

/ 2

q t

x t

=

−

Kona

č

no, treba  izvršiti skaliranje u vremenu da bi dobili željeni signal 

. Ova 

poslednja transformacija se dobija jednostavnim pomeranjem poslednjeg signala 

, ali da bismo 

dobili ta

č

nu informaciju o tome za koliko treba izvršiti pomeranje i u kome pravcu, napišimo signal 

 na slede

ć

i na

č

in: 

( )

(

)

1

/ 2

y t

x

t

=

−

( )

q t

( )

y t

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

1

/ 2

2 / 2

2

y t

x

t

x

t

q t

=

−

=

− −

=

−

. Dakle,  kona

č

ni signal 

( )

y t

 se 

dobija iz signala 

 tako što se on  pomera u desno (dakle signal 

y

 kasni u odnosu na signal 

q

) za 

2 jedinice vremena. Signal 

je prikazan na slici 3.8. 

( )

q t

( )

y t

( )

(

)

1

/ 2

y t

x

t

=

−

t

2

−

1

−

0

1

2

3

1

3

−

4

−

4

Slika 3.8: Kona

č

ni oblik signala 

( )

(

)

1

/ 2

y t

x

t

=

−

I naravno, ponovo možemo proveriti korektnost dobijenog signal vezuju

ć

i se za neke konkretne 

vrednosti vremenskih trenutaka: 

( )

(

)

0

1 0 / 2

1

y

x

=

−

=

, 

( )

(

)

1

1 1/ 2

1

y

x

=

−

=

 i t.d. 

Primer 3.2: 

Zanimljivo je pogledati Dirakov signal u kome je nezavisna vremenska promenljiva 

skalirana koeficijentom 

1/ . Dakle posmatrajmo signal 

a

( )

/

t a

δ

. Ako se setimo uslova koje treba 

da zadovolji Dirakov signal 

( )

t

δ

 vide

ć

emo da ih i signal 

( )

/

t a

δ

 zadovoljava. Naime: 

1.

Signal 

( )

/

t a

δ

=

0

)

 za svako 

, 

0

t

≠

2.

Vrednost 

 nije definisano za 

(

/

t a

δ

0

t

=

.

3.

Kona

č

no, 

 ako je 

( )

( )

2

2

1

1

/

/

/

t

t a

t

t a

t a dt a

d

a

δ

δ τ

=

=

∫

∫

τ

1

2

0

t

t

< <

Dakle, signal 

 pod pretpostavkom da je parametar 

a

 pozitivan. 

( )

(

/

t a

a t

δ

=

)

δ

Simetri

č

nost signala 

Neke važne definicije i osobine signala poti

č

u iz osobina simetri

č

nosti. Iz matematike je 

poznato da neki signali imaju osobine parnosti ili neparnosti. Za signal koji zadovoljava slede

ć

u 

jednakost 

( )

( )

x t

x t

=

−

 (3.4) 

kažemo da je paran. Sa druge strane, za signal sa slede

ć

im svojstvom 

( )

( )

x t

x t

= − −

 (3.5) 

kažemo da je neparan. Tipi

č

ni parni signali su x

( )

( )

0

cos

x t

t

ω

=

 ili 

( )

t

x t

e

−

=

, dok su predstavnici 

neparnih signala ili funkcija 

( )

( )

0

sin

x t

t

ω

=

 ili 

( )

( )

0.5

x t

u t

=

−

. Važnost parnih i neparnih signala 

poti

č

e uglavnom iz 

č

injenice da se realni signal (signal koji za svaki trenutak nezavisne vremenske 

promenljive uzima vrednost iz skupa realnih brojeva) može napisati kao zbir njegovog parnog i 
neparnog dela. Parni deo signala se definiše na slede

ć

i na

č

in: 

( )

{ }

( ) ( )

1
2

Ev x t

x t

x t

=

+ −

⎡

⎤

⎣

⎦

 (3.6) 

dok se neparni deo signala sra

č

unava kao: 

( )

{ }

( ) ( )

1
2

Od x t

x t

x t

=

− −

⎡

⎤

⎣

⎦

 (3.7) 

Oznake 

Ev

 i 

Od

 poti

č

u od engleskih re

č

i 

even 

 i 

odd

, što zna

č

i paran, odnosno neparan. Lako se na 

osnovu relacija (3.6) i (3.7) proverava, da se signal 

( )

x t

 zaista može sra

č

unati kao zbir njegovog 

parnog i neparnog dela: 

( )

( )

{ }

( )

{ }

x t

Ev x t

Od x t

=

+

 (3.8) 

Primer 3.3:

 Sra

č

unajmo parni i neparni deo pravougaone 

č

etvrtke 

( )

( ) (

p t

u t

u t T

=

−

−

)

. Po 

definiciji  parnog i neparnog dela signala, možemo pisati: 

( )

{

}

( )

( )

( ) (

) ( ) (

)

1

1

2

2

Ev p t

p t

p t

u t

u t T

u t

u t T

=

+

−

=

−

−

+ − − − −

⎡

⎤

⎡

⎣

⎦

⎣

⎤⎦

 (3.9) 

 (4.3) 

( )

(

) ( )

( ) (

)

( ) ( )

*

y t

x t

h

d

h

x t

d

h t

x t

λ

λ λ

λ

λ λ

−∞

∞

∞

−∞

= −

−

=

−

=

∫

∫

što je dokaz da je konvolucija  komutativna operacija nad signalima, odnosno 

( ) ( )

( ) ( )

*

*

x t

h t

h t

x t

=

 (4.4) 

Lako se dokazuje da je ova operacija ima i osobinu asocijativnosti: 

( ) ( )

(

)

( )

( ) (

)

( )

( ) (

)

(

)

( )

(

) (

)

( )

( ) (

)

( ) (

) (

)

( )

( ) ( )

(

)

*

*

*

*

*

*

x t

h t

g t

x

h t

d

g t

x

h

d

g t

d

x

h

g t

d

d

x

h

g t

d

d

x

h t

g t

d

x t

h t

g t

τ

τ τ

τ

λ τ τ

λ λ

τ

λ τ

λ λ τ

τ

µ

τ µ µ τ

τ

τ

τ

τ

∞

∞

∞

−∞

−∞

−∞

∞

∞

−∞

−∞

∞

∞

−∞

−∞

∞

−∞

⎡

⎤

⎡

⎤

=

−

=

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

⎡

⎤

=

−

−

=

⎢

⎥

⎣

⎦

⎡

⎤

=

− −

⎢

⎥

⎣

⎦

=

−

−

=

⎡

⎤

⎣

⎦

∫

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

∫

 (4.5) 

Tako

đ

e, lako se dokazuje da je operacija konvolucija distributivna sa operacijom sabiranja signala: 

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

1

2

1

2

*

*

*

x t

h t

h t

x t

h t

x t

h t

+

=

+

⎡

⎤

⎣

⎦

 (4.6) 

Na osnovu relacije (4.2) se može zaklju

č

iti, da ako želimo da sra

č

unamo konvoluciju signala 

( )

x t

 i 

, naš algoritam treba da se sastoji u slede

ć

a 

č

etiri koraka: 

( )

h t

1.

korak: 

 Signal 

( )

h

τ

 se prvo invertuje i pomeri u vremenu kako bi se dobila forma 

(

)

h t

τ

−

, 

što postaje funkcija od 

τ

 gde je 

t

 parametar. 

2.

korak:

 Signali 

( )

x

τ

 i 

(

h t

)

τ

−

 se izmnože za sva mogu

ć

e vrednosti varijable 

τ

 a za neko 

fiksno 

t

. 

3.

korak:

 Proizvod 

( ) (

)

x

h t

τ

τ

−

 se integrali po celom skupu vrednosti 

τ

 i tako se dobija 

vrednost 

 za neko fiksno 

t

. 

( )

y t

4.

korak:

 Ponove se koraci 1,2 i 3 za razli

č

ite vrednosti parametra 

t

 iz skupa 

 kako bi 

se dobila kompletna funkcija 

. 

(

,

−∞ ∞

)

( )

y t

Dakle, teorijski gledano beskona

č

no mnogo neodre

đ

enih integrala treba odrediti u cilju jedne jedine 

konvolucije 

. Me

đ

utim, na sre

ć

u, u naj

č

eš

ć

em broju slu

č

ajeva, ovaj se problem uglavnom 

svodi na sra

č

unavanje par odre

đ

enih integrala. 

( )

y t

Primer 4.1: 

 Sra

č

unajmo konvoluciju dve jedini

č

ne odsko

č

ne funkcije 

( )

( ) ( )

*

y t

u t

u t

=

 (4.7) 

Po definiciji možemo pisati: 

( )

( ) (

)

y t

u

u t

d

τ

τ τ

∞

−∞

=

−

∫

 (4.8) 

Znaju

ć

i da je 

 za 

( )

0

u

τ

=

0

τ

<

, poslednji izraz postaje 

( )

( ) (

)

0

y t

u

u t

d

τ

τ τ

∞

=

−

∫

 (4.9) 

Dalje, uzimaju

ć

i u obzir da je 

 za 

( )

1

u

τ

=

0

τ

>

, integral se dalje pojednostavljuje 

( )

(

)

0

y t

u t

d

τ τ

∞

=

−

∫

 (4.10) 

Ukoliko izvršimo smenu promenljivih 

t

τ λ

− =

, izraz (4.10) postaje 

( )

( )

t

y t

u

d

λ λ

−∞

=

∫

 (4.11) 

Kona

č

no, poslednji integral je jednostavno sra

č

unati ukoliko je poznata vrednost vremenske 

promenljive 

t

: 

 (4.12) 

( )

( )

( )

( )

0

0

0

0

t

t

t

t

t

y t

u

d

d

t

y t

u

d

d

t

λ λ

λ

λ λ

λ

−∞

−∞

−∞

< ⇒

=

=

=

≥ ⇒

=

=

=

∫

∫

∫

∫

0

Oblik signala 

 je prikazan na slici 4.1. 

( )

y t

( )

( ) ( )

*

y t

u t

u t

=

0

t

Slika 4.1: Oblik signala 

( )

( ) ( )

*

y t

u t

u t

=

S obzirom na prirodu jedini

č

nog odsko

č

nog signala dobijeni rezulat možemo napisati u 

pojednostavljenoj formi: 

( )

( )

y t

tu t

=

 (4.13) 

Primer 4.2: 

Jedna od važnih osobina konvolucije 

( )

( ) ( )

*

y t

x t

h t

=

 je ilustrovana u slede

ć

em 

primeru. Ako signali  

( )

x t

  i 

 zadovoljavaju slede

ć

i uslov: 

( )

h t

( )
( )

1

2

0

0

x t

za t

h t

za t t

t

=

<

=

<

 (4.14) 

kao što je to prikazano na slici 4.2., tada i njihova konvolucija 

( )

y t

 zadovoljava sli

č

an uslov. 

( )

x t

t

1

t

0

( )

h t

t

2

t

0

Slika 4.2. 

Ovo tvr

đ

enje nije teško dokazati. Ponovo možemo po

ć

i od definicionog izraza za konvoluciju: 

( )

( ) (

)

y t

x

h t

d

τ

τ τ

∞

−∞

=

−

∫

 (4.15) 

S obzirom da je signal 

( )

x

τ

 jednak nuli za 

1

t

τ

<

, integral (4.15) postaje 

 (4.22) 

( )

(

) ( )

(

)

(

)

(

) ( )

(

)

(

)

[

)

1 4

2 3

1 4

2 3

1

3

min

,

1

3

2

max

,

2

4

1

3

min

,

1

3

2

4

max

,

4

0 ;

;

i

0 ;

0 ;

;

,

0 ;

t t t

t t t

t t t

t t t

t t

t

y t

x t

h

d

t t

t

t t

t

t t

t

t t

t

x t

h

d

t

t

t t

t

t t

λ

λ λ

λ

λ λ

−

−

−

−

− <

⎧

⎪⎪

=

−

− ≥

−

⎨

⎪

− ≥

⎪⎩

< +

⎧

⎪⎪

=

−

∈ +

+

⎨

⎪

≥

⎪⎩

∫

∫

4

<

Kona

č

no, oblik signala 

y

 je prikazan na slici 4.5. 

( ) ( ) ( )

*

y t

x t

h t

=

t

1

3

t

t

+

0

2

4

t

t

+

Slika 4.5: Oblik konvolucije nad signalima 

( )

x t

 i 

( )

h t

 
Dobijeni rezultati su vrlo važni jer se na osnovu njih može zaklju

č

iti da ako su signali 

( )

x t

 i 

( )

h t

kauzalni (signal 

( )

x t

 je kauzalan ako za svako 

0

t

<

, 

( )

0

x t

=

), tada je i njihova konvolucija 

 tako

đ

e kauzalan signal. Ovo je osobina koja 

ć

e nam u velikoj meri pomo

ć

i 

prilikom odre

đ

ivanja odziva sistema na zadatu pobudu. 

( )

( ) ( )

*

y t

x t

h t

=

Primer 4.4: 

Sra

č

unajmo konvoluciju dva pravougaona signala 

( )

x t

 i  

( )

h t

: 

( )

(

) (

)

( )

(

) (

)

2

2 ;

2

1

x t

u t

u t

h t

u t

u t

=

+

−

−

=

− −

−

4

⎡

⎤

⎣

⎦

Ovi signali su prikazani na slici 4.6. 
 

( )

x t

0

1

( )

h t

2

4

2

−

t

Slika 4.6: Primer pravougaonih signala 

 
Primenom definicionog izraza (4.3) možemo pisati: 

( )

( ) (

)

(

)

2

2

y t

x t h t

d

h t

d

τ τ

τ

∞

−∞

−

=

−

=

−

∫

∫

τ

Usvjaju

ć

i smenu pomenljivih 

t

τ λ

− =

 dobija se integral: 

( )

( )

2

2

t

t

y t

h

d

λ λ

+

−

= ∫

Poslednji izraz nam govori da pravougaoni signal 

( )

(

) (

)

2

1

4

h

u

u

λ

λ

λ

=

− −

−

⎡

⎤

⎣

⎦

 treba integraliti u 

intervalu od 

t

-2 do 

t

+2. Uzimaju

ć

i u obzir oblik signala 

( )

h

λ

 jasno je da, zavisno od vrednosti 

nezavisne promenljive 

t

, ovaj integral može uzeti razli

č

ite vrednosti: 

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

2

1

4

1

4

2

2 1

0

2 [1, 4)

2

2

1

2 [4,5)

2

6

2 [1, 4)

2

2 6

2 4

0

t

t

t

y t

t

y t

d

t

y t

d

t

y t

d

t

y t

λ

λ

λ

+

−

+ < ⇒

=

+ ∈

⇒

=

=

+

∫

+ ∈

⇒

=

=

∫

− ∈

⇒

=

=

−

∫

− ≥ ⇒

=

t

t

)

ili 

( )

(

)

(

)

0 ;

1

2

1 ;

[ 1, 2

6;

[2,3)

2 6

;

[3,6)

0 ;

6

t

t

t

y t

t

t

t

t

< −

⎧

⎪

+

∈ −

⎪⎪

=

∈

⎨

⎪

−

∈

⎪

⎪

≥

⎩

Ovaj signal je prikazan na slici 4.7, sa koje se jasno vidi da je usled ograni

č

enosti signala 

x

 na 

intervalu 

[

]

2, 2

−

 i signala 

h

 na intervalu 

[ ]

1, 4

, proisti

č

e ograni

č

enost signala 

y

 na intervalu 

[

]

1, 6

−

. 

( )

y t

0

6

1

−

t

3

6

Slika 4.7: Konvolucija signala 

Primetimo da se ovaj zadatak mogao lakše rešiti koriš

ć

enjem rezultata dobijenim iz primera 4.1: 

( ) ( )

( )

*

u t

u t

tu t

=

Naime, imaju

ć

i u vidu kako su definisani signali 

( )

x t

 i 

( )

h t

, traženi konvolucioni signal 

( )

y t

 se 

mogao napisati kao zbir 

č

etiri konvoluciona signala: 

( )

( ) ( )

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

)

{

}

*

2

2 * 2

1

4

2

2 *

1

2 *

4

2 *

1

2 *

4

y t

x t

h t

u t

u t

u t

u t

u t

u t

u t

u t

u t

u t

u t

u t

⎡

⎤

=

=

+ −

−

− −

−

⎡

⎤

⎣

⎦ ⎣

⎦

=

+

− −

+

− −

−

− +

−

−

Sa druge strane, lako se pokazuje (

č

itaocima se prepušta dokaz) da ako je signal 

 konvolucija 

signala 

( )

y t

( )

x t

 i 

, tada je konvolucija pomerenih signala 

( )

h t

(

)

1

x t t

−

 i 

(

)

2

h t t

−

 signal 

(

)

1

2

y t t

t

− −

. 

Na osnovu toga, ako uvedemo oznaku 

( )

( )

( ) ( )

*

r t

tu t

u t

u t

=

=

,  

tada 

ć

e traženi konvolucioni signal biti: 

( )

(

) (

) (

) (

)

2

1

2

3

6

y t

r t

r t

r t

r t

=

+ −

− −

− +

−

⎡

⎤

⎣

⎦

Primetimo da je za razliku od kontinualnog jedini

č

nog odsko

č

nog signala, sada vrednost 

[ ]

0

u

definisana i iznosi 1. Tako

đ

e, diskretna pravougaona 

č

etvrtka (u engleskoj literaturi ozna

č

ena kao 

rectangular pulse

) je vrlo 

č

esto u upotrebi i definiše se kao: 

 (5.2) 

[ ] [ ] [

]

0 ,

0

1 , 0

1

0 ,

n

p n

u n

u n N

n N

n N

<

⎧

⎪

=

−

−

=

≤ ≤ −

⎨

⎪

≥

⎩

i prikazana na slici 5.2. 

[ ]

p n

0 1 2

1

−

n

N

1

Slika 5.2: Diskretna pravougaona 

č

etvrtka 

Primetimo tako

đ

e, da signal 

[

]

u n N

−

 ozna

č

ava signal 

[ ]

u n

 koji je zakašnjen (dakle pomeren u 

desno na vremenskoj skali) za 

N

 , i koji je jednak nuli za 

n N

<

 i jednak jedinici za 

. 

n N

≥

Jedini

č

na impulsna funkcija

 Diskretna 

jedini

č

na impulsna funkcija (ponekad nazivana 

jedini

č

nim odbirkom,

 na 

engleskom 

unit-sample

) se ozna

č

ava kao 

[ ]

n

δ

 i definiše se na slede

ć

i na

č

in: 

[ ]

0 ,

0

1 ,

0

n

n

n

δ

≠

⎧

= ⎨

=

⎩

 (5.3) 

i prikazana je na slici 5.3. 

[ ]

n

δ

0 1 2

1

−

n

1

Slika 3.3: Diskretna jedini

č

na impulsna funkcija 

I dalje postoji jednostavna veza izme

đ

u jedini

č

ne odsko

č

ne i impulsne funkcije. Jednostavno se 

dokazuje da je jedini

č

na impulsna funkcija jednaka jednokora

č

noj kona

č

noj razlici dve odsko

č

ne 

funkcije: 

[ ] [ ] [

]

1

n

u n

u n

δ

=

−

−

 (5.4) 

dok se jedini

č

na odsko

č

na funkcija može napisati u obliku suma jedini

č

nih impulsnih signala: 

 (5.5) 

[ ]

[ ]

n

m

u n

m

δ

=−∞

=

∑

O

č

igledno da  prvom diferencijalu u kontinalnom vremenu odgovara kona

č

na razlika, dok integralu 

odgovara postupak sumiranja u diskretnom domenu. Analogno relaciji (2.13) iz drugog pitanja koju 
smo zvali osobina pomeranja impulsne funkcije, u diskretnom domenu vremena odgovara slede

ć

a 

relacija 

[ ] [

] [ ] [

]

0

0

0

x n

n n

x n

n n

δ

δ

−

=

−

 (5.6) 

koju je jednostavno dokazati. 
 

Eksponencijalni signali  

Diskretni eksponencijalni kompleksni signal se u opštem slu

č

aju definiše na slede

ć

i na

č

in: 

[ ]

n

x n

Ca

=

 (5.7) 

gde su u opštem slu

č

aju konstante 

C

 i 

a

 kompleksni brojevi. Kao i u slu

č

aju kontinualnih signala, 

postoji nekoliko zanimljivih slu

č

ajeva. Ukoliko su i 

C

 i 

a

 realni brojevi, dobija se takozvana realna 

eksponencijalna funkcija (signal), ali se sada oblik ove funkcije zna

č

ajno menja zavisno od toga iz 

koja od 4 intervala 

, 1

0 , 

 i 

1

a

>

a

> >

0

1

a

> > −

1

a

− >

, parametar 

a

 uzima vrednost. Oblici ove 4 

vrste eksponencijalnih signala su prikazani na slici 5.4. 

"

"

(

)

1

a

>

n

n

(

)

0

1

a

< <

n

(

)

1

0

a

− < <

"

"

n

(

)

1

a

< −

Slika 5.4: 

Č

etiri slu

č

aja diskretni realnih eksponencijalnih signala 

Primetimo da za 

1

a

>

 ovi signali neograni

č

eno (kaže se eksponencijalno) rastu, dok za 

1

a

<

signali opadaju. Primetimo još da za negativne vrednosti parametra 

a

 signali imaju osobinu 

alternacije, odnosno naizmeni

č

no iz odbirka u odbirak menjaju znak. 

Sinusoidalni signali

Kompleksna sinusoida se dobija iz eksponencijalnog signala ukoliko usvojimo da parametar 

a

 ima oblik: 

0

j

a e

Ω

=

, gde je kružna u

č

estanost 

0

Ω

 realni broj koji se izražava u radijanima. Tada, 

pod pretpostavkom da je i parametar 

C

 kompleksan 

j

C

C e

φ

=

, kompleksna sinusoida postaje 

[ ]

(

)

(

)

(

)

0

0

0

cos

sin

j

n

j

n

x n

Ce

C e

C

n

j C

n

φ

0

φ

φ

Ω +

Ω

=

=

=

Ω +

+

Ω +

 (5.8) 

diskretnog signala, što je u kontinualnom slu

č

aju nemogu

ć

e. Ako, na primer, posmatramo diskretnu 

sinusoidu sa u

č

estanoš

ć

u 

0

Ω

 i drugu sinusoidu sa u

č

estanoš

ć

u 

(

)

0

2

π

Ω +

, tada je: 

(

)

0

0

2

2

j

n

0

j

n j

n

e

e

e

e

π

π

Ω +

Ω

=

=

j

n

Ω

)

 (5.15) 

jer je 

 za celobrojne vrednosti 

n

. Drugim re

č

ima, ove dve diskretne sinusoide sa 

u

č

estanostima 

 i 

(

2

1

j

n

e

π

=

0

Ω

0

2

π

Ω +

, se  ne mogu razlikovati. Isti zaklju

č

ak važi i za realne sinusoide, 

naravno pod uslovom da je razlika njihovih u

č

estanosti jednaka celom multiplu od  2

π

. Kao 

posledica ove 

č

injenice, kada god definišemo diskretnu sinusoidu potrebno je za u

č

estanosti 

posmatrati samo interval dužine  2

π

, na primer 

0

0

2

π

≤ Ω <

 ili 

0

π

π

− < Ω ≤

.  Ova 

ć

e 

č

injenica biti 

vrlo važna kada se kasnije budemo bavili diskretnom Furijeovom transformacijom.  
 

U opštem slu

č

aju kada su i parametar 

C

 i 

a

 kompleksni brojevi 

j

C

C e

φ

=

, 

0

,

j

a

e

ρ

ρ

Ω

0

=

>

 (5.16) 

diskretni signal dobija formu: 

[ ]

(

)

(

)

(

0

0

0

cos

sin

j

n

n

n

n

x n

Ca

C

e

C

n

j

n

φ

ρ

)

ρ

φ

φ

Ω +

=

=

=

Ω +

+

Ω +

⎡

⎤

⎣

⎦

 (5.17) 

Ponovo, po analogiji sa kontinualnim signalima, dobijamo modulisane sinusoide sa anvelopom 

n

ρ

, 

koja može biti prigušena ili opadaju

ć

a ako je 

1

ρ

<

 ili rastu

ć

a ako je 

1

ρ

>

.  

Realni deo ovog signala je: 

{ }

(

)

0

Re

cos

n

n

Ca

C

n

ρ

φ

=

Ω +

 (5.18) 

i dva razli

č

ita slu

č

aja ovog signala su prikazana na slici 5.6. 

n

(

)

1

ρ

>

(

)

1

ρ

<

n

Slika 5.6: Eksponencijalno rastu

ć

a i opadaju

ć

a diskretna sinusoida 

Pitanje 6: Modifikacije nezavisne promenljive 

n

 u diskretnim signalima 

Kao i u slu

č

aju kontinualnih vremenskih signala, mnoge zna

č

ajne operacije nad signalima se 

mogu dobiti jednostavnom modifikacijom nezavisne vremenske promenljive 

n

. Ponovo, 

elementarne transformacije u slu

č

aju diskretnih signala su pomeranje u vremenu, 

[

]

0

x n n

−

, 

inverzija vremena 

[ ]

x n

−

 i skaliranje u vremenu 

[ ]

x an

, koje se naj

č

eš

ć

e kombinuju.  

Inverzija vremena 

Ako definišemo diskretni signal 

[ ]

y n

 na osnovu signala 

[ ]

x n

 na slede

ć

i na

č

in: 

[ ] [ ]

y n

x n

= −

 (6.1) 

jasno je da tada odbirci jednog i drugog signala zadovoljavaju relacije 

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

0

0 ;

1

1 ; 2

x

y

x

y

x

y

=

=

−

=

2

−

 i tako dalje. Drugim re

č

ima, ponovo se signali 

x

 i 

y

 odnose 

kao likovi u ogledalu, u odnosu na oordinatu. Primer takvih signala dat je na slici 6.1. 

n

[ ]

x n

0

[ ] [ ]

y n

x n

= −

0

n

Slika 6.1: Ilustracija inverzije vremena  

Skaliranje vremena 

Po analogiji sa kontinualnim signalima, diskretni signal definisan slede

ć

om relacijom: 

[ ] [ ]

2

y n

x n

=

 (6.2) 

je ubrazan u odnosu na signal 

[ ]

x n

 dva puta, ali postoji zna

č

ajna razlika. Primetimo da je 

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

0

0 ,

1

2 ,

2

y

x

y

x

y

x

=

=

=

4

 i tako dalje. Drugim re

č

ima, u signalu 

 se ne pojavljuju 

neparni odbirci signala 

x, 

[ ]

y n

[ ] [ ] [ ]

1 , 3 , 5

x

x

x

 ... Ovakva pojava se naziva 

decimacijom signala x.

Naravno, ukoliko želimo da zadržimo samo neparne odbirke signala 

x

, definisa

ć

emo signal 

w

 na 

slede

ć

i na

č

in: 

[ ] [

]

2

1

w n

x n

=

+

 (6.3) 

i tada 

ć

e biti 

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

0

1 ,

1

3 ,

2

w

x

w

x

w

x

=

=

=

5

 ...  

Usporavanje signala (skaliranje vremena koeficijentom koji je manji od 1) unosi još više 

razli

č

itosti u odnosu na kontinualne signale. Pretpostavimo da je signal 

z

 definisan kao: 

[ ] [

]

/ 2

z n

x n

=

 (6.4) 

n

[ ]

x n

0

3

3

−

4

3

2

1

n

[ ] [ ]

2

v n

x n

=

0

4

2

1

1

−

n

[ ] [ ]

w n

v n

= −

0

4

2

1

1

−

n

[ ]

[

]

1

y n

w n

=

−

0

4

2

1

1

−

Slika 6.3: Ilustracija kombinovanih modifikacija nezavisne vremenske promenljive  

U cilju provere dobijenog rezultata, možemo se vezati za  

0

2

n

= −

. Kako je 

[ ]

0

2

x n

=

, potrebno je 

da 

[ ] [ ] [ ]

0

1

2

v

x

x

− = − =

n

 bude tako

đ

e 2. Sa grafika se vidi da je taj uslov ispunjen. Dalje mora biti 

[ ] [ ] [ ]

1

1

2

w

v

x

= − = − =

2

 što je tako

đ

e ispunjeno. I kona

č

no, kako je 

[ ] [

] [ ]

2

2 2* 2

2

y

x

x

2

=

−

= − =

zaklju

č

ujemo da su grafici prikazani na slici 6.3 ispravni. 

Primer 6.2: 

 Na osnovu signala iz prethodnog primera formirati signal 

[ ] [

]

3 2

z n

x

n

=

−

. 

Ovaj se primer razlikuje od prethodnog po tome što signal 

[ ]

z n

 koristi samo neparne odbirke 

signala 

x

, dok je signal 

y

 iz prethodnog zadatka koristio samo parne odbirke. I ukoliko bi neko 

poželeo da za rešavanje ovog zadatka iskoristi signal 

[ ]

2

w

n

−

 iz prethodnog primera, naišao bi na 

problem pomeranja signala za 3/2 odbiraka što je nemogu

ć

e ( jer je 

[ ] [

]

(

)

[

]

3 2

2

3/ 2

1.5

z n

x

n

x

n

w n

=

−

=

−

−

=

−

⎡

⎤

⎣

⎦

). Zbog toga u cilju rešavanja ovog primera treba 

krenuti od pomo

ć

nog signala 

[ ] [

]

2

1

q n

x n

=

+

 koji izdvaja samo neparne odbirke signala 

x

. Zatim, 

inverzijom vremena na osnovu signala  

q

 treba formirati signal 

[ ] [ ] [

]

2

1

r n

q n

x

n

= − = − +

, i 

kona

č

no pomeranjem signala 

r

 za jedan odbirak u desno dolazimo do željenog signala 

[ ] [

] [

] [

]

3 2

2(

1) 1

1

z n

x

n

x

n

r n

=

−

= −

− + =

−

. Ovi su signali prikazani na slici 6.4. 

n

[ ]

x n

0

3

3

−

4

3

2

1

n

[ ] [

]

2

1

q n

x n

=

+

0 1

2

−

4

3

1

4

n

[ ] [ ]

r n

q n

=

−

0

1

−

2

4

3

1

4

n

[ ] [

]

1

z n

r n

=

−

0

3

4

3

1

4

Slika 6.4: Ilustracija kombinacija modifikacije nezavisne vremenske promenljive 

Ponovo se jednostavno može proveriti ispravnost dobijenih grafika uo

č

avanjem nekom specifi

č

nog 

vremenskog trenutka. Recimo za 

 znamo da je 

0

3

n

= −

[ ]

0

1

x n

=

. Tada mora biti 

[ ]

2

1

q

− =

 i 

[ ]

2

1

r

=

 i 

[ ]

3

1

z

=

, što se proverom na graficima potvr

đ

uje. 

Osobine simetrije

Po analogiji sa kontinualnim vremenskim signalima, i za diskretne vremenske signale je 

mogu

ć

e uvesti osobine parnosti i neparnosti. Za diskretni signal 

[ ]

x n

 kažemo da je paran ako 

zadovoljava relaciju: 

[ ] [ ]

x n

x n

= −

 (6.6) 

dok se za signal koji zadovoljava relaciju 

[ ]

[ ]

x n

x n

= − −

 (6.7) 

kaže da je neparan. Važno je to da se svaki realni diskretni signal može napisati kao zbir svog 
parnog i neparnog dela, gde se parni i neparni deo signala definišu shodno slede

ć

im relacijama: 

[ ]

{ }

[ ] [ ]

(

1
2

)

Ev x n

x n

x n

=

+ −

 (6.8) 

[ ]

{ }

[ ] [ ]

(

1
2

Od x n

x n

x n

)

=

− −

 (6.9) 

gde je sa 

{}

Ev

⋅

 ozna

č

en parni a sa 

{}

Od

⋅

 neparni deo signala. 

Primer 6.3: 

Sra

č

unajmo parni i neparni deo jedini

č

ne diskretne odsko

č

ne funkcije. 

Na osnovu relacija (6.8) i (6.9) možemo pisati: 

[ ]

{ }

[ ] [ ]

[ ]

{ }

[ ] [ ]

1
2

1
2

Ev u n

u n

u n

Od u n

u n

u n

⎡

⎤

=

+ −

⎣

⎦

⎡

⎤

=

−

⎣

⎦

 (6.10) 

Pitanje 7: Konvolucija diskretnih signala u vremenu 

Konvolucija je fundamentalna operacija koja se može vršiti nad diskretnim signalima, isto 

kao i nad kontinualnim. Konvolucija dva diskretna signala 

[ ]

x n

 i 

[ ]

h n

 kao rezultat daje signal 

[ ]

y n

, u oznaci 

[ ] [ ] [ ]

*

y n

x n h n

=

 (7.1) 

pri 

č

emu je 

[ ]

[ ] [

]

k

y n

x k h n k

∞

=−∞

=

−

∑

 (7.2) 

Jednostavnom smenom promenljivih 

m n k

= −

, može se pisati 

 (7.3) 

[ ]

[ ] [

] [ ] [ ]

*

m

y n

h m x n m

h n x n

∞

=−∞

=

−

=

∑

što zna

č

i da je konvolucija nad diskretnim signalima komutativna operacija: 

[ ] [ ] [ ] [ ]

*

*

x n h n

h n x n

=

 (7.4) 

Potpuno analogno sa konvolucijom nad kontinualnim signalima, lako se dokazuje da je konvolucija 
i asocijativna operacija kao i da važi osobina distributivnosti konvolucije u odnosu na sabiranje: 

[ ] [ ]

(

)

[ ] [ ] [ ] [ ]

(

)

*

*

*

*

x n h n

g n

x n

h n g n

=

 (7.5) 

[ ]

[ ]

[ ]

(

)

[ ] [ ] [ ] [ ]

1

2

1

2

*

*

*

x n

h n

h n

x n h n

x n h n

+

=

+

 (7.6) 

Na osnovu relacije (7.2) zaklju

č

ujemo da prilikom sra

č

unavanja konvolucije diskretnih signala 

treba realizovati 

č

etiri osnovna koraka: 

1.

korak:

 Signal 

 treba invertovati u vremenu i izvršiti pomeranje kako bi se dobio signal 

[ ]

h k

[

]

h n k

−

 koji je funkcija parametra 

k

 gde 

n

 predstavlja konkretan parametar. 

2.

korak:

 Signali 

[ ]

x k

 i 

[

]

h n k

−

 se izmnože za sve vrednosti promenljive 

k.

3.

korak: 

Proizvod 

[ ] [

]

x k h n k

−

 se sumira za sve vrednosti promenljive 

k

, 

č

ime se dobija 

vrednost konvolucije 

[ ]

y n

 za jedno konkretno 

n.

4.

korak: 

Promenljiva 

n

 se inkrementira (pove

ć

a za 1) i ponovo se pristupi primeni koraka 1,2 

i 3, kako bi se dobila vrednost konvolucije 

[ ]

y n

 za novu vrednost promenljive 

n

. 

 
Dakle, teorijski gledano, da bi odredili celu diskretnu funkciju 

[ ]

y n

, treba izvršiti beskona

č

no 

mnogo sumiranja, me

đ

utim prakti

č

no gledano to nikada nije tako. S obzirom na analiti

č

ko 

definisanje signala, ili na ograni

č

eno trajanje signala koji ulaze u konvoluciju, problem je mnogo 

jednostavniji i bi

ć

e ilustrovan kroz slede

ć

ih nekoliko primera. 

Primer 7.1: 

Odrediti konvoluciju dve diskretne jedini

č

ne odsko

č

ne funkcije 

[ ] [ ] [ ]

*

r n

u n u n

=

 (7.7) 

Polaze

ć

i od definicionog izraza možemo pisati: 

[ ]

[ ] [

]

k

r n

u k u n k

∞

=−∞

=

−

∑

 (7.8) 

Znaju

ć

i da je 

[ ]

0

u k

=

 za 

 i da je 

0

k

<

[ ]

1

u k

=

 za 

, poslednji izraz postaje 

0

k

≥

 (7.9) 

[ ]

[ ] [

]

[

]

0

0

k

k

r n

u k u n k

u n k

∞

∞

=

=

=

−

=

∑

∑

−

Ako u relaciji (7.9) izvršimo smenu promenljivih 

n k m

− =

 dobija se 

 (7.10) 

[ ]

[ ]

n

m

r n

u m

=−∞

=

∑

Sada postaje jasno da za 

 poslednja suma ima vrednost 0, za 

0

n

<

0

n

=

 u sumi postoji samo jedan 

sabirak sa vrednoš

ć

u 1, za 

n

=1 postoje dva takva sabirka, za 

n

=2 tri sabirka i tako dalje, pa onda 

možemo pisati 

 (7.11) 

[ ]

(

)

(

)

[ ]

0 ;

0

1

1 ;

0

n

r n

n

u n

n

n

<

⎧⎪

=

=

+

⎨ +

≥

⎪⎩

Signal 

[ ]

r n

 se obi

č

no naziva jedini

č

nim diskretnim usponskim signalom (u engleskoj literaturi se 

koristi naziv 

unit-ramp signal

). Ovaj signal je prikazan na slici 7.1. 

n

[ ]

(

)

[ ]

1

r n

n

u n

=

+

1 2

3 4

5

Slika 7.1.: Jedini

č

ni diskretni usponski signal 

Primer 7.2:

 Zanimljiv primer je konvolucija proizvoljnog signala 

[ ]

x n

 i Dirakovog impulsa 

pomerenog za   odbiraka u desno: 

0

n

[

]

0

n n

δ

−

. Po definiciji ova konvolucija glasi: 

 (7.12) 

[ ] [ ] [

]

[ ] [

]

0

*

k

y n

x n

n n

x k

n n

k

δ

δ

∞

=−∞

=

−

=

−

∑

0

−

Znaju

ć

i da je su svi sabirici poslednje sume jednaki nuli, osim jednog kada je 

, lako se 

dolazi do rezultata: 

0

0

n n

k

− − =

[ ] [

] [ ] [

]

0

0

y n

x n n

x n n

δ

=

−

=

−

0

 (7.13) 

Dakle, došli smo do važnog zaklju

č

ka da konvolucija proizvoljnog signala 

[ ]

x n

 i pomerenog 

Dirakovog impulsa 

[

]

0

n n

δ

−

 rezultuje pomerenim signalom 

[

]

0

x n n

−

. 

Primer 7.3: 

 Pokažimo kakvo svojstvo ima konvolucija 

[ ] [ ] [ ]

*

y n

x n h n

=

 ako signali imaju oblik 

kakav je prikazan na slici 7.2, odnosno ako je 

[ ]

1

0

2

x k

za k n i k n

=

<

>

 (7.14) 

i 

[ ]

3

4

0

h k

za k n i k n

=

<

>

Uzimaju

ć

i u obzir da je signal 

x

 paran a signal 

h

 neparan i nakon smene promenljivih 

k n m

− =

, 

možemo pisati: 

[ ]

[ ] [

]

[ ] [

]

[ ]

k

m

y n

x k h k n

h m x n m

y n

∞

∞

=−∞

=−∞

= −

−

−

= −

− −

= − −

∑

∑

 (7.21) 

što dokazuje da je signal 

[ ]

y n

 neparan signal.  

2. 

Ako su signali 

[ ]

x n

 i 

[ ]

h n

 oba neparne funkcije, tada je signal 

[ ]

y n

 parna funkcija. 

Dokaz ove osobine je analogan prethodnom dokazu: 

[ ]

[ ] [

]

[ ] [

]

[ ] [

] [ ]

k

k

m

y n

x k h n k

x k h k n

h m x n m

y n

∞

∞

∞

=−∞

=−∞

=−∞

=

−

=

−

−

=

− −

=

∑

∑

∑

−

 (7.22) 

3. 

Ako je signal 

[ ]

x n

 periodi

č

an tada je i signal 

[ ]

y n

 periodi

č

an. 

Pretpostavimo da je signal 

x

 periodi

č

an sa periodom ponavljanja 

N

. Tada možemo pisati: 

 (7.23) 

[

]

[ ] [

]

[ ] [

]

[ ] [

] [ ]

k

k

k

y n N

x k h n N k

h k x n N k

h k x n k

y n

∞

∞

∞

=−∞

=−∞

=−∞

+

=

+ −

=

+ −

=

−

=

∑

∑

∑

što dokazuje navedeno tvr

đ

enje. 

4.

 Inverzija konvolucije: 

[ ] [ ] [ ]

*

y n

x n h n

− = −

−

 (7.24) 

Da bi dokazali ovu osobinu, ponovo podjimo od definicionog izraza: 

[ ]

[ ] [

k

y n

x k h n k

∞

=−∞

]

− =

−

∑

−

m

 (7.25) 

Uvedimo smenu 

 i oznake 

k

= −

[ ] [ ]

w k

x k

= −

 i 

[ ] [ ]

v k

h k

= −

. Tada možemo pisati: 

 (7.26) 

[ ]

[ ] [

]

[ ] [

]

[ ] [ ] [ ] [ ]

*

*

m

m

y n

x m h n m

w m v n m

w n v n

x n h n

∞

∞

=−∞

=−∞

− =

−

− +

=

−

=

= −

−

∑

∑

č

ime je tvr

đ

enje dokazano. 

5. 

Pomerenja konvolucije: 

[

] [

] [

]

1

2

1

2

*

y n n

n

x n n

h n n

− −

=

−

−

 (7.27) 

Dokaz ovog tvr

đ

enje se sprovodi na slede

ć

i na

č

in: 

 (7.28) 

[

]

[ ] [

1

2

1

2

k

y n n

n

x k h n n

n

k

∞

=−∞

− −

=

− −

−

∑

]

Ako u poslednji izraz uvedemo smenu 

1

k m n

= −

 i oznake 

[

]

[ ]

1

x n n

w n

−

=

 i 

[

] [ ]

2

h n n

v n

−

=

možemo pisati: 

 (7.29) 

[

]

[

] [

]

[ ] [

]

[ ] [ ] [

] [

]

1

2

1

2

1

2

*

*

m

m

y n n

n

x m n h n n

m

w m v n m

w n v n

x n n

h n n

∞

=−∞

∞

=−∞

− −

=

−

− −

=

−

=

=

−

∑

∑

−

6. 

Ako sa 

 ozna

č

imo sumu svih odbiraka signala 

x

A

[ ]

x k

: 

[ ]

x

k

A

x k

∞

=−∞

=

∑

 (7.30) 

i sli

č

no tome definišemo 

 i 

h

A

y

A

, tada važi jednakost 

y

x

h

A

A A

=

 (7.31) 

Ovu jednakost 

ć

emo dokazati koriš

ć

enjem dvostrukih suma: 

[ ]

[ ] [

]

y

n

n

k

A

y n

x k y n k

∞

∞

∞

=−∞

=−∞ =−∞

=

=

∑

∑ ∑

−

 (7.32) 

Ukoliko sume zamene mesta i 

č

lan 

[ ]

x k

 iza

đ

e ispred sume po 

n

 jer ne zavisi od 

n

, dobi

ć

emo: 

[ ] [

]

[ ]

[

]

[

]

y

x

k

n

k

n

n

A

x k h n k

x k

h n k

A

h n k

∞

∞

∞

∞

∞

=−∞ =−∞

=−∞

=−∞

=−∞

=

−

=

−

=

∑ ∑

∑

∑

∑

−

 (7.33) 

Kona

č

no, ako u preostaloj sumi izvršimo smenu 

n k m

− =

 dobi

ć

emo izraz (7.33) 

7.

 Ukoliko definišemo takozvani 

centar gravitacije

 ili 

vreme kašnjenja 

signala 

[ ]

x n

 kao 

/

x

nx

D

A

A

x

=

 (7.31) 

gde je 

 suma svih 

č

lanov 

nx

A

[ ]

nx n

, i sli

č

no tome definišemo 

 i 

, tada važi relacija 

h

D

y

D

y

x

D

D

D

h

=

+

 (7.32) 

Dokaz relacije (7.32) se sprovodi slede

ć

im postupkom: 

[ ]

[ ]

[ ] [

]

(

)

[ ] [

]

[ ] [

]

(

)

[ ] [

]

[ ]

[

]

[ ] (

)

[

]

/

n

n

k

n

k

y

ny

y

x

h

x

h

n

n

k

n

k

x

h

k

n

k

n

nx

h

x

nh

nx

nh

x

h

x

h

x

h

ny n

n

x k h n k

n k k

x k h n k

D

A

A

A A

A A

y n

k

x k h n k

n k

x k h n k

A A

kx k

h n k

x k

n k h n k

A A

A A

A

A

A A

A A

A

A

∞

∞

∞

∞

∞

=−∞

=−∞

=−∞

=−∞

=−∞

∞

=−∞

∞

∞

∞

∞

=−∞

=−∞

=−∞

=−∞

∞

∞

∞

∞

=−∞

=−∞

=−∞

=−∞

−

− +

−

=

=

=

=

− +

−

−

=

− +

−

−

+

=

=

∑

∑ ∑

∑

∑

∑

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

x

h

D

D

=

+

=

+

(7.33) 

č

ime je dokaz završen. 

Primer 7.4: 

Sra

č

unati konvoluciju signala 

[ ]

x n

i 

[ ]

h n

 prikazanih na slici 7.3. 

Pitanje 8: Pregled i osobine kontinualnih sistema

Kao što smo ve

ć

 rekli, sistem je ure

đ

aj, proces ili algoritam 

č

iji je zadatak da obra

đ

uje ili 

generiše signale. Mi 

ć

emo se u okviru ovog kursa uglavnom baviti sistemima sa jednim ulazom i 

jednim izlazom. Sistemi se mogu podeliti u veliki broj kategorija zavisno od njihovih osobina. 
Postoje tri klju

č

ne osobine po kojima se sistemi dele u razli

č

ite grupe. Jedna od njih je ve

ć

pomenuta a odnosi se na prirodu signala koje sistem koristi kao svoje ulaze ili koje generiše i 
shodno tome se sistemi dele na kontinualne i diskretne. Druga važna osobina je linearnost, pa se 
sistemi dele na linearne i nelinearne i kona

č

no tre

ć

a osobina je stacionarnost (nepromenljivost) u 

vremenu pa se po toj osobini sistemi dele na stacionarne i nestacionarne ili na vremenski 
nepromenljive ili promenljive. U okviru ovog pitanja, bavi

ć

emo se kontinualnim sistemima uopšte. 

U okviru linearnih sistema postoje neke specifi

č

ne osobine koje mogu biti zanimljive, pa 

ć

emo 

otuda izvršiti kratki prikaz takvih sistema. 

Sistemi sa memorijom

Za sistem kažemo da ima memoriju ukoliko odziv sistema 

( )

y t

 u trenutku 

 zavisi ne 

samo od ulaznog signala u tom istom trenku 

0

t t

=

( )

0

x t

 ve

ć

 i od vrednosti uzlaznog signala u nekim 

drugim vremenskim trenucima. Dakle, da bismo sra

č

unali izlaz sistema sa memorijom 

( )

0

y t

 u 

trenutku 

, potrebno nam je poznavanje ulaznog signala 

0

t t

=

( )

x t

 u prošlosti (

) ili u 

budu

ć

nosti 

.  U suprotnom, ako je za izra

č

unavanje izlaza 

0

t t

<

(

0

t t

>

)

( )

0

y t

 dovoljno poznavati 

( )

0

x t

kažemo da je sistem bez memorije.  
 

Jednostavan primer sistema bez memorije jeste primena Omovog zakona za izra

č

unavanje 

napona na krajevima otpornika kroz koji proti

č

e neka poznata struja 

i

: 

( )

( )

0

v t

Ri t

=

0

 (8.1) 

Sa druge strane, ukoliko želimo da sra

č

unamo vrednost napona na krajevima kondenzatora 

kapacitivnosti 

C

, potrebno je da sra

č

unamo integral 

( )

( )

0

0

1

t

v t

i t dt

C

−∞

=

∫

 (8.2) 

Drugim re

č

ima, ako kao sistem posmatramo kondenzator 

č

iji je ulaz struja a izlaz napon na 

njegovim krajevima, onda je taj sistem sa memorijom, jer nam je za izra

č

unavanje napona u 

trenutku 

 potrebno poznavanje struje 

0

t t

=

( )

i t

 za 

0

t t

≤

.  

Kauzalni sistemi

Za sistem se kaže da je kauzalan ukoliko njegov izlaz 

( )

y t

 u trenutku 

 zavisi samo od 

ulaza 

0

t t

=

( )

x t

 za 

. Drugim re

č

ima odziv sistema u sadašnjem trenutku ne može zavisiti od 

vrednosti ulaznog signala u budu

ć

nosti. Prosto re

č

eno, kauzalan sistem nije 'vidovit' i on ne može 

da reaguje pre nego što se na njegovom ulazu pojavi neki signal. Me

đ

utim, bez obzira što nam se 

č

ini da jedino kauzalni sistemi imaju smisla i da su svi sistemi u prirodi kauzalni, ipak u teorijskim 

razmatranjima se 

č

esto pojavljuje potreba za analizom ili uvo

đ