1
12
INTERVAL POVJERENJA ZA O ˇ
CEKIVANJE
Definicija 12.1
(KVANTIL)
Neka je
X
sluˇcajna varijabla s funkcijom distribucije
F
(
x
)
i neka je zadan
q
∈
(0
,
1)
.
Broj
z
q
zove se kvantil distribucije
F
ako vrijedi
F
(
z
q
) =
q.
Definicija 12.2
(INTERVAL POVJERNJA POUZDANOSTI
γ
)
Neka je
(
X
1
, X
2
, ..X
n
)
sluˇcajni uzorak sluˇcajne varijable
X
koja ima poz-
natu distribuciju s nepoznatim parametrom
t
i neka je zadana pouzdanost
γ
∈
(0
,
1)
.
Za procjenitelje
G
1
=
h
1
(
X
1
, X
2
, ..X
n
)
i
G
2
=
h
2
(
X
1
, X
2
, ..X
n
)
za param-
etar
t
kaˇzemo da ˇcine interval povjerenja
(
G
1
, G
2
)
za parametar
t
s pouz-
danoˇs´cu
γ
ako vrijedi:
P
(
G
1
< t < G
2
)
≥
γ.
Parametar
t
poprimit ´ce vrijednosti unutar intervala
(
g
1
, g
2
)
s puzdanoˇs´cu
γ,
gdje je
g
1
=
h
1
(
x
1
, x
2
, ..x
n
)
, g
2
=
h
2
(
x
1
, x
2
, ..x
n
)
.
12.1
INTERVAL POVJERENJA ZA O ˇ
CEKIVANJE
sluˇ
cajne varijable ako JE VARIJANCA POZNATA
a uzorak veliki
n
→ ∞
.
TEOREM 12.1
Neka je
(
X
1
, X
2
, ..X
n
)
sluˇcajni uzorak sluˇcajne varijable
X
koja ima poznatu distribuciju s nepoznatim parametrom oˇcekivanje
µ
i
poznatom varijancom
σ
2
.
Ako je veliki uzorak
(
n
→ ∞
)
onda inerval povjerenja
(
G
1
, G
2
)
za param-
etar oˇcekivanje
µ
s pouzdanoˇs´cu
γ
ˇcine procjenitelji
G
1
=
X
−
λ
σ
√
n
i
G
2
=
X
+
λ
σ
√
n
,
gdje je
X
uzoraˇcka aritmetiˇcka sredina, a
λ
=
z
1+
γ
2
kvantil standardne
normalne distribucije
F
∗
(
z
1+
γ
2
) =
1+
γ
2
.
1
VIS -V: ˇ
CULJAK-(radni materijal 2006.)
1
Dokaz:
Prema Centralnom graniˇcnom teormu za aritmetˇcku sredinu
X
−
µ
σ
√
n
∼
N
(0
,
1)
,
n
→ ∞
,
Primijenimo CGT na simetriˇcni interval (
−
λ, λ
) :
P
(
−
λ <
X
−
µ
σ
√
n
< λ
)
≈
F
∗
(
λ
)
−
F
∗
(
−
λ
) = 2
F
∗
(
λ
)
−
1
tj.
P
(
X
−
λ
σ
√
n
< µ < X
+
λ
σ
√
n
)
≈
2
F
∗
(
λ
)
−
1
.
Ako je zadana pozdanost
γ
,
P
(
G
1
< µ < G
2
) =
γ,
onda moˇzemo odrediti
λ
tako da vrijedi
F
∗
(
λ
) =
1+
γ
2
tj.
λ
=
z
1+
γ
2
kvantil standardne normalne distribucije
F
∗
(
z
1+
γ
2
) =
1+
γ
2
.
Zakljuˇcujemmo da je za velike n
P
(
X
−
λ
σ
√
n
< µ < X
+
λ
σ
√
n
) =
γ.
Procjenitelji
G
1
=
X
−
λ
σ
√
n
, G
2
=
X
+
λ
σ
√
n
ˇcine interval povjerenja
(
X
−
λ
σ
√
n
, X
+
λ
σ
√
n
)
za parametar oˇcekivanja
µ
sluˇcajne varijable X s puzdanoˇs´cu
γ
ako je
poznata varijanca
σ
2
.
Parametar oˇcekivanje
µ
s pozdanoˇs´cu
γ
poprimit ´ce vrijednosti u u inter-
valu
(
x
−
λ
σ
√
n
, x
+
λ
σ
√
n
), gdje je
λ
=
z
1+
γ
2
kvantil standardne normalne dis-
tribucije
F
∗
(
z
1+
γ
2
) =
1+
γ
2
.
NAPOMENA 12.1
Ova procjena parametra oˇcekivanja sluˇcajne varijable
moˇze se koristi u zadacima za odredivanje
(a)
δ
= 2
λ
σ
√
n
ˇsirine inervala
(b)
n
= 4
λ
2
σ
2
δ
2
minimalne veliˇcine uzorka
uz zadanu pozdanost
γ
za interval povjerenja
(
X
−
λ
σ
√
n
, X
+
λ
σ
√
n
)
,
gdje je
λ
=
z
1+
γ
2
kvantil standardne normalne distribucije
F
∗
(
z
1+
γ
2
) =
1+
γ
2
.
12.2
INTERVAL POVJERENJA ZA O ˇ
CEKIVANJE
sluˇ
cajne varijable koja ima NORMALNU distribu-
ciju ako je VARIJANCA POZNATA
TEOREM 12.2
Neka je
(
X
1
, X
2
, ..X
n
)
sluˇcajni uzorak sluˇcajne varijable
X
∼
N
(
µ, σ
2
)
s nepoznatim parametrom oˇcekivanje
µ
i poznatom varijancom
2
